Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. 10 класс. Задание 1. «Проницаемость»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

В данном задании рассматривается движение жидкости через пористую среду. Среда характеризуется пористостью $\eta = \dfrac{V_{\text{пор}}}{V_0}$ - отношением объема пор $V_{\text{пор}}$ к объему среды (вместе с порами) $V_0$ . Масса жидкости $q$ , протекающая в единицу времени через площадку единичной площади (массовая плотность потока) сквозь слой среды толщиной $h$ при разности давлений между сторонами слоя $\Delta P$ определяется законом Дарси

Горизонтальный слой среды толщиной h (темная полоса) между областями с давлениями P₁ слева и P₂ справа; над слоем стрелка потока q слева направо.

q = \beta\frac{P_1 - P_2}{h},

где $\beta$ - коэффициент проницаемости среды, зависящий также от свойств протекающей жидкости.

При решении задачи можно пренебречь капиллярными явлениями.

И еще: может поможет – при малых изменениях $2x\Delta x = \Delta(x^2)$

Рассмотрим протекание воды через слой крупнозернистого песка. Пористость песка $\eta$ и проницаемость воды $\beta$ через этот песок, плотность воды $\rho$ известны.

Вертикальный столб песка (светлый), в середине — горизонтальный слой воды (темная полоса); слева стрелка g вниз, справа обозначение скорости V.

1. Выразите размерность проницаемости $\beta$ через основные единицы системы СИ.

2. В очень толстом слое песка находится горизонтальный слой воды. Чему равна скорость движения этого слоя через песок?

3. На горизонтальную поверхность толстого слоя песка наливают слой воды толщиной $h_0$ , которая начинает впитываться в песок. Найдите зависимость толщины слоя воды над поверхностью песка от времени. Через какое время вся вода «уйдет» в песок?

4. В широкой вертикальной трубке расположен слой песка, удерживаемый снизу пористой перегородкой, влиянием которой на движение жидкости можно пренебречь. Толщина слоя песка равна $h_0$ . Сверху на песок наливают воду, толщина слоя которой равна $h_1$ , причем $(\eta h_1 > h_0)$ . За какое время вся вода протечет через трубку?

Отговори

Решение

Из формулы закона Дарси следует, что размерность проницаемости – секунда.

Пусть слой воды толщиной $h$ движется горизонтально через песок под действием разности давлений $\Delta P$ . Так как вода движется равномерно, то сумма внешних сил, действующих на воду равна нулю. Следовательно, сила сопротивления действующая на воду со стороны песка, равна $f_c = \Delta P S$ , где $S$ площадь произвольно выделенной части движущегося слоя. Эту силу можно также выразить из приведенного закона Дарси $\Delta P S = \dfrac{hS}{\beta} q$ . Наконец, поток жидкости можно выразить через ее скорость $v$ : $q = \eta\rho v$ . Итак, сила сопротивления, действующая на выделенную часть слоя, определяется формулой

f_c = \frac{\eta\rho}{\beta} S h v. \qquad (1)

При вертикальном движении слоя жидкости в пористой среде сила тяжести уравновешивается силой сопротивления, поэтому

\eta\rho S h g = \frac{\eta\rho S h}{\beta} v. \qquad (2)

Откуда следует, что скорость равномерного движения слоя воды равна

v = \beta g. \qquad (3)

Не смотря на то, что скорость движения воды будет изменяться, будем считать, что эти изменения малы. Поэтому в любой момент времени сумма сил, действующих на воду, будет равна нулю (используем традиционное квазистационарное приближение). Обозначим высоту слоя не впитавшейся воды $h$ , а толщину намокшего песка $x$ . Учитывая, что сила тяжести, действующая на всю воду, уравновешивается силой сопротивления, действующей только на слой воды, находящейся в песке, запишем выражения для равенства этих сил

Вертикальная трубка: сверху светлый слой не впитавшейся воды высотой h, под ним темная полоса и серый слой намокшего песка толщиной x.

\rho S h_0 g = \frac{\eta\rho S x}{\beta} v. \qquad (4)

Так как $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ , то из уравнения (4) следует

x = \sqrt{\frac{2h_0\beta g}{\eta} t}. \qquad (5)

Запишем условие сохранения количества воды

\rho h + \eta\rho x = \rho h_0, \qquad (6)

которое позволяет найти искомую зависимость толщины слоя не впитавшейся воды от времени

h = h_0 - \sqrt{2h_0\beta g\eta t}. \qquad (7)

Полагая $h = 0$ , найдем время впитывания

T = \frac{h_0}{2\beta\eta g}, \qquad (8)

Так как скорость движения жидкости внутри песка не зависит от его толщины, то после полного впитывания верхняя граница «мокрого» слоя будет постоянна и определяться формулой (3). Следовательно, вся вода пройдет через слой песка за время

T = \frac{h_0}{2\beta\eta g} + \frac{h_1}{\beta g}. \qquad (9)

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf