Съдържание

Условие Часть 1 Часть 2 Часть 3 Часть 4 Решение

BelPhO 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-Т2. 11-2. Тепловой двигатель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2005

Республиканская физическая олимпиада 2005 — заключительный этап, теоретический и экспериментальный туры, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал: 33 страницы условий, 41 страница теоретических решений; 17 самостоятельных заданий (11T+6E), 99 нумерованных пунктов. Решения шести экспериментальных заданий отсутствуют в полном архивном комплекте. Исходные ошибки, противоречия, повторные номера и дефекты рисунков сохранены с отдельно указанными примечаниями читателя. Решения из архивного издания.

Условие

Внутри закрытого с одной стороны рабочего цилиндра расположен плотно пригнанный поршень, соединенный с помощью стержня с рабочим устройством, (на рисунках не показано). При движении поршня вправо на поршень действует дополнительная сила со стороны рабочего механизма, при его движении влево эта дополнительная сила отсутствует². Между поршнем и основанием цилиндра находится рабочий газ. На расстоянии $l_0$ от основания цилиндра закреплен кольцевой упор. В основание цилиндра вмонтированы нагреватель постоянной мощности $q_1$ (т.е. сообщающий газу в единицу времени постоянное количество теплоты $q$ ) и холодильник, забирающий от газа в единицу времени количество теплоты $q_2$ , не зависимо от состояния газа. На упоре и в стенке цилиндра на расстоянии $l_1=ml_0$ от основания цилиндра вмонтированы датчики, способные включать и выключать холодильник и нагреватель. Поршень соединен с противоположной стенкой возвращающей пружиной.

Длина недеформированной пружины равна длине рабочего цилиндра.

Рабочий цилиндр, нагреватель q₁, холодильник q₂, поршень, пружина, датчики и l₀, l₁

Рабочий газ можно считать идеальным двухатомным (его молярная теплоемкость равна $C_V=\frac52R$ ). Теплоемкостью цилиндра и поршня, потерями теплоты в окружающее пространство можно пренебречь, также можно пренебречь инерционностью поршня и рабочего устройства.

Началом цикла будем считать состояние, когда поршень доходит до упора, в этот момент включается нагреватель (а холодильник отключается). В этом положении пружина сжата на величину $l_0$ , и ее сила упругости равна $F_0$ .

Во время движения поршня вправо на него со стороны рабочего устройства действует постоянная сила $F_1=nF_0$ (помимо силы упругости пружины).

При достижении датчика, находящегося на расстоянии $l_1$ , нагреватель выключается, и включается холодильник.

В исходное положение поршень возвращается действием пружины при работающем холодильнике.

Последовательные положения двигателя: нагрев, расширение, охлаждение и возврат

Параметры двигателя $n=2{,}0$ ; $m=2{,}0$ ; $q_1=q_2=q$ .

Коэффициентом полезного действия будем считать отношение работы, совершенной над рабочим устройством, к количеству теплоты, полученной газом от нагревателя.

В ходе решения допускается и рекомендуется выполнение промежуточных численных расчетов.

² На досуге можете подумать о конструкции такого устройства, но «досуг» не оценивается.

Двигатель перед перемещением поршня: цилиндр, шток и опоры

Часть 1

В этой части необходимо рассчитать характеристики двигателя в рамках следующих допущений:

атмосферное давление значительно меньше давления рабочего газа в цикле;
трение пренебрежимо мало;
все процессы являются равновесными и обратимыми.

1.1 Изобразите на диаграмме $(P,V)$ изменения состояния рабочего газа за цикл работы двигателя.

1.2 Найдите коэффициент полезного действия двигателя $\eta$ .

1.3 Найдите среднюю мощность, развиваемую двигателем (ответ выразите через мощность нагревателя $q$ ).

Часть 2

Рассмотрите работу двигателя в рамках следующих допущений:

сила атмосферного давления на поршень постоянна и равна силе упругости пружины в начальной точке цикла $F_0$ ;
трение пренебрежимо мало;
все процессы являются равновесными и обратимыми.

2.1 Изобразите на диаграмме $(P,V)$ изменения состояния рабочего газа за цикл работы двигателя.

2.2 Найдите коэффициент полезного действия двигателя $\eta$ .

Часть 3

Рассмотрите работу двигателя в рамках следующих допущений:

сила атмосферного давления на поршень постоянна и равна силе упругости пружины в начальной точке цикла $F_0$ ;
сила трения, действующая на поршень со стороны стенок, постоянна по модулю и равна $0{,}10F_0$ ;
все газовые процессы являются равновесными и обратимыми.

3.1 Изобразите на диаграмме $(P,V)$ изменения состояния рабочего газа за цикл работы двигателя.

3.2 На сколько процентов изменится коэффициент полезного действия устройства из-за наличия трения?

Часть 4

Сейчас вам предстоит оценить влияние неравновесности реально протекающих процессов.

4.1 По очень длинной горизонтальной трубе может двигаться без трения поршень. С обеих сторон поршня находится воздух (средняя молярная масса $M=29\ \text{г}\cdot\text{моль}^{-1}$ ) при температуре $T=800\ \text{К}$ . Давление газа с одной стороны поршня равно $P=5{,}0\cdot10^5\ \text{Па}$ , а с другой на $\Delta P=5{,}0\cdot10^2\ \text{Па}$ больше. Оцените скорость установившегося движения поршня.

Длинная труба, поршень, давления P+ΔP и P, скорость V

4.2 Оцените, на сколько изменится КПД рассматриваемого двигателя при учете неравновесности процесса расширения, процесс сжатия считайте равновесным. Считайте, что рабочим газом является воздух, средняя температура газа в этом процессе $T=800\ \text{К}$ , среднее давление $P=5{,}0\cdot10^5\ \text{Па}$ .

Решение

Часть 1

Построим диаграмму процесса изменения состояния рабочего газа. Обозначим площадь поперечного сечения рабочего цилиндра $S$ , а жесткость пружины $k$ .

Последовательно рассмотрим все узловые состояния и процессы рабочего газа. Конечно, коэффициент полезного действия машины можно подсчитать как отношение работы (численно равной площади цикла) к количеству полученной теплоты. Однако, учитывая, что нам необходимо найти и среднюю мощность, вычислим сразу и теплоты, получаемые от нагревателя и отданные холодильнику на каждом этапе.

Цикл в координатах P/P₀, V/V₀, состояния 0, 1, 2, 3

Состояние 0. В начальном состоянии параметры газа следующие:

объем $V_0=l_0S$ ;
давление обусловлено силой упругости пружины $P_0=\frac{kl_0}S=\frac{F_0}S$ ;
температура находится из уравнения состояния идеального газа ( $\nu$ — количество молей рабочего газа)

T_0=\frac{P_0V_0}{\nu R}=\frac{kl_0^2}{\nu S}=\frac{F_0l_0}{\nu R}.\qquad (1)

Состояние 1. После включения нагревателя температура и давления газа начнут расти до тех пор, пока сила давления газа на поршень окажется в состоянии сдвинуть поршень вправо (состояние 1). В этот момент объем еще останется прежним $V_1=V_0=l_0S$ , давление газа станет равным

P_1=\frac{kl_0+F_1}S=(n+1)\frac{F_0}S=\frac{3F_0}S,

а температура

T_1=\frac{P_1V_0}{\nu R}=\frac{(kl_0+F_1)l_0}{\nu S} =(n+1)\frac{F_0l_0}{\nu R}=\frac{3F_0l_0}{\nu R}.\qquad (2)

Процесс 0–1. Таким образом, процесс $(0\to1)$ является изохорным, в его ходе газ получит количество теплоты, равное

Q_{0\to1}=\nu C_V(T_1-T_0)=\nu\frac52R=\frac52nF_0l_0=5F_0l_0.\qquad (3)

При постоянной мощности нагревателя этот процесс будет протекать в течении промежутка времени

\tau_1=\frac{Q_{0\to1}}{q_1}=\frac52\frac{nF_0l_0}{q_1}=\frac{5F_0l_0}{q_1}.\qquad (4)

При дальнейшем нагреве поршень будет смещаться вправо.

Состояние 2. В конечной точке расширения, когда объем станет равным $V_2=l_1S=ml_0S=2l_0S$ , давление достигнет значения

P_2=\frac{kl_1+F_1}S=\frac{kml_0+nF_0}S=(m+n)\frac{F_0}S=\frac{4F_0}S,\qquad (6)

а температура станет равной

T_2=\frac{P_2V_2}{\nu R}=(m+n)\frac{mF_0l_0}{\nu R}=\frac{8F_0l_0}{\nu R}.\qquad (7)

Процесс 1–2. Пусть поршень находится в некоторой промежуточной точке с координатой $x$ , в этом состоянии объем газа будет равен $V(x)=xS$ . Считая процесс равновесным и пренебрегая инерционностью системы, давление газа можно записать в виде

P(x)=\frac{kx+F_1}S,\qquad (8)

то есть зависимость давления от объема является линейной.

Работа, совершенная газом в процессе расширения, численно равна площади под графиком процесса на рассматриваемом участке $(1\to2)$

\begin{aligned} A_{1\to2}&=\frac{P_1+P_2}2\cdot(V_2-V_1)\\ &=\frac12\left((m+n)\frac{F_0}S+(n+1)\frac{F_0}S\right)(m-1)l_0S\\ &=\frac12(m+2n+1)(m-1)F_0l_0=3{,}5F_0l_0. \end{aligned}\qquad (9)

Изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле

\begin{aligned} \Delta U_{1\to2}&=C_v(T_2-T_1)\\ &=\nu\frac52R\left((m+n)\frac{mF_0l_0}{\nu R}-(n+1)\frac{F_0l_0}{\nu R}\right)\\ &=\frac52F_0l_0((m+n)m-(n+1))=12{,}5F_0l_0. \end{aligned}\qquad (10)

Количество теплоты, полученной в ходе процесса $(1\to2)$ , рассчитывается с помощью первого закона термодинамики

Q_{1\to2}=\Delta U_{1\to2}+A_{1\to2} =\frac12F_0l_0(6m+7n+6)(m-1)=16F_0l_0.\qquad (11)

Соответственно, время этого процесса

\tau_2=\frac{Q_{1\to2}}q =\frac{F_0l_0}{2q}(6m+7n+6)(m-1)=\frac{16F_0l_0}q.\qquad (12)

Состояние 3. После отключения нагревателя и включения холодильника газ начнет охлаждаться при неизменном объеме $V_3=ml_0S$ , до тех пор, сила давления газа не станет меньше силы упругости возвращающей пружины, то есть до значения

P_3=\frac{mkl_0}S=m\frac{F_0}S=\frac{2F_0}S.\qquad (13)

Температура при этом станет равной

T_3=\frac{P_3V_3}{\nu R}=\frac{m^2F_0l_0}{\nu R}=\frac{4F_0l_0}{\nu R}.\qquad (14)

Процесс 2–3. Процесс остывания является изохорным (при этом работа равна нулю $A_{2\to3}=0$ ), количество отданной теплоты равно уменьшению внутренней энергии

\Delta U_{2\to3}=Q_{2\to3}=\frac52\nu C_V(T_2-T_3) =\frac52F_0l_0mn=10F_0l_0\qquad (15)

и пройдет за время

\tau_3=\frac{Q_{2\to3}}q=\frac{F_0l_0}{q}\frac52mn=\frac{10F_0l_0}q.\qquad (16)

Процесс 3–4. Так как газ сжимается под действием пружины, то его давление определяется силой упругости пружины

P=\frac{kx}S.\qquad (17)

Характеристики этого процесса рассчитываются стандартным методом:

изменение внутренней энергии

\Delta U_{3\to0}=\frac52\nu C_V(T_0-T_3) =-\frac52F_0l_0(m^2-1)=-7{,}5F_0l_0;\qquad (18)

работа, совершенная газом,

\begin{aligned} A_{3\to0}&=\frac{P_0+P_3}2\cdot(V_0-V_3)\\ &=-\frac12\left(\frac{mF_0}S+\frac{F_0}S\right)(m-1)l_0S\\ &=-\frac12(m^2-1)F_0l_0=-1{,}5F_0l_0; \end{aligned}\qquad (19)

количество отданной теплоты

Q_{3\to0}=\frac12(m^2-1)F_0l_0+\frac52(m^2-1)F_0l_0 =3(m^2-1)F_0l_0=9F_0l_0;\qquad (20)

время протекания процесса

\tau_4=\frac{3(m^2-1)F_0l_0}q=\frac{9F_0l_0}q.\qquad (21)

Коэффициент полезного действия двигателя рассчитаем по формуле

\eta=\frac{A_\Sigma}{Q_{0\to1}+Q_{1\to2}} =\frac{2n(m-1)}{5n+(6m+7n+6)(m-1)}=\frac2{21}\approx0{,}095.\qquad (22)

Заметим, что в данном случае работа газа над поршнем равна работе рабочего устройства, которая в свою очередь легко может быть рассчитана как произведение перемещения поршня на силу, которая действует со стороны поршня на рабочее устройство

A=nF_0(m-1)l_0=n(m-1)F_0l_0=2F_0l_0.\qquad (23)

Во всех остальных случаях «полезная» работа также будет определяться этой формулой, но не будет равна работе газа за цикл.

Среднюю мощность двигателя рассчитаем как отношение полезной работы к периоду цикла

N=\frac A{\tau_1+\tau_2+\tau_3+\tau_4}=\frac q{20}.\qquad (24)

Для удобства представим параметров газа во всех узловых состояниях в таблице 1, а характеристики процессов в таблице 2.

Таблица1: полные параметры объема, давления и температуры четырех узловых состояний

Таблица2: тип процесса, ΔU, A, Q и время всех четырех этапов, итоговая строка

Часть 2

С учетом атмосферного давления «картинка цикла» поднимется на единицу вверх по шкале $\left(\frac P{P_0}\right)$ , что приведет к увеличению теплоты, которую сообщает газу нагреватель. Газ, по-прежнему, получает теплоту от нагревателя на участках изохорического процесса $(0\to1)$ и процесса расширения $(1\to2)$ .

Цикл двигателя с атмосферным давлением, полные оси и состояния

Расчет параметров газа в узловых точках процесса аналогичен проведенному выше, поэтому приведем его без комментариев и дадим в виде таблицы 3.

Таблица3: параметры состояний 0, 1, 2 с учетом атмосферного давления

Согласно первому закону термодинамики это количество теплоты равно

Q_{0\to2}=\Delta U_{0\to2}+A_{1\to2} =\frac52\nu R(T_2-T_0)+\frac{P_1+P_2}2(V_2-V_1)=24{,}5F_0l_0.\qquad (25)

Соответственно, коэффициент полезного действия равен

\eta=\frac A{Q_{0\to2}}=\frac2{24{,}5}\approx0{,}082,\qquad (26)

что меньше, чем в «идеальном» случае.

Часть 3

При учете силы трения к рассмотренному циклу добавятся две узкие «полоски», иллюстрирующие преодоление этих сил, что приведет к увеличению теплоты, сообщаемой нагревателем.

Следует особо отметить, что на этапе расширения сила трения приводит к увеличению давления газа, а на участке сжатия к его уменьшению.

Цикл с трением: две узкие дополнительные полоски

Значения характеристик газа для данного цикла представлены в таблице 3.

Повторная Таблица3: параметры состояний с учетом атмосферного давления и трения

Расчет количества полученной теплоты имеет вид

\begin{aligned} Q_{0\to2}&=\Delta U_{0\to2}+A_{1\to2} =\frac52\nu R(T_2-T_0)+\frac{P_1+P_2}2(V_2-V_1)\\ &=\frac52F_0l_0\cdot8{,}3+\frac12F_0l_0\cdot9{,}2=25{,}35F_0l_0. \end{aligned}\qquad (28)

Следовательно, коэффициент полезного действия

\eta=\frac A{Q_{0\to2}}=\frac2{25{,}35}\approx0{,}079.\qquad (29)

Как видно, значение К.П.Д. почти совпадает с предыдущим значением. Поэтому можно провести приближенный расчет. Найдем, насколько увеличится количество полученной газом теплоты $\delta Q_{0\to2}$ из-за наличия трения. Имеется две причины увеличения этой теплоты: во-первых, увеличение изменения температуры (начальная температура чуть ниже на величину $\delta T_0=\frac{F_\text{тр.}l_0}{\nu R}$ , а конечная чуть выше $\delta T_2=\frac{mF_\text{тр.}l_0}{\nu R}$ ); во-вторых, незначительно увеличивается давление в процессе расширения $\delta P_{1\to2}=\frac{F_\text{тр.}l_0}S$ .

Поэтому

\begin{aligned} \delta Q_{0\to2}&=C_V(\delta T_0+\delta T_2)+\delta P_{1\to2}\Delta V\\ &=\frac52(m+1)\frac{F_\text{тр.}}{F_0}F_0l_0 +(m-1)\frac{F_\text{тр.}}{F_0}F_0l_0\\ &=7{,}5\frac{F_\text{тр.}}{F_0}F_0l_0=0{,}75F_0l_0. \end{aligned}

Теперь изменение К.П.Д. можно рассчитать по формулам

\eta+\delta\eta=\frac A{Q_{0\to2}+\delta Q_{0\to2}} \approx\frac A{Q_{0\to2}}\left(1-\frac{\delta Q_{0\to2}}{Q_{0\to2}}\right) \Rightarrow\delta\eta=-\eta\frac{\delta Q_{0\to2}}{Q_{0\to2}} =-0{,}082\cdot\frac{0{,}75}{24{,}5}\approx-0{,}0025=-0{,}2\%.\qquad (30)

Часть 4

4.1 Основной причиной того, что поршень перестанет ускорятся, является то обстоятельство, что давление газа на движущийся поршень отличается от давления на неподвижную преграду.

Найдем, какое давление оказывает газ на поршень, движущийся с постоянной скоростью $V$ , используя традиционные методы МКТ. Будем считать, что скорость движения поршня $V$ , значительно меньше средней скорости теплового движения молекул. Молекула, имеющая проекцию скорости $v_x$ (нормальную к поверхности), при ударе передает поршню импульс

\Delta p_x=2m(v_x-V).\qquad (1)

Молекула у движущегося поршня: vx, V и относительное перемещение

Число молекул, имеющих скорость близкую к $v_x$ и достигших поршня за время $\Delta t$ , равно

\Delta n=n(v_x-V)S\Delta t.\qquad (2)

Для вычисления давления необходимо провести усреднение по возможным значениям скоростей молекул

\begin{aligned} P&=\left\langle\frac{\Delta p_x\Delta n}{S\Delta t}\right\rangle =2mn\langle(v_x-V)^2\rangle\\ &\approx2mn(\langle v_x^2\rangle-2V\langle v_x\rangle)\\ &=2mn\langle v_x^2\rangle\left(1-2V\frac{\langle v_x\rangle}{\langle v_x^2\rangle}\right) \approx P_0\left(1-2V\frac{\langle v_x\rangle}{\langle v_x^2\rangle}\right), \end{aligned}\qquad (3)

причем усреднение необходимо проводить по молекулам, нормальные составляющие скоростей которых лежат в интервале $v_x\in[V,+\infty]$ .

Для оценки средних величин, стоящих в выражении (3), примем, что средняя проекции скорости примерно равна среднеквадратичному, а средний квадрат проекции легко определяется из формулы для среднего квадрата модуля скорости. Поэтому

\langle v_x^2\rangle\approx\frac12\left(\frac13\langle v^2\rangle\right)=\frac12\frac{kT}m,\qquad \langle v_x\rangle\approx\sqrt{\langle v_x^2\rangle} =\sqrt{\frac12\frac{kT}m}=\sqrt{\frac12\frac{RT}M},

таким образом, давление газа на движущийся поршень определяется выражением

P\approx P_0\left(1-2V\frac{\langle v_x\rangle}{\langle v_x^2\rangle}\right) \approx P_0\left(1-2V\sqrt{\frac{2M}{RT}}\right)=P_0(1-\beta V),\qquad (4)

где коэффициент пропорциональности равен

\beta\approx2\sqrt{\frac{2M}{RT}}.\qquad (5)

Заметим, что более точный расчет с корректным вычислением средних приводит к результату

\beta=2\frac{\langle v_x\rangle}{\langle v_x^2\rangle} =\frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}\sqrt{\frac M{RT}}\approx1{,}6\sqrt{\frac M{RT}}.

Поршень будет двигаться с постоянной скоростью, когда силы давления газа на обе стороны поршня сравняются. В этом случае справедливо уравнение

(P+\Delta P)(1-\beta\bar v)=P(1+\beta\bar v),\qquad (6)

из которого определяем скорость движения поршня

\bar v=\frac{\Delta P}{2\beta P}=\frac{\Delta P}P\frac14\sqrt{\frac{RT}{2M}}\approx0{,}13\ \text{м/с}.\qquad (7)

4.2 Мы показали, что сила давления на «убегающий» поршень меньше среднего давления газа. Следовательно, для того чтобы в рассматриваемом двигателе поршень перемещался, необходимо увеличить среднее давление газа. Требуемое увеличение давления определяется из формулы (4)

\delta P\approx\beta P\bar v.\qquad (1)

Такое увеличение потребует увеличения количества теплоты, потребляемой от нагревателя, это увеличение оценивается также, как и при учете силы трения

\delta Q_{0\to2}=\frac52\nu R\frac{2l_0S\delta P}{\nu R} +\delta P(m-1)l_0S\approx Q_{0\to2}\frac{\delta P}P.\qquad (2)

Соответственно уменьшается коэффициент полезного действия двигателя

\delta\eta=-\eta\frac{\delta Q_{0\to2}}{Q_{0\to2}} =-\eta\frac{\delta P}P=\eta\beta\bar v\approx-0{,}005=-0{,}5\%.\qquad (3)

Добавление, не входящее в основное решение. .

Вычисление коэффициента $\beta$ .

Расчет проведен с точностью до первой степени скорости движения поршня

\begin{aligned} \langle v_x^2\rangle &=\int_V^\infty v_x^2\varphi(v_x)\,dv_x =\int_0^\infty v_x^2\varphi(v_x)\,dv_x-\int_0^V v_x^2\varphi(v_x)\,dv_x\\ &\approx\frac12\int_{-\infty}^\infty v_x^2\varphi(v_x)\,dv_x -\frac12\left([v_x^2\varphi(v_x)]_0+[v_x^2\varphi(v_x)]_V\right)V\\ &=\frac16\langle v^2\rangle-\frac12V^3\sqrt{\frac m{2\pi kT}} \approx\frac12\frac{kT}m, \end{aligned}

\begin{aligned} \langle v_x\rangle &=\int_V^\infty v_x\varphi(v_x)\,dv_x\\ &=\int_0^\infty v_x\varphi(v_x)\,dv_x-\int_0^V v_x\varphi(v_x)\,dv_x =\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}},\\ \beta&=2\frac{\langle v_x\rangle}{\langle v_x^2\rangle} =\frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}\sqrt{\frac M{RT}}\approx1{,}6\sqrt{\frac M{RT}}. \end{aligned}

Original-reader source caveat

Entire retained41-page key contains THEORY only, grades9/10/11. Six distinct experimental assignments have no available matching key in the complete authenticated two-PDF archive folder. Do not invent solutions or report complete experimental key coverage.

Original-reader source caveat

Q7 limiter text references рис.12 while actual caption is Рис.4. Q4 boat caption is Рис.4 despite missing Рис.3; all original cross-references retained.

Original-reader source caveat

Grade9 key crate graph Рис.22 is referenced as рис.21 in prose; multimeter key contains native equation-number/reference errors, 0.11Ω minimum, 45A warning and absolute/relative current-error wording. Retain literal source with separately attributed discrepancy notes.

Original-reader source caveat

Grade10 Kaleidoscope key positive mgh work for uphill gravity, native disk angle80° in prose against90° question and sin45° result. Charged oscillator key contains native missing V, z0/z and fifth/sixth-power discrepancies, repeated equation8, relaxation missing τ and complete ungraded appended derivation; no silent correction.

Original-reader source caveat

Autopilot Q10 photograph occludes footnote ending in original PDF. Native key contains Fтяги=Pv prose versus P/v equation, acceleration units m/s, maximum-speed initial-acceleration denominator issue; retain printed source and distinguish actual source defect from renderer loss.

Original-reader source caveat

Grade11 scaling key dipole field coefficient omits factor2, ξ∈[1,0] order literal. Engine key has reused Table3, process3–4 heading versus3→0, missing ΔT/extra heat-capacity factors, literal friction terms and sign differences; include complete native Maxwell-integral supplement.

Original-reader source caveat

Magnetic regulation Q19 particle a is diameter but key volume uses 4πa³/3 as radius. Gauss lateral surface missing Δz; later denominator plus/minus and extra equals0 printed discrepancies retained.

Original-reader source caveat

Q27 apparatus native bitmap callout words intrinsically clipped inside original figure. Grade10 experimental magnet part4 repeats labels3.2/3.3; nativeLabel preserved and occurrence qualifier only if strict schema requires distinction. Grade11 magnet first printed1.2 and Fpm notation retained. Q33 вводы literal typo.

Титульные листы и состав полного комплекта

Республиканская физическая олимпиада. 2005 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Экспериментальный тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс. Полные оригинальные титульные листы Q1/Q6/Q14/Q22/Q26/Q30, эмблемы и повторяющийся декоративный знак сохранены в оригинальном PDF. Весь комплект содержит 17 самостоятельных заданий: 11 теоретических и 6 экспериментальных, 99 нумерованных пунктов. Разные классы и связанные части каждого задания сохранены раздельно.

Original PDF text-layer footnote recovery

The complete native PDF text layer preserves the full credit footnote: «Эти данные любезно предоставлены Л.Г. Марковичем, за что выражаем ему искреннюю признательность.» The printed Q10 car photograph overlaps/occludes its ending. The credit is transcribed from retained original bytes, not invented from the incomplete rendered ending.

Повторяющиеся печатные номера

В задании 10-Э2 пункты четвертой части имеют напечатанные номера 4.1, 3.2, 3.3. Первые появления 3.2 и 3.3 сохранены, вторые отображаются как 3.2 (повтор), 3.3 (повтор), с исходными nativeLabel и порядком появления в метаданных. Это только указатель второго появления; оба запроса и их исходная нумерация сохранены. В задании 11-Э1 первый пункт действительно напечатан как 1.2. Слово «вводы» в конце Q33 сохранено буквально.

Additional literal source expressions

Magnetic regulation K36 numerical volume is printed with (10⁻⁴)³, while Q19 calls a a particle diameter and the key uses a as radius. The question defines f₀ as half the maximum force; K36 prints maximum 7.02·10⁻⁶ N and f₀ 3.56·10⁻⁶ N. Preserve these printed approximate values. Preserve all printed calculations without silent correction. The source engine tables are retained as complete native crops, including every cell, equation, units and repeated caption Table3.

Source scope and archive attribution

1 Sol ultra in one registered original-source pass. Entire available theory keys and ungraded oscillator K17–18 / Maxwell-integral K34 supplements retained. Exactly two PDFs in the complete authenticated archive folder; no experimental key, separate answer form or scheme companion. Archive edition authority only: independently verified organizer-hosted official provenance not established. No independent checker.

Оригинал в Архива: 2005problems.pdf · решение от архива: 2005solutions.pdf