Съдържание

BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10. 11 класс. «Хорошо ли Вы знаете закон преломления света?»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2005 год.

Условие

2.1 Показатель преломления воздуха зависит как от температуры, так и от давления. Будем считать, что в наших условиях показатель преломления зависит только от температуры, причем эта зависимость имеет вид

n = 1 + \frac{a}{T}, \qquad (1)

Для воздуха при нормальном давлении постоянная $a \approx 8{,}6 \cdot 10^{-2}\,K$ .

Воздух над дорогой под действием солнечных лучей разогревается, из-за чего сухой асфальт может казаться «мокрым». Пусть в достаточно тонком слое над дорогой температура воздуха превышает среднюю температуру $t_0 = 17^{\circ}C$ на величину $\Delta t$ . На некотором минимальном расстоянии $S$ от себя наблюдатель может видеть «лужи» на дороге.

Объясните появление «луж».

Постройте график зависимости $S(\Delta t)$ .

Глаз наблюдателя находится на высоте $h = 1{,}0\,\text{м}$ от дороги

Для моделирования миража в лаборатории ее размеры явно недостаточны, поэтому воздух «остроумно» можно заменить на кусок органического стекла, показатель преломления которого гораздо сильнее зависит от температуры.

В качестве источника света используется тонкая светящаяся нить $S$ . В дальнейшем рассматривайте лучи:

а) идущие под малыми углами к оси системы и на малом расстоянии от нее (параксиальное приближение);

б) лучи в плоскости, содержащей ось системы, и перпендикулярной нити.

2.2 На расстоянии $a = 40\,\text{см}$ от источника расположили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F = 20\,\text{см}$ . На каком расстоянии $b$ от линзы следует расположить экран, чтобы на нем было четкое изображение нити?

Оптическая схема: светящаяся нить S на оси, на расстоянии a — тонкая линза, на расстоянии b за линзой — экран.

2.3 Не меняя положение источника и линзы, вплотную к источнику расположили прямоугольный брусок из органического стекла.

Та же схема, но вплотную к источнику S стоит прямоугольный брусок длиной l; далее тонкая линза и экран на расстоянии b.

Его длина $l = 20\,\text{см}$ , показатель преломления $n_0 = 1{,}5$ .

На каком расстоянии $b$ от линзы следует расположить экран, чтобы опять на нем получилось четкое изображение источника?

2.4 Брусок стали освещать параллельным пучком света. Экран расположили в фокальной плоскости линзы. После чего брусок стали нагревать с одной стороны. В результате неравномерного нагрева показатель преломления бруска стал изменяться линейно от $n_0 = 1{,}5$ на одной стороне до $n_1 = n_0 + \delta n$ , где $\delta n = 2{,}0 \cdot 10^{-4}$ на другой. Направление изменения температуры перпендикулярно направлению распространения света. Как изменилась картина на экране после указанного нагрева бруска? Толщина бруска $d = 4{,}0\,\text{см}$ .

Параллельный пучок света падает на брусок длиной l и толщиной d с показателями преломления n₁ сверху и n₀ снизу; за ним линза и экран в фокальной плоскости на расстоянии F.

Отговори

Решение

2.1 Воздух над дорогой под действием солнечных лучей разогревается, поэтому его показатель преломления меньше, чем в более высоких и холодных слоях. Лучи, идущие от неба, могут испытывать полное отражение от разогретого слоя, что воспринимается как появление на асфальте «луж». Для описания их положения относительно наблюдателя следует рассмотреть условия полного отражения.

Мираж: луч «от неба» изгибается в нагретом слое n(T) над дорогой и приходит в глаз наблюдателя на высоте h под малым углом α к горизонту (n(T₀)); расстояние S вдоль дороги.

Из закона преломления следует условие полного отражения

n\left(T_0\right)\cos\alpha = n(T) \qquad (2.1)

Учитывая малость угла $\alpha$ (или, что равносильно $h \ll S$ ), можно положить

\cos\alpha = \frac{S}{\sqrt{S^2 + h^2}} = \left(1 + \frac{h^2}{S^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \approx 1 - \frac{h^2}{2S^2}.

Далее преобразуем выражение для отношения показателей преломления (при разложении будем учитывать, что отклонение показателя преломления от единицы мало $\dfrac{a}{T} \ll 1$ , а разность температур сравнима со средней температурой воздуха) –

\frac{n(T)}{n\left(T_0\right)} = \frac{n\left(T_0 + \Delta T\right)}{n\left(T_0\right)} = \frac{1 + \dfrac{a}{T_0 + \Delta T}}{1 + \dfrac{a}{T_0}} \approx 1 + \frac{a}{T_0 + \Delta T} - \frac{a}{T_0} = 1 - \frac{a\Delta T}{T_0\left(T_0 + \Delta T\right)}.

График S, м от ΔT, K: убывающая кривая от примерно 1000 м при малых ΔT до примерно 170 м при ΔT = 20 K; сетка, по оси ΔT деления 2–18, по оси S деления 200–1000.

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1),

\frac{a\Delta T}{T_0\left(T_0 + \Delta T\right)} = \frac{h^2}{2S^2}

получим искомую зависимость

S = h\sqrt{\frac{T_0\left(T_0 + \Delta T\right)}{2a\Delta T}}

График этой зависимости показан на рисунке.

2.2 Так как предмет (нить) находится на расстоянии $2F$ от линзы, то и экран следует расположить на расстоянии $b = 2F = 40\,\text{см}$ за линзой.

2.3 Согласно известной задаче о кажущейся глубине водоема, изображение нити после преломления на задней грани бруска находится на расстоянии $l' = \dfrac{l}{n}$ от нее. Следовательно, это изображение находится на расстоянии

a' = a - l + l' = a - l\frac{n-1}{n} \approx 33{,}3\,\text{см}

от линзы. Используя формулу линзы, получим расстояние $b'$ , на котором следует расположить экран

b' = \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{a'}\right)^{-1} \approx 50\,\text{см}.

2.4 Для расчета преломления в данном случае можно воспользоваться принципом Гюйгенса. Вблизи верхней грани бруска световая волна достигнет крайней точки за время

t_1 = \frac{n_1 l}{c} = \frac{\left(n_0 + \delta n\right) l}{c},

а вблизи нижней за время $t_0 = \dfrac{n_0 l}{c}$ .

Брусок длиной l и толщиной d; на задней грани построен треугольник с катетом d, отрезком r и углом α поворота фронта волны.

За разность этих времен за задней гранью, свет, испущенный в нижней точке, пройдет путь $r = c\left(t_1 - t_0\right) = \delta n l$ . Следовательно, фронт волны (и перпендикулярные ему лучи повернутся на малый угол $\alpha \approx \dfrac{\delta n l}{d} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}$ . Соответственно, изображение на экране сместится вверх на величину $\delta z = \alpha \cdot F = 2{,}0 \cdot 10^{-2}\,\text{см}$ .

Оригинал в Архива: 3_etap_2005_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2005_solutions.pdf