Съдържание

BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 9. 11 класс. «Хорошо ли Вы знаете силу трения?»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2005 год.

Условие

1.0 Тонкостенный цилиндр радиуса $R$ и массы $m$ (которая равномерно распределена по боковой поверхности цилиндра) может вращаться без вокруг неподвижной оси. К боковой поверхности цилиндра прикладывают постоянную силу $\vec F$ , направленную по касательной к поверхности. Покажите, что изменение угловой скорости $\omega$ вращения цилиндра подчиняется уравнению

Тонкостенный цилиндр радиуса R; к его боковой поверхности по касательной приложена сила F.

mR^2\frac{\Delta\omega}{\Delta t} = FR. \qquad (1)

Даже если вы не можете доказать это уравнение, то никто не запрещает вам использовать его в дальнейшем. Кроме того, напоминаем, что плоскопараллельное движение твердого тела можно представить в виде суммы поступательного движения его центра масс и вращения, вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

1.1 Тонкостенную цилиндрическую трубку радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $\omega_0$ и аккуратно положили на горизонтальную поверхность (без начальной поступательной скорости). Найдите скорость установившегося движения оси цилиндра. Трением качения пренебречь.

Раскрученная цилиндрическая трубка (угловая скорость ω₀) на горизонтальной поверхности.

1.2 Небольшой прямоугольный брусок массы $m = 1{,}0\,\text{кг}$ находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен $\mu = 0{,}20$ . К бруску прикладывают постоянную горизонтально направленную силу $F$ . Постройте график зависимости модуля ускорения бруска от модуля приложенной силы.

Брусок на горизонтальной поверхности, к нему приложена горизонтальная сила F.

1.3 На горизонтальной поверхности расположен брусок Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен $\mu = 0{,}20$ . Рядом с бруском располагают сильно раскрученный тонкостенный цилиндр массы $m_1 = 1{,}0\,\text{кг}$ , диаметр которого равен высоте бруска. Коэффициент трения между боковой поверхностью цилиндра и горизонтальной поверхностью, а также с поверхностью бруска равен $\mu = 0{,}20$ . При какой максимальной массе бруска цилиндр сможет сдвинуть его с места? Чему будет равно ускорение бруска, если его масса $m_2 = 0{,}10\,\text{кг}$ ?

Раскрученный тонкостенный цилиндр вплотную к бруску той же высоты на горизонтальной поверхности.

1.4 На горизонтальной поверхности покоится тонкостенный цилиндр. Рядом с ним аккуратно кладут такой же цилиндр, но сильно раскрученный вокруг собственной оси. Коэффициенты трения между цилиндрами и поверхностью, а также между боковыми поверхностями цилиндров одинаковы и равны $\mu = 0{,}20$ . С какими ускорениями начнут двигаться эти цилиндры?

Два одинаковых цилиндра рядом на горизонтальной поверхности; левый раскручен с угловой скоростью ω₀.

Отговори

Решение

1.0 Для вывода данного соотношения (уравнения динамики вращательного движения) достаточно рассмотреть уравнение второго закона для небольшого участка цилиндра и затем просуммировать его по всем участкам с учетом третьего закона Ньютона.

Так для $i$ -того участка можно записать

Окружность (сечение цилиндра) с отмеченным участком внизу; к участку приложены сила F и силы T(i,i+1), T(i,i−1) со стороны соседних участков.

\Delta m_i\vec a_i = \vec F_i + \vec T_{i,i+1} + \vec T_{i,i-1},

где $\vec T_{i,i+1}, \vec T_{i,i-1}$ - силы, действующие на $i$ -тый участок со стороны соседей. В проекции на тангенциальное направление для всех участков $\left|\vec a_i\right| = R\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$ , при суммировании все внутренние силы «исчезнут», останутся только тангенциальные составляющие внешних сил.

1.1 Сила трения, действующая на трубку, сообщает ей линейное ускорение, приводящее к увеличению скорости центра трубки

Трубка (окружность) на горизонтальной поверхности; в точке касания вправо направлена сила трения F_тр.

ma = F_{\text{тр}}. \qquad (1)

Скорость будет изменяться по закону

V = \frac{F_{\text{тр}}}{m} t. \qquad (2)

Эта же сила будет тормозить вращение трубки, согласно уравнению динамики вращательного движения

mR\frac{\Delta\omega}{\Delta t} = -F_{\text{тр}}. \qquad (3)

Поэтому угловая скорость будет уменьшаться по закону

\omega = \omega_0 - \frac{F_{\text{тр}}}{Rm} t. \qquad (4)

Проскальзывание (следовательно, и изменение скоростей) прекратится при выполнении условия $V = \omega R$ . Из записанных уравнений следует, что скорость установившегося движения

V_{\text{уст}} = \frac{\omega_0 R}{2}. \qquad (5)

1.2 Если приложенная сила $F$ превышает максимальную силу трения покоя $F_{\max} = \mu mg$ , то ускорение бруска находится из уравнения второго закона Ньютона

a = \frac{F}{m} - \mu g, \qquad (6)

в противном случае ускорение бруска равно нулю.

1.3 На рисунке изображены силы, действующие на тела (все обозначении традиционны). В проекции на горизонтальное направление уравнения второго закона Ньютона имеют вид

\begin{aligned} m_1 a &= F_1 - T \\ m_2 a &= -F_2 + T \end{aligned}. \qquad (1)

Выразим действующие силы трения (все они являются силами скольжения):

между цилиндром и бруском

F_0 = \mu T, \qquad (2)

Силы, действующие на цилиндр и брусок: N₁, m₁g, F₁, T, F₀ на цилиндре; N₂, m₂g, F₂, T′, F₀′ на бруске.

между цилиндром и горизонтальной поверхностью

F_1 = \mu N_1 = \mu\left(m_1 g - F_0\right) = \mu\left(m_1 g - \mu T\right), \qquad (3)

между бруском и поверхностью

F_2 = \mu N_2 = \mu\left(m_2 g + F_0\right) = \mu\left(m_2 g + \mu T\right). \qquad (4)

Решая эту систему уравнений, получим ускорение тел (если они движутся)

a = \mu g\,\frac{\dfrac{m_1}{1+\mu^2} - \dfrac{m_2}{1-\mu^2}}{\dfrac{m_1}{1+\mu^2} + \dfrac{m_2}{1-\mu^2}}. \qquad (5)

Таким образом, брусок начнет двигаться при

m_2 < m_1\frac{1-\mu^2}{1+\mu^2} \approx 0{,}92\,\text{кг}.

При заданном значении масс ускорение системы равно $a \approx 1{,}6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

1.4 Распределение сил в данном случае аналогично рассмотренному ранее. Поэтому если предположить, что все силы являются силами трения скольжения, надо признать справедливой формулу (5) для ускорений. Однако, при $m_1 = m_2$ из нее следует, что ускорение должно быть отрицательным. Следовательно, сила трения $F_2$ является трением покоя. Поэтому система уравнений для ускорений имеет вид

\begin{aligned} ma &= -T + F_1 = -T + \mu\left(mg - \mu T\right) \\ ma &= T - F_2 \end{aligned}, \qquad (6)

к которым необходимо добавить уравнение динамики вращательного движения для второго цилиндра (с учетом $\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = \dfrac{a}{R}$ )

mR\frac{a}{R} = F_2 - F_0 = F_2 - \mu T. \qquad (7)

Из этой системы находим

\begin{aligned} &F_2 = ma + \mu T \\ &T = ma + F_2 = 2ma + \mu T \;\Rightarrow\; T = \frac{2ma}{1-\mu} \\ &ma = \mu mg - T\left(1 + \mu^2\right) \;\Rightarrow\; a = \frac{\mu g}{1 + 2\dfrac{1+\mu^2}{1-\mu}} \approx 0{,}54\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2} \end{aligned}.

Оригинал в Архива: 3_etap_2005_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2005_solutions.pdf