Съдържание

BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 3. 9 класс. «Термометр»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2005 год.

Условие

Большинство веществ при нагревании расширяются. Относительное расширение тел обычно мало, поэтому может быть описано простейшими линейными зависимостями.

Прямоугольный брусок в перспективе; снизу размерная стрелка с подписью l — длина его стороны.

Если однородный брусок нагревается, то все его линейные размеры увеличиваются пропорционально, длина его стороны $l$ зависит от температуры $t^{\circ}$ ( в градусах Цельсия) по закону

l = l_0\left(1 + \alpha t^{\circ}\right), \qquad (1)

где $\alpha$ называется коэффициентом линейного расширения.

Очевидно, что при нагревании увеличивается и объем бруска, причем его объем зависит от температуры по закону

V = V_0\left(1 + \beta t^{\circ}\right), \qquad (2)

где $\beta$ называется коэффициентом объемного расширения.

3.1 Какой физический смысл имеют параметры $l_0, V_0, \alpha, \beta$ в уравнениях (1) и (2)?

3.2 Установите связь между параметрами $\alpha, \beta$ одного вещества.

Уверены, что вы знакомы с устройством ртутного термометра: длинная стеклянная цилиндрическая трубка соединена с небольшим стеклянным баллоном, заполненным ртутью. При нагревании ртуть расширяется, длина столбика ртути увеличивается. Его длина измеряется по шкале, которая проградуирована в градусах Цельсия.

Ртутный термометр: баллон объемом V₀ внизу, от него вверх идет узкая трубка со столбиком ртути высотой h, справа шкала с делениями.

В рассматриваемом термометре при температуре $t_0 = 0{,}0^{\circ}C$ :

внутренний объем баллона $V_0 = 200\,\text{мм}^3$ ;
внутренний диаметр трубки $d_0 = 0{,}20\,\text{мм}$ ;
ртуть полностью заполняет баллончик, но не заходит в трубку;
коэффициент объемного расширения ртути равен $\beta = 1{,}8 \cdot 10^{-4}\,{}^{\circ}C^{-1}$ ;
коэффициент линейного расширения стекла $\alpha = 3{,}0 \cdot 10^{-6}\,{}^{\circ}C^{-1}$ .

3.3 Пренебрегая тепловым расширением стекла, постройте график зависимости высоты уровня ртути в трубке $h$ (в мм) от измеряемой температуры $t^{\circ}$ (в градусах Цельсия).

3.4 Пусть термометр проградуирован без учета теплового расширения стекла (как указано в предыдущем пункте 3.2). Найдите относительную погрешность показания такого термометра, связанную с тепловым расширением стекла, при температуре $t_1 = 10^{\circ}C$ .

Отговори

Решение

3.1 Смысл параметров, входящих в приведенные формулы следующий: $l_0, V_0$ - длина и объем тела при $t = 0^{\circ}C$ , $\alpha = \dfrac{\Delta l}{l_0}\dfrac{1}{t}$ - относительное удлинение при изменении температуры на 1 градус, аналогично $\beta = \dfrac{\Delta V}{V_0}\dfrac{1}{t}$ - относительное изменение объема при изменении температуры на 1 градус.

3.2 Изменение объема тела может быть выражено через изменение его линейных размеров

V = l_{10}\left(1+\alpha t\right) l_{20}\left(1+\alpha t\right) l_{30}\left(1+\alpha t\right) \approx l_{10} l_{20} l_{30}\left(1 + 3\alpha t\right),

В этом выражении мы пренебрегли малыми слагаемыми второго и третьего порядка.

Сравнивая с формулой для изменения объема $V = V_0\left(1+\beta t\right)$ , получаем связь между параметрами

График: прямая h(t), выходящая из начала координат; ось абсцисс t, °C с делениями 2–10, ось ординат h, мм с делениями 2–10, сетка.

\beta = 3\alpha. \qquad (1)

3.3 Для «градуировки» столбика термометра достаточно записать соотношение для изменения объема ртути

V_0 + \frac{\pi d_0^2}{4} h = V_0\left(1+\beta t\right). \qquad (2)

Откуда следует

h = \frac{4V_0\beta}{\pi d_0^2}\, t \approx 1{,}15 t, \qquad (3)

графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат.

3.4 При учете изменения размеров стекла соотношение для изменения объема ртути имеет вид

V_0\left(1+3\alpha t\right) + \frac{\pi d_0^2\left(1+2\alpha t\right)}{4} h_1 = V_0\left(1+\beta t\right). \qquad (4)

Из этого уравнения определяем высоту подъема

h_1 = \frac{4V_0}{\pi d_0^2}\,\frac{\beta - 3\alpha}{1 + 2\alpha t}\, t \approx \frac{4V_0\beta}{\pi d_0^2}\, t\left(1 - 3\frac{\alpha}{\beta} - 2\alpha t\right). \qquad (5)

Этому значению высоты подъема, по градуировочной зависимости (3) будет «приписана» температура

t_{\text{изм.}} = \frac{\pi d_0^2}{4V_0\beta} h_1 = t\left(1 - 3\frac{\alpha}{\beta} - 2\alpha t\right).

Следовательно, относительная погрешность измерения температуры равна

\varepsilon = \frac{t_{\text{изм}} - t}{t} = -3\frac{\alpha}{\beta} - 2\alpha t \approx -5{,}0 \cdot 10^{-2}.

Оригинал в Архива: 3_etap_2005_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2005_solutions.pdf