Съдържание

Условие Часть 1. «Магнитное поле»Часть 2. «Опилки»Часть 3. «Течение и расход»Решение

BelPhO 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-Т3. 11-3. Магнитная регулировка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада 2005 — заключительный этап, теоретический и экспериментальный туры, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал: 33 страницы условий, 41 страница теоретических решений; 17 самостоятельных заданий (11T+6E), 99 нумерованных пунктов. Решения шести экспериментальных заданий отсутствуют в полном архивном комплекте. Исходные ошибки, противоречия, повторные номера и дефекты рисунков сохранены с отдельно указанными примечаниями читателя. Решения из архивного издания.

Условие

В данной задаче исследуется возможность управлением течением жидкости с помощью магнитного поля. В качестве жидкости используется растительное масло, смешанное с мелкими железными опилками. Эта смесь протекает по длинной узкой горизонтальной трубке, которая проходит через тонкую кольцевую катушку, по которой пропускают постоянный электрический ток. Ось катушки совпадает с осью трубки.

Поток масла u в трубке, катушка радиуса R с током I, ось Z

Параметры устройства:

внутренний радиус трубки $r_0=1{,}0\ \text{мм}$ ;
радиус катушки $R=1{,}0\ \text{см}$ ; катушка содержит $N=100$ витков;
опилки можно считать железными шариками диаметром $a=0{,}10\ \text{мм}$ , плотность железа $\rho=7{,}8\cdot10^3\ \text{кг/м}^3$ ; ускорение свободного падения $g=9{,}8\ \text{м/с}^2$ ;
плотность масла $\rho_0=0{,}80\cdot10^3\ \text{кг/м}^3$ ;
концентрация опилок в неподвижном масле $n_0=10\ \text{штук/мм}^3$ ;
на концах трубки поддерживается постоянная разность давлений $\Delta P_0=1{,}0\ \text{кПа}$ ;
магнитная проницаемость масла равна 1, магнитная постоянная $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \text{Гн/м}$ .

При отсутствии электрического тока в катушке расход масла (объем, протекающий через трубку в единицу времени) постоянен и равен $q_0=10\ \text{см}^3/\text{мин}$ .

Скорости движения различных слоев масла внутри трубки различаются и зависят от расстояния до оси. Однако, для упрощения задачи будем считать, что скорость течения постоянна в поперечном сечении (см. также примечание к задаче 1.2). Также будем считать, что сила, действующая на отдельную частицу со стороны магнитного поля, зависит только от расстояния до катушки и не зависит от расстояния до оси.

Часть 1. «Магнитное поле»

1.1 Покажите, что модуль вектора индукции магнитного поля на оси катушки на расстоянии $z$ от ее центра определяется формулой

B_z=\frac{\mu_0INR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}=B_0\left(1+\frac{z^2}{R^2}\right)^{-3/2},\qquad (1)

где $I$ — сила тока в катушке. Вычислите значение величины $B_0$ при силе тока в катушке $I_0=1{,}0\ \text{А}$ .

1.2 Можно, считать, что проекция вектора индукции на ось катушки $B_z$ на заданном расстоянии от центра остается постоянной в поперечном сечении на небольшом расстоянии от оси. Найдите радиальную составляющую вектора магнитной индукции $B_r$ , как функцию расстояний до центра катушки $z$ и до ее оси $r$ .

Линии магнитного поля и составляющие Bz, Br вблизи оси

Часть 2. «Опилки»

2.1 При движении опилок в масле на отдельную частицу действует сила сопротивления,, которая пропорциональна диаметру частицы и ее относительной скорости $F=\beta v$ .

Определите численное значение параметра $\beta$ , если известно, что скорость оседания опилок в неподвижном масле равна $0{,}10\ \text{мм/с}$ .

В дальнейшем используйте обозначение этой величины и ее численное значение.

2.2 При помещении опилок в магнитное поле, каждая частица приобретает наведенный магнитный момент $p_m=\chi\frac B{\mu_0}V$ , где $V$ — объем частицы, $\chi$ — магнитная восприимчивость материала, которая для используемых опилок равна $\chi=800$ . Магнитным гистерезисом материала опилок и их взаимодействием следует пренебречь.

Покажите, что сила, действующая на отдельную частицу пропорциональна квадрату силы тока в кольце.

Простейшей системой, обладающей магнитным моментом является контур с током, магнитным моментом такого контура является произведение площади контура на силу тока в нем $p_m=IS$ .

2.3 Найдите зависимость силы, действующей на отдельную частицу опилок со стороны магнитного поля кольца, от расстояния до центра кольца, $F_m(z)$ при силе тока в катушке $I_0=1{,}0\ \text{А}$ . Считайте, что частица находится на оси системы. Постройте график этой зависимости.

Для дальнейших расчетов сделаем еще одно упрощение — будем считать, что сила притяжения опилок к центру кольца постоянная и равна $f_0$ на расстоянии равном $l_0$ , а на больших расстояниях пренебрежимо мала. В качестве величины $f_0$ возьмите половину максимального значения силы $F_m(z)$ , а в качестве $l_0$ — удвоенное расстояние от центра кольца, до точки, в которой сила $F_m(z)$ максимальна.

Ступенчатое приближение магнитной силы: ±f₀ и расстояния ±l₀

Определите численное значение величины $l_0$ , а также коэффициент пропорциональности $A$ между параметром $f_0$ и квадратом силы тока в кольце $f_0=AI^2$ .

Также в дальнейшем используйте эти параметры и их численные значения.

Часть 3. «Течение и расход»

3.1 Найдите зависимость концентрации опилок в потоке масла от расстояния до центра кольца при скорости течения масла равной $u$ .

3.2 Какую дополнительную разность давлений на масло создает сила магнитного взаимодействия опилок с полем кольца при скорости течения масла равной $u$ ?

3.3 Чему равно относительное изменение расхода масла $\frac{\delta q}{q_0}$ , при силе тока через катушку $I_0=1{,}0\ \text{А}$ ? Как зависит относительное изменение расхода масла от силы тока в катушке?

3.4 При какой силе тока в катушке течение масла прекратится?

Решение

Часть 1. «Магнитное поле»

1.1 Для определения индукции на оси кольца (обозначим ось $Z$ ) следует воспользоваться законом Био-Саварра-Лапласа. Выделим на кольце небольшой элемент длиной $\Delta l$ , который создает в точке $A$ магнитное поле индукции $\Delta\vec B$ . Из симметрии системы следует, что суммарный вектор индукции направлен вдоль оси системы. Поэтому для его вычисления достаточно просуммировать проекции векторов индукции, создаваемые отдельными элементами тока кольца

\Delta B_z=\frac{\mu_0I\Delta l}{4\pi(R^2+z^2)}\sin\alpha =\frac{\mu_0I\Delta lR}{4\pi(R^2+z^2)^{3/2}}.

Закон Био-Саварра: элемент кольца Δl, ток I, точка A, ΔB и ΔBz

Такое суммирование выполняется элементарно (заменой длины выбранного элемента кольца на его полную длину), откуда и следует приведенная в условии формула

B_z=\frac{\mu_0INR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}} =B_0\cdot\frac1{(1+\xi^2)^{3/2}},\qquad (1)

где обозначено $\xi=\frac zR$ , множитель $B_0$ имеет смысл индукции в центре кольца и равен

B_0=\frac{\mu_0IN}{2R} =\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1{,}0\cdot100}{2\cdot1{,}0\cdot10^{-2}} \approx6{,}28\cdot10^{-3}\ \text{Тл}.\qquad (2)

1.2. Для вычисления радиальной составляющей вектора магнитной индукции можно воспользоваться теоремой о магнитном потоке, который равен нулю через любую замкнутую поверхность. В качестве таковой выберем тонкий цилиндр малой толщиной $\Delta z$ и радиуса $r$ , ось которого совпадает с осью катушки. Из теоремы о магнитном потоке следует выражение

B_z(z+\Delta z)\cdot\pi r^2-B_z(z)\cdot\pi r^2+B_r\cdot2\pi r=0,

из которого определяем радиальную составляющую поля

B_r=-\frac r2\frac{dB_z}{dz} =\frac r2\frac{3B_0}{2}\frac{2\xi}{(1+\xi^2)^{5/2}}\cdot\frac1R =\frac32B_0\frac{\xi}{(1+\xi^2)^{5/2}}\cdot\frac rR.\qquad (3)

Тонкий цилиндр радиуса r и толщины Δz: поверхности и магнитный поток

Часть 2. «Опилки»

2.1 Так частицы опилок малы, то оседать они будут равномерно с установившейся скоростью $\bar v$ которая определяется из условия равновесия сил

mg-F_A=\beta\bar v.

Выражая силу тяжести и силу Архимеда через плотности железа и масла, получим равенство $\frac43\pi a^3(\rho-\rho_0)g=\beta\bar v$ , из которого определим неизвестный коэффициент силы сопротивления

\beta=\frac{4\pi a^3(\rho-\rho_0)g}{3\bar v} =\frac{4\pi(1{,}0\cdot10^{-4})^3\cdot7{,}0\cdot10^3\cdot9{,}8}{3\cdot10^{-4}} =2{,}87\cdot10^{-3}\ \text{кг/с}.\qquad (4)

2.2 Сила взаимодействия магнитного диполя с магнитным полем пропорциональна произведению индукции поля магнитного момента. Кроме того, индуцированный момент пропорционален индукции поля. Этих рассуждений достаточно для обоснования утверждения о том, что сила пропорциональна квадрату индукции поля.

2.3 Для определения силы, действующей на частицу, обладающую магнитным моментом, представим ее в виде кругового тока силой $i$ и некоторого радиуса $a$ (не обязательно совпадающим с размером частицы). Сила Ампера определяется радиальной составляющей вектора индукции, и равна (с учетом формулы (3))

F_m=-i\cdot2\pi a\cdot B_r =i\cdot2\pi a\cdot\frac a2\frac{dB_z}{dz} =\pi a^2\frac{dB_z}{dz}=p_m\frac{dB_z}{dz}.

Круговой ток i, радиальное магнитное поле Br и элемент δr

Существенно, что рассматриваемая сила зависит только от магнитного момента (а не от «придуманных» параметров $i,a$ ), продолжая цепочку преобразований, получим окончательное выражение

\begin{aligned} F_m&=p_m\frac{dB_z}{dz} =\chi V\frac{B_z}{\mu_0}\frac{dB_z}{dz} =\chi V\frac d{dz}\left(\frac{B_z^2}{2\mu_0}\right)\\ &=-\chi V\frac{3B_0^2}{\mu_0R}\frac{\xi}{(1+\xi^2)^4} =-F_0\frac{\xi}{(1+\xi^2)^4}, \end{aligned}\qquad (5)

где обозначено

F_0=\chi V\frac{3B_0^2}{\mu_0R} =800\cdot\frac43\pi(10^{-4})^3\cdot \frac{3(6{,}28\cdot10^{-3})^2}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1\cdot10^{-2}} \approx3{,}16\cdot10^{-5}\ \text{Н}.

Анализ функции (5) может быть проведен стандартными методами. Так, например, функция антисимметрична. Вычисляя производную и полагая ее равной нулю

\left(\frac{\xi}{(1+\xi^2)^4}\right)' =\frac{(1+\xi^2)^4-\xi\cdot4(1+\xi^2)^3\cdot2\xi}{(1+\xi^2)^8} =\frac{(1+\xi^2)-8\xi^2}{(1+\xi^2)^5}=0,

определим положение экстремумов $\xi_*=\pm\frac1{\sqrt7}\approx0{,}38$ ; и экстремальные значения функции в этой точке

F_{m\max}=\pm F_0\frac1{\sqrt7}\frac{7^4}{8^4} \approx\pm0{,}222F_0=\pm7{,}02\cdot10^{-6}\ \text{Н}.

Тем самым можно определим параметры предлагаемой аппроксимации

l_0=\frac{2R}{\sqrt7}=7{,}56\cdot10^{-3}\ \text{м}; \qquad f_0=3{,}56\cdot10^{-6}\ \text{Н}.\qquad (6)

На рисунке показан график этой функции и ее предлагаемая аппроксимация.

Сила Fm/F₀ от z/R и ступенчатая аппроксимация ±f₀, ±l₀

Заметим, что коэффициент пропорциональности в зависимости $f_0=AI^2$ , численно равен найденному значения (6), так как эта величина рассчитана при силе тока в 1 ампер, поэтому

A=3{,}56\cdot10^{-6}\ \text{Н/А}^2.

Часть 3. «Течение и расход»

В этой основной части задачи отметим, что влияние железных опилок на движение масла возможно лишь тогда, когда они движутся относительно масла! Действительно, если опилки жестко «скреплены» с движущейся жидкостью и равномерно в ней распределены, то суммарная сила, действующая на такую жесткую смесь равна нулю — силы, действующие с разных сторон кольца, уравновешивают друг друга. Очевидной причиной различия скоростей является «магнитная сила, действующая на опилки, но не на масло. Таким образом, необходимо рассмотреть движение опилок, с учетом того, что их скорости могут отличаться от скорости масла, которая в свою очередь постоянна по всей длине трубки, вследствие постоянства потока. Кроме того, в рамках сделанного приближения мы считаем скорость жидкости постоянной и в поперечном сечении трубки. Итак, обозначим постоянную скорость движения масла $u$ . Рассмотрим движение отдельной железной частицы, скорость которой обозначим $v$ . На основании второго закона Ньютона, уравнение ее движения имеет вид

ma=\beta(u-v)+F_m(z).\qquad (1)

Поток масла u, частица v, силы вязкости и магнитного поля

где первое слагаемое описывает силу сопротивления, а второе — силу со стороны магнитного поля, вычислением которой мы так долго занимались.

Так как частица мала, то можно в очередной раз использовать квазистационарное приближение, считая, что в любой момент времени суммарная сила, действующая на частицу равна нулю (т.е. полагая $ma=0$ ).

В этом вполне обоснованном приближении можно выразить скорость частицы как функцию координаты

v(z)=u+\frac{F_m(z)}\beta.\qquad (2)

В установившемся движении среднее число опилок, проходящее через любое поперечное сечение трубки постоянно (выполняется «закон сохранения числа опилок»), что может быть выражено очевидным уравнением

n_0u=n(z)v,\qquad (3)

которое с использованием выражения (2) позволяет найти концентрацию опилок как функцию координаты

n(z)=\frac{n_0u}{v(z)}=\frac{n_0u}{u+\frac{F_m(z)}\beta} =\frac{n_0}{1+\frac{F_m(z)}{\beta u}}.\qquad (4)

Для используемой нами зависимости силы от координаты, эта зависимость качественно представлена на рисунке: при приближении к катушке скорость опилок возрастает, а их концентрация падает, за катушкой ситуация обратная. Следовательно, за катушкой создается повышенная концентрация медленно движущихся опилок, которые тормозят движение масла.

Концентрация n(z) перед катушкой и после нее, обе границы слоя

3.2 Прежде чем переходить к рассмотрению довольно сложного выражения (4) оценим отношение модулей сил, действующих на отдельную частицу. Для оценки силы вязкого трения, действующей на покоящуюся частичку $\beta u_0$ , находящуюся в потоке масла, выразим скорость движения масла в отсутствии магнитного поля из известного значения расхода масла

u_0=\frac{q_0}{\pi r_0^2}=\frac{10\cdot10^{-6}}{60\pi\cdot10^{-6}} \approx5{,}31\cdot10^{-2}\ \text{м/с},

в этом случае сила вязкого трения $\beta u_0=1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{Н}$ значительно больше вычисленной ранее магнитной силы $f_0$ . Поэтому добавка к единице в знаменателе функции (4) мала, поэтому это выражение можно упростить

n(z)=n_0\left(1+\frac{F_m(z)}{\beta u}\right)^{-1} \approx n_0\left(1-\frac{F_m(z)}{\beta u}\right).

Если жидкость действует на частицу с силой $\beta(u-v)$ , то с такой же по модулю силой частичка действует на жидкость. Выделим в движущейся жидкости слой толщиной $\Delta z$ , суммарная сила³, действующая на жидкость со стороны опилок в этом слое, будет равна

\delta(\Delta P_m)=n\Delta z\beta(v-u)=n\Delta zF_m(z).\qquad (5)

здесь $n\Delta z$ — число опилок в слое единичной площади, кроме того учтено квазистационарное приближение уравнивающее силу вязкости с магнитной силой. Для того чтобы найти суммарное давление необходимо просуммировать выражение (5) по всей длине трубки, такое суммирование в рассматриваемом случае проводится тривиально (необходимо просуммировать два слагаемых, соответствующих двум областям, где скорость опилок отлична от скорости масла

\Delta P_m=n_0\left(1-\frac{f_0}{\beta u}\right)f_0l_0 -n_0\left(1+\frac{f_0}{\beta u}\right)f_0l_0 =-\frac{2n_0f_0^2l_0}{\beta u}.\qquad (6)

³ Будем считать, что выделенный слой имеет единичную площадь поперечного сечения, тогда мы с полным основанием можем говорить о давлении опилок на жидкость.

В соответствии с нашими качественными рассуждениями это дополнительное давление оказалось отрицательным, то есть действительно, магнитное поле, действуя непосредственно только на опилки, опосредовано тормозит масло.

3.3 Относительное изменение расхода ввиду малости дополнительного давления также будет мало, поэтому может быть найдено приближенными методами. Запишем выражения для расхода масла в двух случаях в присутствии поля и без него

q_0=C\Delta P_0,\qquad q=C(\Delta P_0+\Delta P_m)\qquad (7)

и найдем их отношение

\frac q{q_0}=1+\frac{\Delta P_m}{\Delta P_0} =1-\frac{2n_0f_0^2l_0}{\beta u\Delta P_0}.\qquad (8)

Нет необходимости решать это уравнение точно (обратите внимание — справа в уравнении присутствует неизвестная скорость $u$ , пропорциональная расходу масла), так как само уравнение является приближенным, поэтому, не теряя степени точности, можно считать, что $u\approx u_0$ и записать

\frac q{q_0}=1+\frac{\Delta P_m}{\Delta P_0} =1-\frac{2n_0f_0^2l_0}{\beta u_0\Delta P_0},\qquad (9)

откуда следует

\frac{\delta q}{q_0}=-\frac{2n_0f_0^2l_0}{\beta(u_0+\delta u)\Delta P_0} \approx-\frac{2n_0f_0^2l_0}{\beta u_0\Delta P_0}.\qquad (10)

Подстановка численных значений дает результат $\frac{\delta q}{q_0}\approx-1{,}3\cdot10^{-2}$ .

Как следует из формулы (10) относительное изменение расхода пропорционально квадрату силы, действующей на опилки, которая в свою очередь пропорциональна квадрату силы тока в кольце, следовательно, уменьшение расхода пропорционально четвертой степени силы тока в кольце, $-\frac{\delta q}{q_0}\propto I^4$ .

3.4 Получим точное уравнение, определяющее скорость установившегося движения масла. Запишем условие стационарности потока масла для тонкого слоя толщиной $\Delta z$

\delta P+\delta P_m-\delta P_\text{вязк.}=0,\qquad (1)

в котором $\delta P,\delta P_m,\delta P_\text{вязк.}$ — давления внешнее, магнитное и вязкое, соответственно.

Тонкий слой жидкости: δP, магнитное и вязкое давление

Просуммируем это выражение по всей длине трубки. Отдельные слагаемые будут иметь вид: $\sum_L\delta P=\Delta P_0$ — приложенная к концам трубки разность давлений; $\sum_L\delta P_\text{вязк.}=CuL=\Delta P_0\frac u{u_0}$ — падение давления вследствие сил вязкости; $\sum_L\delta P_m=\sum_Ln(z)F_m(z)\Delta z$ — суммарное давление со стороны опилок на масло.

Последнюю сумму легко вычислить для рассматриваемой нами модели распределения сил по длине трубки. На рисунке показаны зависимости от координаты силы, действующей на частицу, скорости частиц и их концентрации, с помощью этого рисунка находим

\begin{aligned} \sum_L\delta P_m&=\sum_Ln(z)F_m(z)\Delta z\\ &=\frac{n_0f_0l_0}{1+\frac{f_0}{\beta u}} -\frac{n_0f_0l_0}{1-\frac{f_0}{\beta u}} =-\frac{2n_0f_0^2l_0\beta u}{(\beta u)^2+f_0^2}. \end{aligned}

Три зависимости Fm(z), v(z), n(z), все значения и границы ±l₀

Таким образом, получаем уравнение, определяющее скорость $u$ установившегося движения масла.

\Delta P_0=\Delta P_0\frac u{u_0} +\frac{2n_0f_0^2l_0\beta u}{(\beta u)^2-f_0^2}=0.\qquad (2)

Проанализируем возможные решения этого уравнения. Для этого построим примерные графики зависимостей давлений от скорости движения масла. Как следует из графика, данное уравнение может иметь два корня, больший из них дает интересующее нас значение установившейся скорости, меньший неустойчив (что легко показать).

Графики магнитного, вязкого и суммарного давления от u; два корня

При увеличении силы тока возрастает магнитное давление и при некотором значении последнего уравнение (2) не будет иметь корней, что соответствует остановке масла. Таким образом, ответ на поставленный вопрос математически формулируется так: при каких условиях уравнение (2) корней не имеет. Для удобства анализа еще раз перепишем это уравнение

\Delta P_0=\Delta P_0\frac u{u_0} +\frac{2n_0l_0\beta u_0\left(\frac{f_0}{\beta u_0}\right)^2\frac u{u_0}} {\left(\frac u{u_0}\right)^2+\left(\frac{f_0}{\beta u_0}\right)^2}

и введем обозначения: $\frac u{u_0}=x$ , $a=\frac{n_0l_0\beta u_0}{\Delta P_0}$ , $b=\frac{f_0}{\beta u_0}$ , окончательно получим уравнение в «приведенном» виде

x+\frac{2ab^2x}{x^2-b^2}=1.\qquad (3)

Это уравнение не будет иметь корней, если минимальное значение функции $F(x)=x+\frac{2ab^2x}{x^2-b^2}$ превысит единицу. Оценим численные значения параметров этого уравнения

a=\frac{n_0l_0\beta u_0}{\Delta P_0} =\frac{10^{10}\cdot7{,}56\cdot10^{-3}\cdot1{,}5\cdot10^{-4}}{10^3}\approx11{,}3,

b=\frac{f_0}{\beta u_0}\approx\frac{3{,}56\cdot10^{-6}}{1{,}5\cdot10^{-4}} \approx2{,}4\cdot10^{-2}.

Так как величина $b$ мала, то рассматриваемую функцию можно упростить $F(x)\approx x+\frac{2ab^2}x$ . Минимального значения эта функция достигает при $x=\sqrt{2ab^2}$ и равно $F_{\min}=2b\sqrt{2a}$ . Таким образом, условие прекращения течения масла имеет вид $2b\sqrt{2a}\ge1$ , или

\frac{f_0}{\beta u_0}\ge\frac12\sqrt{\frac{\Delta P_0}{n_0l_0\beta u_0}}.\qquad (4)

Наконец вспомним, что величина $f_0$ так является коэффициентом пропорциональности между силой, действующей на частицу и квадратом силы тока, поэтому окончательное выражения для силы тока, при котором произойдет остановка масла имеет вид

I\ge\sqrt{\frac{\beta u_0}{2f_0}\sqrt{\frac{\Delta P_0}{n_0l_0\beta u_0}}} \approx2{,}5\ \text{А}.

Original-reader source caveat

Entire retained41-page key contains THEORY only, grades9/10/11. Six distinct experimental assignments have no available matching key in the complete authenticated two-PDF archive folder. Do not invent solutions or report complete experimental key coverage.

Original-reader source caveat

Q7 limiter text references рис.12 while actual caption is Рис.4. Q4 boat caption is Рис.4 despite missing Рис.3; all original cross-references retained.

Original-reader source caveat

Grade9 key crate graph Рис.22 is referenced as рис.21 in prose; multimeter key contains native equation-number/reference errors, 0.11Ω minimum, 45A warning and absolute/relative current-error wording. Retain literal source with separately attributed discrepancy notes.

Original-reader source caveat

Grade10 Kaleidoscope key positive mgh work for uphill gravity, native disk angle80° in prose against90° question and sin45° result. Charged oscillator key contains native missing V, z0/z and fifth/sixth-power discrepancies, repeated equation8, relaxation missing τ and complete ungraded appended derivation; no silent correction.

Original-reader source caveat

Autopilot Q10 photograph occludes footnote ending in original PDF. Native key contains Fтяги=Pv prose versus P/v equation, acceleration units m/s, maximum-speed initial-acceleration denominator issue; retain printed source and distinguish actual source defect from renderer loss.

Original-reader source caveat

Grade11 scaling key dipole field coefficient omits factor2, ξ∈[1,0] order literal. Engine key has reused Table3, process3–4 heading versus3→0, missing ΔT/extra heat-capacity factors, literal friction terms and sign differences; include complete native Maxwell-integral supplement.

Original-reader source caveat

Magnetic regulation Q19 particle a is diameter but key volume uses 4πa³/3 as radius. Gauss lateral surface missing Δz; later denominator plus/minus and extra equals0 printed discrepancies retained.

Original-reader source caveat

Q27 apparatus native bitmap callout words intrinsically clipped inside original figure. Grade10 experimental magnet part4 repeats labels3.2/3.3; nativeLabel preserved and occurrence qualifier only if strict schema requires distinction. Grade11 magnet first printed1.2 and Fpm notation retained. Q33 вводы literal typo.

Титульные листы и состав полного комплекта

Республиканская физическая олимпиада. 2005 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Экспериментальный тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Полные оригинальные титульные листы Q1/Q6/Q14/Q22/Q26/Q30, эмблемы и повторяющийся декоративный знак сохранены в оригинальном PDF. Весь комплект содержит 17 самостоятельных заданий: 11 теоретических и 6 экспериментальных, 99 нумерованных пунктов. Разные классы и связанные части каждого задания сохранены раздельно.

Original PDF text-layer footnote recovery

The complete native PDF text layer preserves the full credit footnote: «Эти данные любезно предоставлены Л.Г. Марковичем, за что выражаем ему искреннюю признательность.» The printed Q10 car photograph overlaps/occludes its ending. The credit is transcribed from retained original bytes, not invented from the incomplete rendered ending.

Повторяющиеся печатные номера

В задании 10-Э2 пункты четвертой части имеют напечатанные номера 4.1, 3.2, 3.3. Первые появления 3.2 и 3.3 сохранены, вторые отображаются как 3.2 (повтор), 3.3 (повтор), с исходными nativeLabel и порядком появления в метаданных. Это только указатель второго появления; оба запроса и их исходная нумерация сохранены. В задании 11-Э1 первый пункт действительно напечатан как 1.2. Слово «вводы» в конце Q33 сохранено буквально.

Additional literal source expressions

Magnetic regulation K36 numerical volume is printed with (10⁻⁴)³, while Q19 calls a a particle diameter and the key uses a as radius. The question defines f₀ as half the maximum force; K36 prints maximum 7.02·10⁻⁶ N and f₀ 3.56·10⁻⁶ N. Preserve these printed approximate values. Preserve all printed calculations without silent correction. The source engine tables are retained as complete native crops, including every cell, equation, units and repeated caption Table3.

Source scope and archive attribution

1 Sol ultra in one registered original-source pass. Entire available theory keys and ungraded oscillator K17–18 / Maxwell-integral K34 supplements retained. Exactly two PDFs in the complete authenticated archive folder; no experimental key, separate answer form or scheme companion. Archive edition authority only: independently verified organizer-hosted official provenance not established. No independent checker.

Оригинал в Архива: 2005problems.pdf · решение от архива: 2005solutions.pdf