Съдържание

BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 4. 9 класс. «Поможем Техасу»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2005 год.

Условие

В Техасе выпал снег, и «они» не знают, что с ним делать!

Для плавления снега создано следующее снегоплавильное устройство. В глубокую яму шириной $a = 1{,}0\,\text{м}$ и длиной $b = 5{,}0\,\text{м}$ постоянно засыпают снег, находящийся при температуре плавления. Две противоположные боковые стены ямы металлические и подсоединены к источнику постоянного напряжения $U = 1{,}0\,\text{кВ}$ . В дне ямы имеется кран для слива талой воды и поддержания его на постоянном уровне $h = 1{,}5\,\text{м}$ .

Яма в виде прямоугольного параллелепипеда шириной a и длиной b, заполненная снегом; нижняя часть высотой h — талая вода; две противоположные стенки соединены проводами с источником напряжения U.

Характеристики воды известны:

плотность $\gamma = 1{,}0 \cdot 10^3\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ ;
удельная теплота плавления снега $\lambda = 3{,}3 \cdot 10^5\,\dfrac{\text{дж}}{\text{кг}}$ ;
удельное электрическое сопротивление талой воды $\rho = 1{,}0\,\text{Ом} \cdot \text{м}$ ;
проводимостью снега можно пренебречь.

4.1 Определите производительность (объем талой воды в единицу времени) данной установки.

График зависимости уровня воды h, м от времени t, мин: плавно возрастающая кривая от h = 1,5 м при t = 0 до примерно 4,4 м при t ≈ 5,5 мин; сетка, по оси t деления 1–5, по оси h деления 1–4.

В некоторый момент времени сливной кран засорился, и уровень воды в яме стал резко нарастать. Зависимость уровня воды от времени $h(t)$ показана на графике.

4.2 Объясните приведенную зависимость, дайте ее описание на «языке формул и уравнений».

4.3 За какое время вода заполнит всю яму, если ее глубина $H = 6{,}0\,\text{м}$ ?

Отговори

Решение

4.1 Из уравнения теплового баланса следует, что за единицу времени джоулева теплота $\dfrac{U^2}{R} = \dfrac{U^2 hb}{\rho a}$ , выделившаяся при прохождении тока, пойдет на плавление $m = q\gamma$ килограммов снега, т.е.

\frac{U^2 hb}{\rho a} = q\gamma\lambda, \qquad (1)

откуда следует

q = \frac{U^2 hb}{\rho a\gamma\lambda} \approx 2{,}3 \cdot 10^{-2}\,\frac{\text{м}^3}{\text{с}}. \qquad (2)

4.2 Если за время $\Delta t$ уровень воды поднялся на $\Delta h$ , то за это время расплавилось $\Delta m = \Delta h ab\gamma$ льда, на что было затрачено количество теплоты, равное $\Delta Q = \dfrac{U^2}{R}\Delta t = \dfrac{U^2 bh}{\rho a}\Delta t$ . Уравнение теплового баланса в этом случае будет иметь вид

\frac{U^2 bh}{\rho a}\Delta t = \Delta h ab\gamma\lambda, \qquad (3)

из которого следует, что скорость изменения уровня воды в яме пропорциональна высоте этого уровня

\frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{U^2}{\rho a^2\gamma\lambda} h \approx 0{,}18 h, \qquad (4)

где $t$ в минутах, коэффициент пропорциональности имеет размерность $\left[\text{мин}^{-1}\right]$

Используя приведенные в условии график можно показать, выполнение этой зависимости, для чего достаточно рассмотреть малые промежутки времени (например, $\Delta t = 1\,\text{мин}$ ).

Так как изменение высоты пропорционально самой высоте, то за одинаковые промежутки времени высота изменяется в одно и тоже число раз. По графику видно, что за время $t \approx 4\,\text{мин}$ высота увеличилась в два раза, следовательно, она увеличится в 4 раза за время в два раза большее, то есть за 8 минут.

Оригинал в Архива: 3_etap_2005_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2005_solutions.pdf