Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. 10 класс. Задание 2. «Переправа».

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

Для переправки грузов (ящиков) через реку грузчики соорудили следующее устройство.

Схема переправы: берег AB длиной l₀ с ящиком массы m₀ (ускорение a₀ вправо) в точке A; далее река шириной l₁ со льдом, у берега B на льду лежат салазки массы m₁; справа берег CD той же высоты.

На берегах реки подготовлены горизонтальные участки «подъездных путей» AB и CD. Длина участка AB равна $l_0 = 6{,}0\,\text{м}$ , длина участка CD не ограничена. На участке AB ящик, массой $m_0 = 20\,\text{кг}$ разгоняют с постоянным ускорением $a_0 = 3{,}0\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ , затем этот ящик попадает на салазки, масса которых равна $m_1 = 10\,\text{кг}$ , а длина $L = 3{,}0\,\text{м}$ . Верхняя поверхность этих салазок совпадает с уровнем берега. Далее салазки движутся по поверхности льда через реку шириной $l_1 = 30\,\text{м}$ и упираются в противоположный берег CD, высота которого такая же, как и на участке AB. Коэффициенты трения известны: ящик по салазкам $\mu_0 = 0{,}30$ , салазки по льду $\mu_1 = 0{,}020$ , ящик по берегам $\mu_2 = 0{,}10$ .

Постройте графики зависимостей

а) скоростей ящика и салазок от времени;

б) координат ящика и салазок от времени.

Начало отсчета времени совместите с моментом начала разгона ящика. Начало отсчета горизонтальной оси координат - с точкой старта A.

В данной задаче допускается ( и рекомендуется) проводить промежуточные численные расчеты и их результаты использовать в дальнейшем решении. Ускорение свободно падения считайте равным $g = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

Решение

Будем рассматривать движение по этапам. Все кинематические характеристики, относящиеся к ящику, будем нумеровать индексом 0, а, относящиеся к салазкам – индексом 1, координатами салазок будем считать координату их задней части.

Разгон ящика описывается хорошо известными уравнениями:

\begin{cases} v_0 = a_0 t \\ x_0 = \dfrac{a_0 t^2}{2} \end{cases}. \qquad (1)

Этот разгон закончится в момент времени $t_1 = \sqrt{\dfrac{2l_0}{a_0}} \approx 2{,}00\,\text{с}$ , ящик будет иметь скорость $v_{01} = \sqrt{2a_0 l_0} \approx 6{,}00\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Разгон салазок. После того, как ящик окажется на салазках, начнется их разгон под действием силы трения со стороны ящика. Рассмотрев действующие силы трения

между ящиком и салазками $F_0 = F_0' = \mu_0 m_0 g$ ;

между салазками и льдом $F_1 = \mu_1(m_0 + m_1)g$ ,

определим ускорения салазок и ящика

a_{01} = -\mu_0 g \approx -3{,}0\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}, \qquad a_{11} = \frac{\mu_0 m_0 - \mu_1(m_0 + m_1)}{m_1} g \approx 5{,}4\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.

Зависимости скоростей и координат движущихся тел определяются уравнениями (для сокращения записей сместим начало отсчета времени)

\begin{cases} v_0 = v_{01} + a_{01} t \\ v_1 = a_{11} t \end{cases}, \qquad \begin{cases} x_0 = l_0 + v_{01} t + \dfrac{a_{01} t^2}{2} \\ x_1 = l_0 + \dfrac{a_{11} t^2}{2} \end{cases}. \qquad (2)

Далее следует заметить, что такое движение будет происходить пока скорости салазок и ящика не сравняются, Это произойдет через время $t_2 = \dfrac{v_{01}}{a_{11} + |a_{01}|} \approx 0{,}714\,\text{с}$ .

