BelPhO 2005, Областен етап, 9–11 клас — Задача 7. 10 класс. «Диэлектрик, или проводник?»

• 3.2 0.18 s

  $\tau = 2\rho\varepsilon_0$

• 3.3 0.000078 J

Рассмотрим физическую картину происходящих явлений. Сразу после замыкания цепи на пластинке возникают поляризационные заряды (пластинка на малых временах ведет себя как диэлектрик), затем в пластике в результате протекания тока происходит перераспределение заряда, пока поле внутри пластинки не исчезнет (пластинка становится проводником).

Обозначим поверхностную плотность заряда на обкладках конденсатора $\sigma_0$, а на поверхности пластинки $\sigma'$ (знаки зарядов указаны на рисунке). Так как напряжение между обкладками поддерживается постоянным, то выполняется соотношение

где $E_0, E_1$ напряженности электрических полей между обкладками и пластинкой и внутри пластинки, соответственно. Напряженности полей связаны с поверхностными плотностями зарядов соотношениями

После замыкания цепи практически мгновенно на пластинке возникнут поляризационные заряды, такие, что напряженность поля внутри пластики будет в $\varepsilon$ раз меньше напряженности поля вне ее $E_1 = \dfrac{E_0}{\varepsilon}$, поэтому из соотношения (1) получим

Это поле создается зарядами на обкладках

Под действием поля внутри пластинки начнет течь электрический ток, который будет изменять заряды, как на поверхности пластинки, так и на обкладках конденсатора. Ток прекратится, когда напряженность поля внутри пластинки станет равной нулю. После завершения этого процесса перераспределения напряженности полей станут равными

а заряд на обкладках

Таким образом, заряд конденсатора будет изменяться от $Q_0 \approx 7{,}9 \cdot 10^{-8}\,\text{Кл}$ до $Q_{01} \approx 11 \cdot 10^{-8}\,\text{Кл}$.

Для описания динамики изменения этого заряда из соотношение (1) –(2) выразим

где $Q'$ - заряд на поверхности пластинки. Изменение этого заряда обусловлено электрическим током внутри пластинки, сила которого определяется законом Ома

Избавляясь в этом уравнении от $Q'$ с помощью соотношений (6) получим уравнение, описывающее изменение заряда конденсатора

Из этого уравнения следует, что характерное время изменения заряда (следовательно, и существования тока) равно

Начальное значение силы тока $I_{00} = -\dfrac{1}{2\varepsilon_0\rho}\left(Q_0 - Q_{01}\right) \approx 1{,}8 \cdot 10^{-7}\,\text{A}$, который затем убывает до нуля.

Для определения количества теплоты, выделившейся в пластинке, можно воспользоваться энергетическим соотношением:

• после замыкания цепи конденсатор обладал энергией $W_0 = \dfrac{C_0 U_0^2}{2} = \dfrac{1}{2} Q_0 U_0$, где $C_0 = \left(\left(\dfrac{2\varepsilon_0 S}{h}\right)^{-1} + \left(\dfrac{2\varepsilon\varepsilon_0 S}{h}\right)^{-1}\right)^{-1} = \dfrac{\varepsilon}{\varepsilon + 1}\dfrac{2\varepsilon_0 S}{h}$ - начальная емкость конденсатора;
• за время протекания тока источник совершил работу $A = \left(Q_{01} - Q_0\right) U_0$;
• после перераспределения конденсатор обладает энергией $W_1 = \dfrac{C_1 U_0^2}{2} = \dfrac{1}{2} Q_{01} U_0$, где $C = \dfrac{2\varepsilon_0 S}{h}$ - емкость конденсатора, после прекращения тока.

Таким образом, энергетический баланс представляется уравнением

здесь $\tilde Q$ - количество выделившейся теплоты. Из этого уравнения находим