Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. 9 класс. Задание 4. «Тепловой нож»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

Для промышленной «распилки» ледяного бруса используется тепловой нож, представляющий собой подвижный стальной вертикальный стержень $AB$ радиуса $r = 1{,}0\,\text{мм}$ , подключенный к источнику постоянного напряжения $U = 5\,\text{В}$ . Стержень в процессе работы достаточно медленно перемещают перпендикулярно длинной стороне бруса.

Ледяной брус (прямоугольный параллелепипед) высотой b и шириной a; сквозь него проходит вертикальный стержень AB, подключенный проводами; стрелки скорости ножа υ сверху и снизу; стрелка u влево внизу слева — направление движения бруса.

1) за какое время $t_1$ нож «перепилит» неподвижный ледяной брус прямоугольного сечения $a \times b = 1{,}0\,\text{м} \times 0{,}50\,\text{м}$ . С какой скоростью $\upsilon$ при этом необходимо двигать нож?

2) для разрезания бруса «под углом» одновременно с движением ножа брус продвигают в перпендикулярном направлении со скоростью $u = 3{,}0\,\dfrac{\text{мм}}{\text{с}}$ . Найдите время $t_2$ разреза в этом случае и угол $\alpha$ при вершине бруса выходе с конвейера.

Считайте, что длина стержня равна высоте бруса, и все количество теплоты, выделяемое в системе, идет только на плавление льда. Лед находится при температуре плавления. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3{,}3\cdot 10^5\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ , плотность льда $\rho = 9{,}2\cdot 10^2\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ , удельное сопротивление стали $\rho^* = 9{,}8\cdot 10^{-8}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ .

Отговори

Решение

а) процесс разрезания бруса представляет собой процесс плавления той области образца, где проходит нож. Следовательно, необходимо расплавить слой льда массой

m = \rho\cdot V = \rho a b 2r, \qquad (1)

где $\rho^*$ - плотность льда. Для этого потребуется количество теплоты

Q = \lambda\cdot m = 2\lambda\rho a b r, \qquad (2)

которое должно выделится на резисторе сопротивлением

R = \rho^*\frac{l}{S} = \rho^*\frac{b}{\pi r^2}, \qquad (3)

где $\rho^*$ — удельное сопротивление стали. С учетом закона Джоуля-Ленца можем записать

\frac{U^2}{R} t_1 = \lambda m \quad \Rightarrow \quad \{(1) - (3)\} \quad \Rightarrow \quad \frac{U^2 \pi r^2}{\rho^* b} t_1 = 2\lambda\rho a b r. \qquad (4)

Из (4) находим искомое время

t_1 = \frac{2\lambda\rho\rho^* a b^2}{U^2 \pi r} = 1{,}9\cdot 10^2\,\text{с}. \qquad (5)

Соответственно, для скорости движения ножа получаем

\upsilon = \frac{a}{t_1} = \frac{U^2 \pi r}{2\lambda\rho\rho^* b^2} = 5{,}3\cdot 10^{-3}\,\frac{\text{м}}{\text{с}} = 5{,}3\,\frac{\text{мм}}{\text{с}}. \qquad (6)

Из анализа (6) видно, что при заданных параметрах системы скорость движения ножа относительно бруса является постоянной величиной и не зависит от толщины $a$ бруса.

б) Для решения задачи в этом случае перейдем в подвижную систему отсчета, связанную с брусом, т.е. движущуюся влево со скоростью $\vec{u}$ . Согласно преобразованиям Галилея при таком переходе (прямом) скорость ножа относительно земли $\vec{w}$ связана с относительной скоростью $\vec{\upsilon}$ следующим образом

\vec{\upsilon} = \vec{w} - \vec{u}. \qquad (7)

Поскольку скорость движения ножа относительно бруса (6) не может измениться по модулю (см. пункт а)), то из прямоугольного треугольника скоростей, соответствующего преобразованиям Галилея, найдем скорость $w$ нормального движения ножа

Брус (вид сверху, затемненный прямоугольник) со стрелкой u влево; в верхнем углу треугольник скоростей: вектор u, вектор w вниз, вектор υ по диагонали разреза; отмечены угол α и прямой угол.

w = \sqrt{\upsilon^2 - u^2} = 4{,}4\,\frac{\text{мм}}{\text{с}}. \qquad (8)

При таком способе «распилки» потребуется время

t_2 = \frac{a}{w} = 2{,}3\cdot 10^2\,\text{с}. \qquad (9)

Угол $\alpha$ при вершине бруса в этом случае определяется опять же из векторного треугольника скоростей

\cos\alpha = \frac{u}{\upsilon} = 0{,}57 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 56^{\circ} = 0{,}97\,\text{рад}. \qquad (10)

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf