Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 7. 10 класс. Задание 3. «Колебания стержня»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

Горизонтальное кольцо радиуса R с зарядом q; вдоль его вертикальной оси проходит стержень с зарядом −q; сверху двусторонняя стрелка вдоль оси — направление колебаний.

По тонкому закрепленному кольцу радиуса $R$ равномерно распределен заряд $q$ . Вдоль оси кольца может двигаться без трения однородный тонкий стержень с зарядом $-q$ и длиной $l = 2R$ , масса которого $m$ . Найдите период малых колебаний стержня в электрическом поле кольца.

Силой тяжести пренебречь.

Отговори

Решение

Поскольку кольцо и стержень имеют заряды противоположных знаков, то в положении равновесия стержень расположится симметрично относительно центра кольца. Рассмотрим малое смещение $x$ $(x \ll R)$ стержня из положения равновесия например вверх (рис. 2). Поскольку при этом над кольцом окажется большая часть стержня, то результирующая сила со стороны кольца будет стремиться вернуть стержень в положение равновесия.

Вертикальный стержень, заштрихованный кроме верхнего незаштрихованного участка; сверху стрелками отмечено смещение x; горизонтальная пунктирная линия — плоскость кольца.

Для расчета этой силы заметим, что в данном случае «нескомпенсированной» остается только сила притяжения к кольцу малого участка стержня длиной $2x$ (незаштрихованная на рис.), имеющая заряд

\Delta q = \lambda 2x = \frac{q}{l} 2x = \frac{q}{R} x. \qquad (1)

Поскольку напряженность электростатического поля на оси кольца на расстоянии $h$ от его центра вычисляется по формуле

E(h) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{h}{(h^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}, \qquad (2)

то для нашего случая ( $h = R$ ) получаем

E(R) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{R}{(2R^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{q}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 R^2}. \qquad (3)

Таким образом, уравнение движения (второй закон Ньютона) для стержня примет вид

m a = m x''(t) = -\Delta q\cdot E(R) = -\frac{q}{R}\cdot\frac{q}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 R^2}\cdot x = -\frac{q^2}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 R^3}\cdot x. \qquad (4)

Уравнение (4) можно переписать в виде стандартного уравнения гармонических колебаний

x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0, \text{ где } \omega_0 = \sqrt{\frac{q^2}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 m R^3}} = \frac{q}{2R}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 m R}}. \qquad (5)

Соответственно период данных колебаний

T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{4\pi R}{q}\sqrt{2\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 m R}. \qquad (6)

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf