BelPhO 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-Т1. 11-1. Показательная разминка

1.1 По второму закону Ньютона ускорение точки постоянно и равно $a=\frac Fm$, при равноускоренном движении пройденный путь зависит от времени по закону $S=\frac{at^2}2$. Поэтому $\lambda=2$.

1.2 Так как жидкость «вязкая», то можно считать, что в любой момент времени движение жидкости является «установившемся», для которого справедливо уравнение (данное в примечании)

Из этого уравнения следует $l\,dl=\kappa\Delta P\,dt$, после интегрирования получаем $\frac12l^2=\kappa\Delta Pt$, окончательно получаем $l=\sqrt{2\kappa\Delta Pt}$. Таким образом, искомый показатель степени $\lambda=\frac12$.

Другой способ решения задачи заключается в подстановке функции $l=Ct^\lambda$, приведенной в условии в уравнение (1)

Приравнивая показатели степеней переменной $t$ ($\lambda-1=-\lambda$), получаем искомое значение параметра $\lambda=\frac12$. Таким образом, при этом значении приведенная функция удовлетворяет уравнению (1).

1.3 В установившемся режиме вся теплота, выделившаяся внутри планеты, переносится к ее поверхности. Так как система обладает сферической симметрией, то и распределение температур, и тепловые потоки также сферически симметричны. Выделим внутри планеты сферу радиуса $r$. Из уравнения теплового баланса следует, что суммарный поток теплоты через эту сферу равен количеству теплоты, выделившейся внутри сферы, что может быть записано в виде уравнения (с учетом закона, сформулированного в приложении)

Это уравнение легко приводится с простому виду $\frac{dT}{dr}=-\frac w{3\gamma}r$, решение которого с учетом граничного условия на поверхности (при $r=R$ температура $T=T_0$) имеет вид

приведенный в условии, причем искомый показатель степени равен $\lambda=2$.

Кто не умеет интегрировать, может решить задачу, подставив функцию $T=A+Br^\lambda$ в уравнение (1)

Из этого равенства следует, что приведенная в условии функция удовлетворяет уравнению теплового баланса при $\lambda=2$ и любом значении параметра $A$, который может быть найден из граничного условия на поверхности планеты.

1.4 Совместим ось $Z$ с осью диполя, а ее начало определим в точке нахождения диполя. Тогда в точке $A$, находящейся на расстоянии $z$, напряженность поля может быть записана в виде

где $E_\text{точ.}(z)=\frac q{4\pi\varepsilon_0z^2}$ напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, при выводе (1) учтена малость расстояния $a$ между зарядами диполя.

Вычисляя производную, получим

Пусть второй диполь находится на расстоянии $z$ в поле, напряженность которого зависит от координаты по закону $E(z)$. Тогда, сила, действующая на этот диполь, может в том же приближении представлена в виде

что соответствует приведенной в условии формуле при $\lambda=-4$.

Задача может быть решена и традиционным способом: записать точное выражение для силы взаимодействия пар зарядов, а затем провести разложение по малому параметру — размеру диполя.

1.5 Так как массы шариков равны по условию, а силы, действующие на них равны по третьему закону Ньютона, то шарики будут двигаться навстречу друг другу с равными по модулю скоростями и столкнуться в средней точке. Когда шарики находится на расстоянии $r$ друг от друга, скорость каждого может быть найдена из закона сохранения энергии

Найти из этого уравнения время сближения сложно (хотя и возможно), однако нам и нет необходимости решать это уравнение — нам необходим вид зависимости времени движения от начального расстояния. Введем собственную систему единиц измерения: расстояния — начальное расстояние $h$; единицу измерения времени $T$ определим позднее.

Расстояние между частицами и время, измеренные «в новых единицах» обозначим $\xi=\frac rh$; $\tau=\frac tT$.

Переходя к новым переменным в уравнении (1), получим

Используем теперь «произвол» в выборе единицы измерения времени таким образом, чтобы в этом уравнении не осталось параметров, то есть сделаем его «безразмерным», для чего достаточно положить

или определить единицу измерения времени как

В этом случае уравнение (1) приобретает вид

в котором нет никаких исходных параметров. Кроме того, пределы изменения переменной $\xi$ также являются «универсальными» $\xi\in[1,0]$. Следовательно, и его решение — зависимость $\xi(\tau)$ также «универсальна», поэтому и время движения (измеренное в единицах $T$) является некоторой константой. Обозначим ее $\tau_0$, тогда время движения, измеренной в «обычных» единицах определяется как

Таким образом, приведенная формула доказана, а искомый показатель степени равен $\lambda=\frac32$.

Возможны и другие варианты решения: прямое интегрирование уравнения (1); переход к безразмерным параметрам в уравнении 2 закона Ньютона; проведение аналогии с 3 законом Кеплера и т.д.