До этого момента времени доска сместится на $\Delta x_{11} \approx 1{,}38\,\text{м}$ , а ящик на $\Delta x_{01} \approx 3{,}52\,\text{м}$ . Так как $\Delta x_{01} - \Delta x_{11} < L$ (до конца салазок остается $\Delta L = L - (\Delta x_{01} - \Delta x_{01}) \approx 0{,}86\,\text{м}$ ), то ящик останется на салазках. В момент прекращения относительного движения ящика по салазкам их скорость будет равна $v_{02} \approx 3{,}85\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Торможение. Далее салазки с неподвижным ящиком будут двигаться вместе с ускорением $a_2 = -\mu_1 g \approx -0{,}20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ . До полной остановки салазки могут пройти по льду путь $S = \dfrac{v_{02}^2}{2|a_2|} \approx 37{,}25\,\text{м}$ , что больше оставшегося расстояния до противоположного берега. На этом участке скорости и координаты будут изменяться по законам

\begin{cases} v_0 = v_{02} + a_2 t \\ v_1 = v_{02} + a_2 t \end{cases}, \qquad \begin{cases} x_0 = l_0 + \Delta x_{01} + v_{02} t + \dfrac{a_2 t^2}{2} \\ x_1 = l_0 + \Delta x_{11} + v_{02} t + \dfrac{a_2 t^2}{2} \end{cases}. \qquad (3)

До противоположного берега салазкам остается пройти расстояние $l = l_1 - L - \Delta x_{11} \approx 25{,}6\,\text{м}$ . Салазки подъедут к берегу со скоростью, которую можно рассчитать по формуле $v_{03} = \sqrt{v_{02}^2 - 2|a_2| l} \approx 2{,}14\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ . Это произойдет через время

\Delta t_2 = \frac{v_{03} - v_{02}}{a_2} \approx 8{,}55\,\text{с}

Торможение по салазкам. После того, как салазки «упрутся» в берег, ящик начнет скользить по салазкам с ускорением $a_{03} = -\mu_0 g \approx -2{,}0\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ . По салазкам они могут пройти путь $S = \dfrac{v_{03}^2}{2|a_{03}|} \approx 1{,}15\,\text{м}$ , что больше, чем расстояние $\Delta L$ до конца салазок, поэтому ящик соскользнет с них. Скорость ящика в момент выезда на берег $v_{04} = \sqrt{v_{03}^2 - 2|a_{03}|\Delta L} \approx 1{,}07\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ , что произойдет через время $\Delta t_2 = \dfrac{v_{04} - v_{03}}{a_{03}} \approx 0{,}54\,\text{с}$ .

Законы изменения скорости и координаты ящика на этом этапе имеет вид

\begin{aligned} v_0 &= v_{04} + a_{03} t \\ x_0 &= l_0 + l_1 - \Delta L + v_{04} t + \frac{a_{03} t^2}{2} \end{aligned}. \qquad (4)

Торможение по берегу. Ящик на берегу тормозит с ускорением $a_{04} = -\mu_2 g \approx -1{,}0\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ . При этом он пройдет путь $S = \dfrac{v_{04}^2}{2|a_{04}|} \approx 0{,}57\,\text{м}$ до остановки за время $\Delta t_5 = -\dfrac{v_{04}}{a_{03}} \approx 1{,}1\,\text{с}$ .

Законы изменения скорости и координаты ящика на том этапе имеет вид

\begin{aligned} v_0 &= v_{04} + a_{04} t \\ x_0 &= l_0 + l_1 + v_{04} t + \frac{a_{04} t^2}{2} \end{aligned}. \qquad (4)

Графики зависимостей скоростей от времени показаны на рисунке.

График скоростей V (м/с) от времени t (с) от 0 до 14 с на сетке: ломаная ящика растет до 6 м/с при t = 2 с, падает до ≈3,85 м/с при t ≈ 2,7 с, затем медленно убывает до ≈2,1 м/с при t ≈ 11,3 с, далее падает до 1 м/с и до нуля при t ≈ 12,9 с; ломаная салазок растет от 0 при t = 2 с до ≈3,85 м/с, затем совпадает с ящиком и обрывается до нуля при t ≈ 11,3 с; линии-выноски с подписями «ящик» и «салазки».

Полный путь до остановки оставит 33,6 м за время 12,9 с.

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf