Съдържание

BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 6. 10 класс. «Кипение»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2005 год.

Условие

При температуре $100^{\circ}C$ и нормальном атмосферном давлении с поверхности воды за время $t = 1{,}0\,\text{c}$ испаряется $N = 5 \cdot 10^6$ молекулярных слоев воды. Плотность водяного пара при этих условиях равна $\rho = 0{,}60\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ , плотность воды $\rho_0 = 1{,}0 \cdot 10^3\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ .

При кипении испарение происходит не только со свободной поверхности, но и «внутрь» жидкости, т.е. в пузырьки.

2.1 Пусть внутри жидкости образовался микроскопический пузырек. Найдите зависимость его радиуса $r(t)$ от времени.

При всплытии пузырька в воде, на него действует тормозящая сила, формулу для которой записывают в виде

F = C_x\frac{1}{2}\rho_0 v^2 S, \qquad (1)

где $\rho_0$ - плотность воды, $v$ - скорость движения пузырька $S$ - максимальная площадь его поперечного сечения, $C_x$ - безразмерный коэффициент лобового сопротивления, для шарика он равен $C_x \approx 0{,}60$ .

2.2 Постройте график зависимости скорости всплытия пузырька от времени $v(t)$ , начиная от момента его зарождения.

2.3 Пусть пузырек зародился вблизи дна кастрюли с кипящей водой, уровень которой $h = 25\,\text{см}$ . Оцените радиус $r_{\max}$ пузырька у поверхности воды.

Отговори

Решение

2.1 Рассмотрим пузырек пара радиуса $r$ (рис. 3), образовавшийся внутри кипящей жидкости. Пузырек увеличивает свой радиус вследствие испарения жидкости внутрь его.

Согласно условию за время $\Delta t$ с поверхности жидкости $S$ (поверхности пузырька) испарится объем воды $\Delta V$ :

\Delta V = NDS\Delta t, \qquad (1)

Пузырек пара радиуса r в воде: внутренняя окружность радиуса r и тонкий сферический слой толщиной Δr; вверх направлена сила Архимеда F_A, вниз — сила сопротивления F_C. — Рис. 3

где $D$ — «эффективный диаметр» молекулы воды. Соответственно, объем пузырька также должен увеличиться на $\Delta V$ . С другой стороны $\Delta V$ можно представить как объем тонкой сферы радиусом $r$ и толщиной $\Delta r$ (см. рис.3):

\Delta V = S\Delta r = 4\pi r^2\Delta r. \qquad (2)

Из (1) и (2) находим приращение радиуса пузырька пара $\Delta r$ за время $\Delta t$

\Delta r = ND\Delta t = \left\{\beta = ND\right\} = \beta\Delta t. \qquad (3)

Как следует из (3), приращение радиуса $\Delta r$ пузырька пара за время $\Delta t$ не зависит от его радиуса $r$ , т.е. радиус пузырька равномерно увеличивается со временем

r = \beta \cdot t. \qquad (4)

2.2 Поскольку плотность пара гораздо меньше плотности воды, то силой тяжести пузырька пара по сравнению с действующей на него силой Архимеда можно пренебречь.

Скорость пузырька $\upsilon$ будет расти до тех пор, пока сила Архимеда не уравновесится силой сопротивления со стороны воды (см. рис.3)

F_A = F_C,

\rho_0 g\frac{4}{3}\pi r^3 = C_x\frac{1}{2}\rho_0\upsilon^2\pi r^2,

\upsilon^2 = \frac{8}{3}\cdot\frac{g}{C_x} r = \left\{(4)\right\} = \frac{8}{3}\cdot\frac{g}{C_x}\cdot\beta t = \left\{\gamma = \frac{8}{3}\cdot\frac{g}{C_x}\cdot\beta\right\} = \gamma\cdot t.

График υ(t): возрастающая выпуклая кривая из начала координат, выходящая на насыщение; отмечены υ_max и t_max, площадь под кривой от 0 до t_max заштрихована и подписана h = S.

Подобные приближения, при которых считается, что в каждый момент времени система находится в равновесном (стационарном) состоянии, называются квазистационарными (или как модно говорить сегодня «как бы» стационарными). Соответственно в нашем случае

\upsilon(t) = \sqrt{\gamma t}. \qquad (5)

График зависимости (5) представлен на рисунке.

2.3 Для нахождения радиуса пузырька $r_{\max}$ у поверхности воды необходимо знать время его всплытия $t_{\max}$ . Заметим, что при точном решении на рис.4 при $t = t_{\max}$ площадь под графиком $S$ (или площадь криволинейной трапеции) должна быть равна глубине сосуда $h$

S(t_{\max}) = h.

Для оценки этой величины мы поступим достаточно «прямолинейно». При всплытии максимальная скорость пузырька $\upsilon_{\max}$ достигается у поверхности

\upsilon_{\max} = \sqrt{\gamma t_{\max}}. \qquad (6)

Заменим кривую на графике зависимости (5) прямой, т.е. будем считать движение пузырька равноускоренным, тогда его средняя скорость

\langle\upsilon\rangle = \frac{0 + \upsilon_{\max}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\gamma t_{\max}}.

Тогда

h = \langle\upsilon\rangle t_{\max} = \frac{1}{2}\sqrt{\gamma t_{\max}}\cdot t_{\max} = \frac{\sqrt{\gamma}}{2}(t_{\max})^{\frac{3}{2}}. \qquad (7)

С помощью (7) получаем оценку для времени всплытия $t_{\max}$

t_{\max} = \left(\frac{2h}{\sqrt{\gamma}}\right)^{\frac{2}{3}}. \qquad (8)

Соответственно с учетом (4) и (8) находим $r_{\max}$

r_{\max} = \beta\cdot t_{\max} = \beta\left(\frac{2h}{\sqrt{\gamma}}\right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}\cdot\frac{C_x D^2 N^2 h^2}{g}}. \qquad (9)

Для расчета примем, что диаметр молекулы воды по порядку величины равен диаметру атома водорода $D = 1\text{Å} = 1{,}0 \cdot 10^{-10}\,\text{м}$ , тогда из (9) получаем:

r_{\max} = 1{,}1 \cdot 10^{-3}\,\text{м} = 1{,}1\,\text{мм}.

Оригинал в Архива: 3_etap_2005_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2005_solutions.pdf