Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9 класс. Задание 2. «Пробирка»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

В длинной вертикальной цилиндрической трубе, заполненной водой, находится цилиндрическая пробирка, диаметр которой немного меньше внутреннего диаметра трубки. Толщина стенок пробирки пренебрежимо мала. Если пробирка пуста, то она равномерно поднимается со скоростью $v_0$ , если пробирку полностью заполнить водой, то она будет равномерно опускаться со скоростью $v_1$ .

Вертикальная труба, внутри нее пробирка длиной l, частично заполненная жидкостью до высоты h (заполненная часть затемнена).

1. Качественно объясните характер движения пробирки. Как изменятся указанные скорости движения, если взять пробирку такой же массы и такого же внешнего радиуса, но в два раза длиннее?

2. Найдите зависимость скорости пробирки от степени ее наполнения $\eta$ водой (под степенью наполнения следует понимать отношение высоты заполненной части пробирки $h$ к ее длине $l$ : $\eta = \dfrac{h}{l}$ ). Постройте график этой зависимости.

3. Пробирку заполняют жидкостью, плотность которой в $n$ раз больше плотности воды. Найдите зависимость скорости пробирки от степени ее наполнения этой жидкостью. Постройте график этой зависимости.

Отговори

Решение

Во время движения на пробирку действуют сила тяжести, выталкивающая сила Архимеда и сила вязкого трения, пропорциональная скорости движения пробирки. Так как сила сопротивления пропорциональна скорости, то по прошествии малого промежутка времени пробирка будет двигаться с постоянной скоростью, которую можно найти из условия равновесия сил (положительное направление – вверх):

\rho V g - m_0 g - \rho_1 \eta V g = \beta v, \qquad (1)

где $\rho$ , $\rho_1$ -плотности воды и жидкости внутри пробирки, $V$ - объем пробирки, $m_0$ -масса пустой пробирки, $\beta$ - коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью пробирки. Основная причина, приводящая к возникновению силы сопротивления – перетекание воды в узком слое между стенками трубки и пробирки, поэтому коэффициент $\beta$ приблизительно пропорционален длине пробирки. Следовательно, если взять пробирку вдвое большей длины (при прочих равных условиях), то указанные скорости приблизительно уменьшатся в два раза.

Из уравнения (1) следует, что скорость установившегося движения пробирки линейно зависит от степени ее наполнения

v = A\eta + B, \qquad (2)

где $A, B$ - постоянные коэффициенты, которые можно определить из двух известных скоростей. Окончательный вид зависимости скорости от степени наполнения имеет вид

v = -(v_0 + v_1)\eta + v_0. \qquad (3)

Из уравнения (1) следует, что коэффициент при $\eta$ , в линейной зависимости вида (2), пропорционален плотности налитой жидкости. Поэтому для другой жидкости зависимость скорости от степени наполнения будет иметь вид

График зависимости v(η): две прямые выходят из точки v₀ на оси v; менее крутая доходит до −v₁ при η = 1, более крутая — до −v₁′ при η = 1; на горизонтальной оси η отмечено 1.

v = -n(v_0 + v_1)\eta + v_0. \qquad (4)

Графики этих зависимостей показаны на рисунке, где обозначена скорость движения пробирки, полностью заполненной другой жидкостью,

v_1' = n v_1 + (n - 1) v_0.

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf