Съдържание

BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9 класс. «Триатлон»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2005 год.

Условие

Канал между двумя серыми берегами: точка A на нижнем берегу, точка B напротив нее на верхнем, точка C на верхнем берегу; ширина канала h (отрезок AB), расстояние S между B и C, пунктирная прямая AC.

В соревнованиях необходимо преодолеть расстояние от точки $A$ , расположенной на одном берегу канала шириной $h = 100\,\text{м}$ , до точки $C$ , расположенной на другом берегу. Вода в канале неподвижна. Точка $B$ расположена строго напротив точки $A$ . Обозначим расстояние $BC$ - $S$ . Один спортсмен, «байдарочник», преодолевает дистанция на байдарке по воде (ясное дело, что байдарочник свою байдарку не бросит и пешком не ходит); второй, «пловец – бегун» может, как плыть по воде, так и бежать по берегу, причем он плывет в два раза медленнее байдарочника, но бежит в два раза быстрее его. Спортсмены стартуют одновременно.

Пусть второй спортсмен решил двигаться сначала вплавь по прямой $AB$ , а затем по берегу бегом по прямой $BC$ .

1.1 В первом туре соревнований точка финиша установлена так, что $S = h$ . Найдите отношение времен движения спортсменов $\dfrac{t_1}{t_2}$ на этом маршруте.

1.2 После поданного протеста, второму спортсмену предоставлено право выбора расстояния $S$ . При каком значении $S$ спортсмены придут к финишу одновременно, если оба спортсмена будут придерживаться прежних стратегий?

1.3 В последнем туре финиш установлен на расстоянии $S = 600\,\text{м}$ от точки $B$ . Какова оптимальная траектория движения «пловца-бегуна» на этой дистанции? Чему будет равно отношение времен движения спортсменов $\dfrac{t_1}{t_2}$ на этом маршруте, если «пловец-бегун» будет двигаться по «траектории минимального времени», а «байдарочник» своим принципам не изменяет?

Отговори

Решение

Канал с точками A, B, C: байдарочник движется по прямой AC со скоростью V₀, пловец плывет по AB со скоростью V₀/2 и бежит по BC со скоростью 2V₀; подписи h и S.

Обозначим скорость «байдарочника» $v_0$ . Тогда скорость «пловца» равна $\dfrac{v_0}{2}$ , а скорость бегуна $2v_0$ .

Отношения времен движения спортсменов находится достаточно просто

\frac{t_1}{t_2} = \frac{\dfrac{\sqrt{h^2+S^2}}{v_0}}{\dfrac{2h}{v_0} + \dfrac{S}{2v_0}} = \frac{2\sqrt{h^2+S^2}}{4h+S}. \qquad (1)

При $h = S$

\frac{t_1}{t_2} = \frac{2\sqrt{h^2+S^2}}{4h+S} = \frac{2\sqrt{2}}{5} \approx 0{,}566, \qquad (2)

то есть «байдарочник» побеждает.

Спортсмены придут к финишу одновременно при выполнении условия

\frac{t_1}{t_2} = \frac{2\sqrt{h^2+S^2}}{4h+S} = 1. \qquad (3)

Решая это уравнение, находим

S = \frac{4h + \sqrt{16h^2 + 36h^2}}{3} = h\,\frac{4 + 2\sqrt{13}}{3} \approx 374\,\text{м}. \qquad (4)

Чтобы время движения второго спортсмена было минимально, он может выбрать другой «маршрут»: пусть он сначала бежит по берегу по отрезку $AD$ , а затем вплавь по отрезку $DB$ . Чтобы «выбрать оптимальную точку $D$ , воспользуемся следующими рассуждениями: при движении по берегу, скорость его приближения к точке финиша равна

Оптимальный маршрут: бег по берегу от A до D (отрезок x) со скоростью 2V₀, затем плавание от D к C со скоростью V₀/2 под углом α к берегу; подписи A, B, C, D, h, S, x, α.

v_C = 2v_0 \cos\alpha. \qquad (5)

Очевидно, что имеет смысл бежать по берегу до тех пока, эта скорость больше, чем скорость приближения в плавь. Таким образом, спортсмен должен начать плыть в точке, где направление на точку финиша, определяется соотношением

v_C = 2v_0 \cos\alpha = \frac{v_0}{2}. \qquad (6)

Из него следует

\cos\alpha = \frac{1}{4};\quad \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \frac{\sqrt{15}}{4};\quad \mathrm{tg}\,\alpha = \sqrt{15}.

Тогда $x = \left|AD\right| = S - \dfrac{h}{\mathrm{tg}\,\alpha} \approx 574\,\text{м}$ .

Полное время движения по оптимальному маршруту

t_2 = \frac{x}{2v_0} + \frac{\sqrt{h^2 + (S-x)^2}}{\dfrac{v_0}{2}}, \qquad (7)

А отношение времен движения

\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{h^2+S^2}}{\dfrac{x}{2} + 2\sqrt{h^2 + (S-x)^2}} = \frac{2\sqrt{37}}{6+\sqrt{15}} \approx 1{,}23. \qquad (8)

Оригинал в Архива: 3_etap_2005_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2005_solutions.pdf