Съдържание

Условие Отговори Решение

BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11. 11 класс. «Что вы знаете о Солнце?»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2005 год.

Условие

Гравитационная постоянная $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\dfrac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ ;

Скорость света $c = 3{,}0 \cdot 10^8\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ ;

Среднее расстояние от Земли до Солнца $L = 1{,}5 \cdot 10^8\,\text{км}$ ;

Угловой размер Солнца, видимый с Земли $\alpha = 32'$ ;

Масса Земли $m = 6{,}0 \cdot 10^{24}\,\text{кг}$ ;

Период обращения Земли вокруг Солнца 1 год (точно);

Солнечная постоянная (количество солнечной энергии Солнца, падающей в течение 1с на площадку площадью $1\,\text{м}^2$ , поставленную на границе атмосферы, перпендикулярно к солнечным лучам) $\gamma = 1{,}4\,\dfrac{\text{кВт}}{\text{м}^2}$ ;

Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}\,\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \text{К}^4}$ ;

Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ .

Используя эти данные, оцените:

3.1. Температуру поверхности Солнца.

3.2. Через какой промежуток времени масса Солнца уменьшится на 10%.

3.3. Считая, что солнечная атмосфера состоит из атомарного водорода, оцените эффективную толщину Солнечной атмосферы.

Отговори

Решение

3.1 По закону Стефана-Больцмана за время $\Delta t$ Солнце излучает в пространство тепловую энергию

W = \sigma T^4 \cdot S \cdot \Delta t = \sigma T^4 4\pi R^2\Delta t, \qquad (1)

где $R$ — радиус Солнца, $T$ — абсолютная температура его поверхности. Распространяясь без потерь в космическом пространстве, эта энергия достигает Земли, «обеспечивая» нас светом и теплом. Выразим $W$ через солнечную постоянную $\gamma$ . Согласно закону сохранения энергии за промежуток времени $\Delta t$ через воображаемую сферу радиусом $L$ , в центре которой находится Солнце, должна пройти та же энергия

W = \gamma 4\pi L^2\Delta t. \qquad (2)

Из (1) – (2) находим искомую абсолютную температуру $T$ поверхности Солнца

T^4 = \frac{\gamma L^2}{\sigma R^2} \;\Rightarrow\; T = \sqrt[4]{\frac{\gamma}{\sigma}\cdot\frac{L^2}{R^2}}. \qquad (3)

Поскольку радиус Солнца $R$ нам не известен, то выразим его через видимый угловой диаметр $\alpha$ Звезды

D = 2R = L\cdot\alpha \;\Rightarrow\; R = \frac{L\cdot\alpha}{2}. \qquad (4)

С помощью (3) – (4) находим

T = \sqrt[4]{\frac{4\gamma}{\sigma\alpha^2}} = 5{,}8 \cdot 10^3\,K. \qquad (5)

Подчеркнем, что для расчета в (5) следует подставлять угловой диаметр звезды, выраженный в радианах

\alpha\,(\text{рад}) = \alpha^{\circ}\frac{\pi}{180^{\circ}}.

3.2 Вследствие непрерывного излучения энергии Солнце, согласно формуле Эйнштейна, «худеет», уменьшая свою массу. За промежуток времени $\Delta t$ в термоядерной «солнечной печи» сгорает порция топлива $\Delta m$

E = W = \gamma 4\pi L^2\Delta t = \Delta m c^2.

Соответственно доля $\eta = \dfrac{\Delta m}{m} = 10\,\%$ солнечной массы выгорит за время $t$ , удовлетворяющее условию

\gamma 4\pi L^2 t = \eta m c^2 \;\Rightarrow\; t = \frac{\eta m c^2}{4\pi\gamma L^2}. \qquad (6)

Однако производить расчет с помощью (6) мы не можем, так как в условии не указана масса Солнца. Выразим ее, рассматривая II-ой закон Ньютона (основной закон динамики) для движения Земли вокруг Солнца

m_{\text{з}}\omega^2 L = G\frac{m_{\text{з}} m}{L^2} \;\Rightarrow\; m = \frac{\omega^2 L^3}{G} = \frac{4\pi^2}{T^2}\cdot\frac{L^3}{G}. \qquad (7)

С учетом (7) выражение (6) примет вид

t = \frac{\eta c^2}{4\pi\gamma L^2}\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot\frac{L^3}{G} = \frac{\pi\eta L c^2}{\gamma G T^2}, \qquad (8)

где $T = 3{,}15 \cdot 10^7\,\text{c}$ — период обращения Земли вокруг Солнца. Расчет по формуле (8) дает

t = 4{,}6 \cdot 10^{19}\,\text{c}.

Сравнивая полученный результат с возрастом Вселенной ( $t^* \approx 4{,}5\,\text{млрд лет} = 1{,}4 \cdot 10^{17}\,\text{c}$ ) видим, что проблема «похудания» Солнца не представляется столь острой — в рамках многих «земных» задач его массу с неплохой точностью можно считать постоянной.

3.3 Для оценки эффективной толщины $h$ солнечной атмосферы воспользуемся барометрической формулой

p(h) = p_0\exp\left(-\frac{Mgh}{RT}\right). \qquad (1)

Общепринятым считается следующий подход — за границу атмосферы принимается высота, на которой давление уменьшается в $e = 2{,}718281...$ ( $e$ — основание натуральных логарифмов) раз.

С учетом (1) получаем

p(h) = \frac{p_0}{e} = p_0\cdot e^{-1} = p_0\exp\left(-\frac{Mgh}{RT}\right) \;\Rightarrow\; h = \frac{RT}{Mg}, \qquad (2)

где $M = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса атомарного (диссоциировавшего) водорода, $g = G\dfrac{m}{R^2} = 270\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ — ускорение свободного падения на поверхности Солнца.

Расчет дает

h = 1{,}8 \cdot 10^5\,\text{м} = 180\,\text{км}.

Как видим при такой большой температуре поверхности Солнца эффективная высота атмосферы оказалась даже меньше земной ( $h \approx 300\,\text{км}$ ), что можно понять, принимая во внимание величину силы всемирного тяготения на поверхности нашего светила.

Оригинал в Архива: 3_etap_2005_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2005_solutions.pdf