Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. 9 класс. Задание 3. «Платформа»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

Горизонтальная платформа начинает подниматься с поверхности земли с постоянным ускорением $a$ . Через время $\tau$ после начала движения с платформы вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$ относительно платформы подбрасывают небольшой шарик.

Над поверхностью земли (жирная полоса) горизонтальная платформа; на ней шарик со скоростью V₀, направленной вверх; слева стрелка ускорения a вверх, справа стрелка g вниз.

1. Запишите законы движения платформы и шарика в системе отсчета, связанной с землей. Постройте примерные графики этих зависимостей.

Начало отсчета вертикальной оси и начало отсчета времени можете выбрать самостоятельно. Законом движения называется зависимость координат тела от времени.

2. Найдите путь и перемещение шарика за время свободного полета в системе отсчета, связанной с землей.

Рассмотрите возможные варианты движения шарика при различных значениях параметров задачи. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Отговори

Решение

Законы движения платформы $x_1(t)$ и шарика $x_2(t)$ имеют вид

\begin{aligned} x_1 &= \frac{at^2}{2} \\ x_2 &= \frac{a\tau^2}{2} + (a\tau + v_0)\cdot(t - \tau) - \frac{g(t - \tau)^2}{2} \end{aligned} \qquad (1)

Здесь начало отсчета времени совмещено со стартом платформы, а начало отсчета вертикальной оси $X$ находится на поверхности земли.

Схематические графики законов движения показаны ниже на рисунке.

Два схематических графика X(t). Слева: парабола x₁ платформы и траектория x₂ шарика, начинающаяся в момент τ; они пересекаются в момент t₂ раньше вершины t₁ (продолжение x₂ после t₂ пунктиром). Справа: x₂ достигает вершины x_в в момент t₁, затем пересекается с x₁ в момент t₂ на высоте x_п.

Следует отметить, что в данной задаче следует рассмотреть два варианта:

до падения на платформу шарик успевает достичь верхней точки траектории свободного движения;
платформа догоняет шарик , который продолжает двигаться вверх.

Для упрощения дальнейших расчетов совместим начало отсчета координат с точкой, в которой был брошен шарик, с этим же моментом свяжем начало отсчета времени. В такой системе отсчета законы движения имеют вид

\begin{aligned} x_1 &= a\tau\cdot t + \frac{at^2}{2} \\ x_2 &= (a\tau + v_0)\cdot t - \frac{gt^2}{2} \end{aligned}. \qquad (2)

Определим момент времени падения шарика на платформу $t_2$ , для чего следует решить уравнение $x_1(t_2) = x_2(t_2)$ . Решение этого уравнения выражается формулой

t_2 = \frac{2v_0}{a + g}. \qquad (3)

При свободном движении шарика в верхней точке его скорость обращается в нуль, что позволяет найти этот момент времени. Так как скорость шарика изменяется по закону $v_2 = (a\tau + v_0) - gt$ , то скорость шарика может обратиться в нуль при

t_1 = \frac{a\tau + v_0}{g}. \qquad (4)

Итак, шарик не успеет достичь верхней точки своей траектории свободного движения при выполнении условии $t_1 > t_2$ , или при следующем соотношении между исходными параметрами

v_0 < a\tau\frac{g + a}{g - a}. \qquad (5)

В этом случае модуль перемещения и пройденный путь равны и могут быть найдены как координата точки падения шарика на платформу

x_{\text{п}} = x_1(t_2) = x_2(t_2) = \frac{2v_0 a}{a + g}\cdot\left(\tau + \frac{v_0}{a + g}\right). \qquad (6)

Если же неравенство (5) не выполняется, то пройденный путь будет превышать модуль перемещения (который, по-прежнему, определяется формулой (6)). Как легко увидеть из графиков законов движения, в этом случае пройденный путь равен

S = x_{\text{п}} + 2(x_{\text{в}} - x_{\text{п}}), \qquad (7)

где $x_{\text{в}}$ -координата верхней точки траектории, которая в свою очередь легко определима

x_{\text{в}} = \frac{(a\tau + v_0)^2}{2g}. \qquad (8)

Итак, окончательно получим выражения для пройденного пути

S = \frac{(a\tau + v_0)^2}{g} - \frac{2v_0 a}{a + g}\cdot\left(\tau + \frac{v_0}{a + g}\right). \qquad (9)

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf