Съдържание

Условие Часть 1. Установка Часть 2. Модуль кручения Часть 3. Приближение «малых углов»Часть 4. «Большие углы»Часть 5. Измерение зарядов Часть 6. Вязкость Часть 7. Движение в масле Решение

BelPhO 2006, Областен етап, 9–11 клас — Задача 5. 10. Крутильные весы Кулона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит шесть целых задач для 9–11 классов. Все условия, таблицы, подсказки, примечания и полные решения включены, в том числе аналитическое дополнение к крутильным весам. В оригинале 53 конечных запроса (4+5+4+0+18+22); каталог указывает 54 (4+5+4+0+22+19). Исходные формулы и данные сохранены. Примечания редактора о напечатанных расхождениях:

Задача 1. Примечание к источнику: в конце верхнего графика рис. 2 условия напечатан короткий положительный участок после отметки 14; изображение сохранено целиком.

Задача 2. Примечание к источнику: атомная масса Fe в таблице условия равна 55,8, в таблице решения — 55,85; обе таблицы воспроизведены по своим страницам. У коэффициента C в решении напечатана единица кДж/град без указания моля.

Задача 3. Примечание к источнику: формула (7) решения напечатана с разностью R−R₀, хотя предшествующая формула (4) содержит R+R₀; исходная формула сохранена.

Задача 4. Примечание к источнику: условие называет половинку BC левой, хотя на исходной схеме BC расположена справа; текст и рисунок сохранены.

Задача 5. Примечание к источнику: в численной подстановке 3.2 напечатано 0,013 при ранее найденном k=0,13. В формуле (9) оставлен завершающий знак равенства без численного результата. В 4.2 формула знаковой погрешности сопровождается положительным значением 2,6·10⁻³. Ссылки на формулу (12) в 7.2 и функцию (7) в 7.4 сохранены как напечатано. Все повторные номера формул и аналитическое дополнение воспроизведены.

Задача 6. Примечание к источнику: первая сила f в обеих расчетных таблицах напечатана 78,1 Н/м; в таблице 2 сохранены значения 1.412 кПа и 1.29 см. В 3.4.2 текст печатает 3·10⁴ Па, а итоговая формула — 3·10³ Па. Численная подстановка для A₀ на с. 30 содержит квадрат r₀, хотя определение содержит r₀ в первой степени. График на с. 32 имеет подпись «Рис. 9», но текст ссылается на рис. 8; его шкала A и оценка x=4/(27β) сохранены. В условии n=100 см⁻¹; численные расчеты решения используют n=10³ м⁻¹ и N=200. Подписи токов I₂/I₂₀ в формулах (39), (40), (42), название «удельное сопротивление» для λ и «индуктивность оболочки» для L оставлены как напечатано. В мощности источника (44) отсутствует множитель 1/2, несмотря на заявленное совпадение с (43). В условии последовательно напечатаны 6.2 (разрыв) и 6.1 (радиус), а решение обозначает их 6.1 и 6.2 соответственно; оба порядка сохранены.

9 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2006 год. Теоретический тур. 9 класс. Задачи 1–4: «Графопостроитель», «Металлы тоже кипят!», «Электродвигатель», «Подземная река».

10 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2006 год. Теоретический тур. 10 класс. «Крутильные весы Кулона».

11 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2006 год. Теоретический тур. 11 класс. «Сверхпроводящая резина».

Условие

Вторая половина XVIII века - первая половина XIX века - время замечательных открытий в классической физике. Именно в это время фундаментальные труды гениев цивилизации закладывают основы новых направлений экспериментальных и теоретических исследований будущего. Сегодня, оглядываясь назад, можно с уверенностью сказать, что пионерские работы Кулона (1785 г.), Ампера (1820 г.), Фарадея (1831 г.), выполненные на простейшем оборудовании, дали старт построению сложнейшей, достаточно завершенной и определенно «красивой» теории электромагнитного поля. Наша задача - воспроизвести (и незначительно дополнить) ход рассуждений одного из великих физиков, установившего основной закон электростатики - закон взаимодействия неподвижных электрических зарядов.

Часть 1. Установка.

Для исследования явления взаимодействия неподвижных точечных зарядов французский физик Шарль Огюстен Кулон сконструировал крутильные весы (Рис. 1), в которых уравновешенное непроводящее коромысло 1 длиной $2l=20\,\text{см}$ с двумя одинаковыми небольшими проводящими шариками 3, 3’ на концах подвешено на упругой серебряной проволоке 2. На неподвижной подставке располагался такой же шарик 4, как и на концах коромысла. Все шарики располагаются на одной высоте. Любому из шариков можно сообщать некоторый электрический заряд. Система помещена в прозрачный защитный цилиндр со шкалой 5, позволяющей измерять угол поворота $\alpha$ коромысла. Верхний конец проволоки закреплен на верхней крышке цилиндра в устройстве, позволяющем с помощью жесткого рычага-стрелки 6 поворачивать проволоку на известный угол, измеряемый с помощью шкалы 7. Масса коромысла достаточно велика, поэтому можно считать, что при проведении экспериментов нить все время остается вертикальной, а коромысло горизонтальным.

Полная установка крутильных весов Кулона со всеми нативными номерами 1–7, шариками, шкалами и подписью.

Часть 1. Установка

1.1 Внимательно прочтите описание установки и с помощью Рис. 1 самостоятельно уясните: какие шарики следует заряжать для нормальной работы установки?

1.2 Не нарушится ли равновесие коромысла в поле силы тяжести в следствие зарядки одного из шариков (еще до того как зарядили шарик 4)?

Часть 2. Модуль кручения

2.1 Опыт показал, что при закручивании проволоки на угол $\alpha$ в ней возникает возвращающий момент сил упругости, пропорциональный углу закручивания

M=-k\alpha,\qquad (1)

где $k$ - некоторый постоянный для данной проволоки модуль кручения.

Для изменения чувствительности прибора Кулон использовал различные проволоки, имеющие разные модули кручения. Эксперимент показал, что для проведения опытов удобны «полые» проволоки-цилиндры (трубочки) внешнего радиуса $R$ с малой толщиной стенок $\Delta R$ , $(\Delta R\ll R)$ . Длина проволоки $L$ .

Покажите, что модуль кручения нити $k$ выражается через указанные параметры следующим образом

k=\frac{2\pi R^3\Delta R}{L}G,\qquad (2)

где $G$ - модуль сдвига данного вещества.

Подсказка 1: для вывода формулы (2) используйте закон Гука для малой деформации сдвига

\varphi=\frac{1}{G}\tau,

где $\varphi$ - относительный сдвиг прямоугольного образца (угол сдвига) под действием касательной силы $F$ , приложенной к горизонтальной грани площадью $S$ (Рис. 2), $\tau=\dfrac{F}{S}$ - тангенциальное (касательное) упругое напряжение, возникающее при данной деформации, $G$ - модуль сдвига данного вещества.

Деформация сдвига: вся пластинка, S, угол φ, сила F и подпись рис. 2.

2.2 Вычислите¹ модуль кручения серебряной проволоки в эксперименте Кулона при следующих данных: длина проволоки $L=75\,\text{см}$ , внешний радиус - $R=1{,}5\,\text{мм}$ , толщина стенок $\Delta R=0{,}15\,\text{мм}$ . Модуль сдвига серебра $G=30\,\text{ГПа}$ .

¹ Выполните этот пункт независимо от того, смогли ли Вы выполнить предыдущий пункт, поскольку полученное значение понадобится Вам в дальнейшем

Часть 3. Приближение «малых углов»

3.1 Пусть верхний конец проволоки закреплен так, что в положении недеформированной (незакрученной) проволоки шарики 3 и 4 едва касаются друг друга. Этим шарикам сообщают одинаковые электрические заряды $q$ . После сообщения этих зарядов коромысло поворачивается на некоторый угол $\alpha$ , который можно считать малым (то есть справедлива приближенная формула $\sin\alpha\approx\alpha$ ).

Определите в этом приближении зависимость малого угла поворота коромысла $\alpha(q)$ от величины сообщенного шарикам заряда $q$ .

3.2 Постройте примерный график полученной зависимости для зарядов изменяющихся от 0 до 100 нКл.

3.3 Вычислите заряд $q_1$ , вызывающий отклонение системы на угол $\alpha=10^\circ$ .

3.4 Будем считать угол $\alpha$ малым при выполнении условия $\alpha\le20^\circ$ . Вычислите максимальное значение заряда $q_2$ каждого из шариков, при котором угол отклонения коромысла еще можно считать малым.

Часть 4. «Большие углы»

4.1 Конечно же, в азарте исследования Кулон незаметно для себя перешел к измерениям при больших углах закручивания $(0\le\alpha\le\pi)$ . Считайте, что упругие свойства проволоки остаются прежними и в этом диапазоне.

Получите уравнение для нахождения угла закручивания проволоки $\alpha$ в случае его больших значений.

4.2 При помощи полученного в п. 4.1 уравнения вычислите величину заряда при угле отклонения $\alpha=20^\circ$ и оцените относительную погрешность определения этого заряда, возникающую при использовании приближения «малых углов» (в п. 3.4).

4.3 Постройте примерный график зависимости угла отклонения от величины заряда $q$ , изменяющегося от 0 до 2 мкКл. С помощью построенного графика найдите угол закручивания проволоки $\alpha_1$ при заведомо «большом» заряде шариков $q=1{,}8\,\text{мкКл}$ .

Часть 5. Измерение зарядов

5.1 Для измерения (сравнения) неизвестных зарядов Кулон придумал оригинальный метод «доворота» крутильных весов. Пусть первоначально шарики не заряжены, в положении равновесия шарики слегка качаются друг друга, затем каждому шарику сообщают некоторый заряд $q_0$ , при этом коромысло поворачивается на угол $\alpha_0$ . Если изменить заряд неподвижного шарика до величины $q_X$ (при неизменном заряде шарика на коромысле), то угол поворота коромысла также изменится. Поворачивая верхний рычаг-стрелку на некоторый угол $\Delta\alpha$ , можно добиться, чтобы угол поворота коромысла принял прежнее значение (т.е. шарики вернулись в прежнее положение!). Такая методика позволяет находить отношение зарядов $\dfrac{q_X}{q_0}$ .

Найдите, во сколь раз изменился заряд неподвижного шарика, если начальный угол поворота коромысла равен $\alpha=20^\circ$ , а после изменения заряда потребовалось довернуть стрелку на угол $\Delta\alpha=10^\circ$ , чтобы вернуть коромысло в исходное положение. Рассмотрите два случая:

а) доворот стрелки осуществлен в направлении начального отклонения коромысла;

б) доворот стрелки осуществлен в противоположном направлении.

Часть 6. Вязкость

6.1 При проведении опытов оказалось, что коромысло весов в достаточно долго колеблется вблизи положения равновесия. Для устранения этого эффекта подвижную часть прибора погружают в вязкое хорошо очищенное масло.

Для изучения сил вязкого трения, действующих на коромысло, проведен следующий эксперимент, проведенный при незаряженных шариках. Проволоку резко закручивают, повернув верхний рычаг-стрелку на угол $\Delta\alpha_0=90^\circ$ , и затем наблюдают за движением коромысла, которое медленно поворачивается в направлении поворота стрелки. При этом измеряют время, за которое коромысло поворачивается на известный угол $\alpha$ . В Таблице 1 представлены средние значения времен этого поворота для различных углов $\alpha$ .

Таблица 1.

$\alpha^\circ$	0	10	20	30	40	50	60	70	80
$t$ , с	0	1,2	2,5	4,0	5,9	8,1	10,9	15,1	22,0

Можно предположить, что момент сил вязкого трения $M_{\text{вязк.}}$ , действующих на коромысло, пропорционален его угловой скорости $\omega$ :

M_{\text{вязк.}}=-\beta\omega.\qquad (3)

Используя приведенные данные докажите применимость формулы (3) в данном эксперименте. Определите значение коэффициента пропорциональности $\beta$ .

6.2 Определите характерное время установления равновесия $T_0$ в данном эксперименте.

Подсказка 2. Пусть скорость изменения некоторой величины $X$ зависит от самой этой величины $\dfrac{\Delta X}{\Delta t}=F(X)$ . Тогда характерное время установления равновесия определяется как $T=\dfrac{\bar X-X_0}{F(X_0)}$ , где $\bar X$ - равновесное значение переменной, $X_0$ - ее начальное значение, $F(X_0)$ - скорость изменения в начальном положении, которая считается постоянной в течение всего процесса.

Часть 7. Движение в масле

7.1 Эксперименты в масле проводились по методике, описанной в Части 3 (при касании шариков проволока не деформирована). Во всех экспериментах, рассматриваемых в этой части задачи, шарикам сообщали одинаковые заряды $q_0$ , такие, что равновесное отклонение коромысла в воздухе при этих зарядах равно $\alpha_0=20^\circ$ . В ходе экспериментов выяснилось, что при зарядке шариков коромысло достаточно быстро отклоняется на некоторый угол, а затем достаточно медленно возвращается в исходное положение. Причем максимальный угол отклонения оказывается заметно меньше² равновесного угла отклонения для аналогичных экспериментов в воздухе (при тех же зарядах шариков). Причинами такого значительного уменьшения угла отклонения являются уменьшение напряженности электрического поля в диэлектрике и утечка зарядов с шариков.

Чему равен угол равновесного отклонения коромысла $\bar\alpha$ при помещении шариков в масло (при неизменных зарядах $q_0$ ), если диэлектрическая проницаемость используемого масла равна $\varepsilon=5{,}0$ ?

² Поэтому при анализе результатов можно пользоваться приближением «малых углов».

7.2 Шарикам сообщают заряды $q_0$ , коромысло начинает поворачиваться. Найдите зависимость угла поворота коромысла от времени при очень малых углах его поворота (когда можно пренебречь силами упругости проволоки), при условии, что заряды шариков остаются постоянным.

Подсказка 3. Если координата тела изменяется со временем по закону $X=Ct^\gamma$ , то его скорость описывается функцией $\dfrac{\Delta X}{\Delta t}=C\gamma t^{\gamma-1}$ .

При записи уравнений удобно использовать введенные ранее обозначения $T_0$ , $\bar\alpha$ и др.

7.3 Докажите, что характерное время³ разрядки шариков в масле равно $T_1=\rho\varepsilon_0\varepsilon$ , где $\rho=5{,}0\cdot10^{10}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ - удельное электрическое сопротивление масла; $\varepsilon=5{,}0$ - его диэлектрическая проницаемость, $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\,\dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}$ - электрическая постоянная.

³ Воспользуйтесь Подсказкой 2.

7.4 Оцените максимальный угол поворота коромысла в рассматриваемом эксперименте.

Решение

Часть 1. Установка.

1.1 Конечно же, для нормальной работы установки следует заряжать ближний к внешнему заряду шарик коромысла 3, поскольку обратное противоречит условию и здравому смыслу.

1.2 Не нарушится, т.к. масса электронов ничтожно мала по сравнению с массами реальных объектов. Даже при «огромном» заряде $q=1\,\text{Кл}$ суммарная масса электронов составит $m=5{,}7\cdot10^{-12}\,\text{кг}$ , что значительно меньше массы любой пылинки, летающей в воздухе.

Часть 2. Модуль кручения.

Полная трехпанельная схема кручения трубки: элементы, A/B/A′, ΔS_i, R, ΔR, α/φ/L и подпись.

2.1 Покажем, что деформация кручения сводится к деформации сдвига. Для этого мысленно разобьем тонкостенный цилиндр (т.е. проволоку) на тонкие слои перпендикулярные оси цилиндра, а каждый из этих слоев на малые слегка изогнутые параллелепипеды (Рис. 3а). При закручивании проволоки каждый из этих выделенных элементов разбиения наклонится на малый угол $\varphi$ , то есть испытает деформацию сдвига. Для закручивания проволоки к ней необходимо приложить некоторый момент сил $M$ , который в состоянии равновесия будет уравновешиваться равным по модулю моментом сил упругости. Тангенциальная сила упругости, возникающая при деформации выделенного элемента по закону Гука равна

\Delta F_i=G\varphi\Delta S_i,\qquad (1)

где $\Delta S_i$ - площадь «верхней» грани выделенного элемента. Момент этой силы, относительно оси цилиндра равен

\Delta M_i=\Delta F_iR=G\varphi\Delta S_iR.\qquad (2)

Так как для всех элементов выбранного кольца углы сдвига одинаковы, то вычисление суммарного момента сил упругости сводится к суммированию площадей «верхних граней»:

M=\sum_i\Delta M_i=\sum_iG\varphi\Delta S_iR=G\varphi R\sum_i\Delta S_i=G\varphi R\cdot2\pi R\Delta R=2\pi R^2\Delta RG\cdot\varphi.

Здесь $\sum_i\Delta S_i=2\pi R\Delta R$ - площадь верхней грани выделенного колечка.

Теперь необходимо выразить угол сдвига $\varphi$ через угол закручивания проволоки $\alpha$ . Пусть в результате кручения (см. Рис. 3в) некоторая точка $A$ на торце проволоки сместилась в положение $A'$ ; тогда, считая все углы малыми, длину дуги $AA'$ можно выразить в двух формах $\alpha R=L\varphi$ , откуда следует, что

\varphi=\frac{R}{L}\alpha,

поэтому суммарный момент сил упругости (который, очевидно, постоянен для любого поперечного сечения проволоки) равен.

M=F\cdot R=\frac{2\pi R^3\Delta R}{L}G\cdot\alpha.

Сравнивая с формулой закона Гука, находим, что модуль кручения равен

k=\frac{2\pi R^3\Delta R}{L}G.\qquad (3)

2.2 Расчет по формуле (3) для данных из условия дает

\boxed{k=0{,}13\,\frac{\text{Н}\cdot\text{м}}{\text{рад}}}.

Часть 3. «Малые углы»

3.1 Пусть коромысло крутильных весов повернулось на малый угол $\alpha$ (рис. 4). Тогда расстояние между шариками $r$ можно выразить как длину соответствующей дуги $r=l\alpha$ . Вследствие малости угла можно считать, что плечо силы Кулона практически равно расстоянию $l$ . При равновесии момент силы отталкивания зарядов (силы Кулона) будет уравновешен возвращающим моментом, возникшим вследствие закручивания серебряной проволоки, поэтому

Геометрия малых углов: обе заряженные сферы, коромысло, α, l, r, q и сила.

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}\cdot l=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(l\alpha)^2}\cdot l=k\cdot\alpha.\qquad (3)

Из (3) найдем зависимость угла закручивания нити при небольшом отклонении

\boxed{\alpha(q)=\sqrt[3]{\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0lk}}}.\qquad (4)

3.2 Для построения графика подставим численные значения постоянных величин

\alpha(q)=\sqrt[3]{\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0lk}}=\sqrt[3]{\frac{(10^{-9})^2q^2}{4\pi\,8{,}85\cdot10^{-12}\cdot0{,}10\cdot0{,}013}}\approx8{,}84\cdot10^{-3}q^{2/3},

здесь заряд измеряется в нанокулонах. График этой зависимости показан на рис. 5.

Вся зависимость α(q) в приближении малых углов: оси, единицы, все шкалы и подпись.

3.3 Выражая из формулы (4) заряд, получим

q=\sqrt{4\pi\varepsilon_0lk\alpha^3}.\qquad (5)

Подставляя в (5) значение (предварительно не забыв перевести его в радианы!) $\alpha=10^\circ=0{,}175\,\text{рад}$ найдем величину заряда $q_1$

\boxed{q_1=8{,}8\cdot10^{-8}\,\text{Кл}=88\,\text{нКл}}.

3.4 Для нахождения максимального заряда при малых отклонениях подставим в формулу (5) значение предельного угла $\alpha=20^\circ$ и выразим оттуда величину заряда $q_2$

\boxed{q_2=\sqrt{4\pi\varepsilon_0lk\alpha^3}=2{,}5\cdot10^{-7}\,\text{Кл}=0{,}25\,\text{мкКл}}.\qquad (6)

Таким образом, при зарядах на шариках $q\le q_2=0{,}25\,\text{мкКл}$ крутильные весы работают в режиме «малых углов».

Часть 4. «Большие углы».

4.1 При больших углах отклонения следует учесть, что расстояние между взаимодействующими шариками есть длина хорды, а не дуги (рис. 6), т.е.

r=2l\sin(\alpha/2).

Соответственно плечо силы Кулона в этом случае следует рассчитать как

d=l\cos(\alpha/2).

Геометрия больших углов: полная хорда, коромысло, l/r/α/q/F и подпись.

Таким образом, правило моментов для этого случая запишется в виде

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2l\sin(\alpha/2))^2}\cdot l\cos(\alpha/2)=k\cdot\alpha.\qquad (7)

Выражение (7) удобно преобразовать к следующему виду

\boxed{\alpha=\frac{1}{16\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q^2}{kl}\cdot\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)}}.\qquad (8)

Это уравнение может быть представлено и в других эквивалентных формах.

4.2 Выражая из (8) величину заряда $q$ , получим

\boxed{q_2=4\sin(\alpha/2)\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0kl\alpha}{\cos(\alpha/2)}}=} .\qquad (9)

Если точное значение заряда $\bar q_2$ определяется формулой (9), а приближенное $\tilde q_2$ - формулой (6), то относительная погрешность последней равна

\varepsilon=\frac{\tilde q_2-\bar q_2}{\bar q_2}=\frac{\tilde q_2}{\bar q_2}-1=\frac{\alpha\sqrt{\cos(\alpha/2)}}{2\sin(\alpha/2)}-1.

При угле $\alpha=20^\circ=\dfrac{\pi}{9}\,\text{рад}$ расчет по этой формуле приводит к значению $\varepsilon\approx2{,}6\cdot10^{-3}$ .

Данный факт позволяет сделать вывод, что границы приближения «малых углов» смело можно увеличить.

4.3 Уравнение (8) относительно угла закручивания нити $\alpha$ является трансцендентным, т.е. невозможно представить зависимость $\alpha(q)$ в явном аналитическом виде. Однако не составляет особого труда рассчитать на калькуляторе несколько значений обратной функции $q(\alpha)$ , что позволяет построить примерно требуемый график, который показан на рис. 7, где значения $q(\alpha)$ подсчитаны по формуле (9) с шагом $10^\circ$ .

Полная численная зависимость больших углов от заряда, точки, α1, все шкалы и подпись.

По данному графику находим, что при заряде $q=1{,}8\,\text{мкКл}$ угол отклонения коромысла приблизительно равен $\alpha\approx73^\circ$ .

На рис. 8 представлены графики двух функций $q(\alpha)$ , рассчитанные по приближенной формуле (6) и по точной формуле (9), как видно различия между ними начинают проявляться только при углах отклонения $\alpha\ge60^\circ$ .

Обе точная и приближенная функции q(α), все шкалы и подписи формул 6/9.

Часть 5. Измерение зарядов.

5.1 Момент сил электрического взаимодействия пропорционален произведению зарядов шариков и сложным образом зависит от углового расстояния между ними

M_{\text{эл.}}=q_0q_Xf(\alpha_0).\qquad (10)

Так как в данном эксперименте путем доворота коромысло возвращается в исходное положение, то явный вид зависимости этого момента от угла $f(\alpha_0)$ не существенен.

Момент сил упругости нити пропорционален углу закручивания нити,

M=-k(\alpha_0\pm\Delta\alpha),\qquad (11)

в этой формуле следует брать знак «минус», при довороте в направлении первоначального коромысла; знак «плюс» при довороте в противоположном направлении. С помощью этих выражений получаем, что отношение зарядов легко определяется с помощью пропорции

\boxed{\frac{q_X}{q_0}=\frac{\alpha_0\pm\Delta\alpha}{\alpha_0}}.\qquad (12)

Так при довороте в сторону направления поворота коромысла

\frac{q_X}{q_0}=\frac{\alpha_0-\Delta\alpha}{\alpha_0}\approx0{,}5,

следовательно, в этом случае заряд уменьшился в два раза.

При довороте в противоположном направлении

\frac{q_X}{q_0}=\frac{\alpha_0+\Delta\alpha}{\alpha_0}\approx1{,}5,

следовательно, в этом случае заряд увеличился в полтора раза.

Часть 6. Вязкость.

6.1 Поворот верхнего рычага-стрелки смещает положение равновесия коромысла, теперь положению равновесия (когда проволока не закручена) соответствует угол поворота коромысла, равный углу поворота стрелки, то есть $90^\circ$ . Для точного описания вращения коромысла следует пользоваться уравнением динамики вращательного движения. Однако, так как масло вязкое, то можно пользоваться «квазистатическим» приближением, то есть считать, что в любой момент времени сумма моментов сил, действующих на коромысло (в данном случае это моменты сил упругости и вязкого трения) равна нулю, что приводит к уравнению

k(\Delta\alpha_0-\alpha)=\beta\omega=\beta\frac{\Delta\alpha}{\Delta t}.\qquad (13)

Из уравнения (13) следует, что угловая скорость вращения пропорциональна углу отклонения коромысла от положения равновесия

\omega=\frac{\Delta\alpha}{\Delta t}=\frac{k}{\beta}(\Delta\alpha_0-\alpha).\qquad (14)

Таким образом, для проверки применимости сделанных предположений (момент сил вязкого трения пропорционален угловой скорости, квазистационарный характер движения коромысла) следует убедиться, что мгновенная угловая скорость вращения коромысла пропорциональная углу его отклонения от положения равновесия.

По приведенным в Таблице 1 данным можно приблизительно вычислить значения средней угловой скорости вращения коромысла на каждом интервале изменения угла поворота

\omega_{i+0{,}5}\approx\frac{\alpha_{i+1}-\alpha_i}{t_{i+1}-t_i},\qquad (15)

которую следует приписать середине углового интервала $\alpha_{i+0{,}5}=\dfrac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2}$ .

Расчеты этой экспериментальной зависимости угловой скорости от угла поворота приведены в Таблице 2. На Рис. 9 построен график зависимости угловой скорости от отклонения коромысла от положения равновесия $(\Delta\alpha_0-\alpha)$ .

Таблица 2.

$\alpha^\circ$	5	15	25	35	45	55	65	75
$\omega$ , град·с⁻¹	8,33	7,69	6,67	5,26	4,55	3,57	2,38	1,45

Полная линейная зависимость угловой скорости от отклонения до равновесия: все точки, шкалы и подпись.

Полученная пропорциональная зависимость подтверждает применимость сделанных предположений. Из уравнения (14) следует, что коэффициент пропорциональности между угловой скоростью и углом отклонения равен $\dfrac{k}{\beta}$ , численное значение этого же коэффициента, найденное из графика, приблизительно равно $\dfrac{k}{\beta}\approx0{,}10\,\text{с}^{-1}$ . Следовательно, требуемое значение параметра

\boxed{\beta\approx\frac{k}{0{,}10\,\text{с}^{-1}}=1{,}3\,\text{Н}\cdot\text{м}\cdot\text{с}}.

6.2 Из уравнения (13) следует, что характерное время установления равновесия, определенное с помощью Подсказки 2, равно

\boxed{T_0=\frac{\beta}{k}\approx10\,\text{с}}.\qquad (18)

Проиллюстрируем более подробно методику экспериментальной проверки применимости уравнения (13).

На Рис. 10 показан график «прохождения дистанции» коромыслом, то есть времени поворота от начального положения до указанного значения угла поворота, построенный по данным Таблицы 1.

Полная временная зависимость с выделенным интервалом: t40/t50, Δt/Δα, средний угол, точки, оси и подпись.

Так, например, участок от $40^\circ$ до $50^\circ$ коромысло прошло за время $\Delta t=t_{50}-t_{40}=8{,}1-5{,}9\approx2{,}2\,\text{с}$ . Следовательно, на этом участке средняя угловая скорость примерно равна $\omega_{\text{ср.}}=\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta t}=\dfrac{10^\circ}{2{,}2}\approx4{,}55\,\dfrac{\text{град}}{\text{с}}$ . С наименьшей погрешностью можно считать, что с этой скоростью коромысло прошло среднюю точку интервала $\alpha_{\text{ср.}}=45^\circ$ . Аналогичные расчеты проделаны для всех интервалов углов поворота, а их результаты приведены в Таблице 2: в первой строке середины интервалов, в нижней - соответствующие угловые скорости. При построении графика по оси абсцисс отложен угол, до положения равновесия, то есть $(\Delta\alpha_0-\alpha)=(90^\circ-\alpha)$ , который определяет момент силы упругости. При таком построении углы, приведенные в таблице и на графике, идут в обратном порядке.

Часть 7. Движение в масле.

7.1 При помещении заряженных шариков в масло сила взаимодействия между ними уменьшается в $\varepsilon$ раз, во столько же раз уменьшается и момент силы, действующей на коромысло. Поэтому условие равновесия, описываемое уравнением (3), приобретет вид

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\frac{q_0^2}{(l\alpha)^2}\cdot l=k\cdot\alpha.\qquad (19)

Поэтому угол равновесия в масле станет равным

\boxed{\bar\alpha=\sqrt[3]{\frac{q_0^2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon lk}}=\frac{\alpha_0}{\sqrt[3]{\varepsilon}}\approx12^\circ}.\qquad (20)

Таким образом, угол поворота уменьшится в $\sqrt[3]{\varepsilon}\approx1{,}7$ раз.

7.2 Запишем уравнение движения коромысла в квазистационарном приближении

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon l}\frac{q^2}{\alpha^2}-k\alpha-\beta\omega=0.\qquad (21)

Для упрощения (т.е. экономии места) разделим уравнение на модуль кручения проволоки и используем введенные ранее обозначения:

$\dfrac{\beta}{k}=T_0$ - характерное время установления равновесия в масле;

$\dfrac{q_0^2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon lk}=\bar\alpha^3$ , где $\bar\alpha$ - угол равновесия коромысла при заряде шариков равных $q_0$ , определяемый по формуле (12);

$\omega=\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta t}$ - угловая скорость вращения коромысла.

С учетом этих обозначений уравнение (21) записывается в виде

T_0\frac{\Delta\alpha}{\Delta t}=\frac{\bar\alpha^3}{q_0^2}\frac{q^2}{\alpha^2}-\alpha.\qquad (22)

Для описания начального этапа движения коромысла, когда можно пренебречь моментом сил упругости и при неизменных зарядах шариков $q=q_0$ уравнение (22) упрощается

T_0\omega=\frac{\bar\alpha^3}{\alpha^2}.\qquad (23)

Для его решения воспользуемся Подсказкой 3, то есть попытаемся найти зависимость угла поворота от времени в виде

\alpha(t)=Ct^\gamma,\qquad (24)

тогда $\omega(t)=C\gamma t^{\gamma-1}$ . Подставляя эти выражения в уравнение (23) получим

T_0C\gamma t^{\gamma-1}=\frac{\bar\alpha^3}{C^2}t^{-2\gamma}.\qquad (25)

Чтобы это выражение было справедливо в любой момент времени, необходимо, чтобы показатели степеней переменной $t$ совпадали. Это условие позволяет определить показатель степени в функции (24):

\gamma-1=-2\gamma\quad\Rightarrow\quad\gamma=\frac13.\qquad (26)

Теперь из равенства (25) легко определить постоянную $C=\sqrt[3]{3\dfrac{\bar\alpha^3}{T_0}}$ .

Окончательно, закон движения коромысла (24) в рамках оговоренных приближений имеет «очаровательный» вид

\boxed{\alpha(t)=\bar\alpha\cdot\sqrt[3]{3\frac{t}{T_0}}}.\qquad (27)

7.3 Окружим один из шариков замкнутой поверхностью $\Omega$ (Рис. 11). Сила электрического тока пересекающего через эту поверхность, равна скорости уменьшения заряда внутри поверхности. Эта сила тока равна потоку вектора плотности тока через поверхность $I=\Phi_{\vec j}$ . Так как по закону Ома плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля $\vec j=\dfrac{1}{\rho}\vec E$ , то потоки этих векторов связаны аналогичным соотношением $\Phi_{\vec j}=\dfrac{1}{\rho}\Phi_{\vec E}$ . Поток вектора напряженности электрического поля определяется теоремой Гаусса $\Phi_{\vec E}=\dfrac{q}{\varepsilon\varepsilon_0}$ . Таким образом, величина заряда внутри рассматриваемой области подчиняется уравнению

Полная замкнутая поверхность Ω вокруг заряда: все стрелки j/E, q и подпись.

\frac{\Delta q}{\Delta t}=-I=-\Phi_{\vec j}=-\frac{1}{\rho}\Phi_{\vec E}=-\frac{q}{\rho\varepsilon\varepsilon_0}.\qquad (28)

Из которого непосредственно следует, что характерное время стекания зарядов с шарика равно

T_1=\rho\varepsilon\varepsilon_0\approx2{,}2\,\text{с}.\qquad (29)

Заметим, что данная оценка может быть получена и иными способами, например, рассматривая явные выражения для напряженности поля вокруг уединенного шарика.

7.4 В данном случае в процессе движения коромысла происходит утечка зарядов с обоих шариков, поэтому момент сил, действующих на коромысло, изменяется, не только из-за изменения его угла поворота, но и из-за изменения зарядов взаимодействующих шариков. Поэтому угловая скорость вращения коромысла, определяемая уравнением (22) явно зависит как от времени, так и от угла поворота. Решать точно такие уравнения достаточно сложно. Однако, в данном случае нам не требуется находить закон движения коромысла - нам требуется найти только максимальный угол отклонения! Очевидно, что в момент максимального отклонения коромысла $t_m$ его угловая скорость вращения равна нулю, следовательно, в этот момент справедливо соотношение

\frac{\bar\alpha^3}{q_0^2}\frac{q(t_m)^2}{\alpha_{\max}^2}-\alpha_{\max}=0,\quad\text{или}\quad\left(\frac{q(t_m)}{q_0}\right)^2=\left(\frac{\alpha_{\max}(t_m)}{\bar\alpha}\right)^3.\qquad (30)

Чтобы точно решить это уравнение (то есть найти момент остановки коромысла $t_m$ ) необходимо знать явный вид зависимостей угла поворота и зарядов шариков от времени (то есть опять же решить уравнение (22)). Для оценки времени движения до остановки можно воспользоваться традиционной методикой, описанной в Подсказке 2. Для этого в уравнение (30) следует подставить временные зависимости, соответствующие начальному этапу движения! Такая зависимость для угла поворота получена и задается функцией (27). Из уравнения (28) следует, что начальный этап разрядки описывается линейным уравнением

q(t)=q_0\left(1-\frac{t}{\rho\varepsilon\varepsilon_0}\right)=q_0\left(1-\frac{t}{T_1}\right).\qquad (31)

В том же линейном приближении квадрат заряда описывается выражением

q^2=q_0^2\left(1-\frac{t}{\rho\varepsilon\varepsilon_0}\right)^2\approx q_0^2\left(1-2\frac{t}{T_1}\right).\qquad (32)

Подстановка этих функций в уравнение (30) приводит к простому линейному уравнению

1-2\frac{t_m}{T_1}=3\frac{t_m}{T_0},\qquad (33)

из которого следует, что остановка произойдет в момент времени

t_m=\frac{T_0T_1}{2T_0+3T_1}.\qquad (35)

Максимальный угол поворота будет достигнут в этот момент времени, его находим с помощью функции (7)

\boxed{\alpha_{\max}=\bar\alpha\cdot\sqrt[3]{3\frac{t_m}{T_0}}=\bar\alpha\cdot\sqrt[3]{\frac{3T_1}{2T_0+3T_1}}=\bar\alpha\left(1+\frac{2T_0}{3T_1}\right)^{-1/3}\approx0{,}63\bar\alpha\approx7{,}5^\circ}.\qquad (36)

Дополнение, «не вошедшее в основное собрание сочинений»

Для обоснования предложенной методики оценки максимального угла приведем точное решение данной задачи.

Начнем со строго решения уравнения (22)

T_0\frac{\Delta\alpha}{\Delta t}=\frac{\bar\alpha^3}{q_0^2}\frac{q^2}{\alpha^2}-\alpha.\tag{\text{д1}}

Введем безразмерные параметры $x=\dfrac{\alpha}{\bar\alpha}$ , $\tau=\dfrac{t}{T_0}$ , а также подставим явное выражение для заряда шариков $q=q_0\exp(-\dfrac{t}{T_1})$ . В этих переменных уравнение имеет вид

\frac{dx}{d\tau}=\frac{\exp(-b\tau)}{x^2}-x,\tag{\text{д2}}

где обозначено $b=\dfrac{2T_0}{T_1}$ .

Замена $x(\tau)=z(\tau)\cdot\exp(-\tau)$ приводит к уравнению с разделяющимися переменными

\frac{dz}{d\tau}\exp(-\tau)-z\exp(-\tau)=\frac{\exp(-b\tau)}{z^2\exp(-2\tau)}-z\exp(-\tau)\quad\Rightarrow\quad\frac{dz}{d\tau}=\frac{\exp(-(b-3)\tau)}{z^2},

которое легко интегрируется (с учетом начальных условий при $\tau=0$ , $z=0$ ):

\int_0^z z^2\,dz=\int_0^\tau\exp(-(b-3)\tau)\,d\tau,

\frac{z^3}{3}=\frac{1-\exp(-(b-3)\tau)}{b-3},\qquad z(\tau)=\sqrt[3]{3\frac{1-\exp(-(b-3)\tau)}{b-3}}.

Теперь находим

x(\tau)=z(\tau)\cdot\exp(-\tau)=\sqrt[3]{3\frac{\exp(-3\tau)-\exp(-b\tau)}{b-3}}.\tag{\text{д3}}

Возвращаясь к прежним переменным, получим

\alpha(t)=\bar\alpha\sqrt[3]{\frac{3T_1}{2T_0-3T_1}\left(\exp\left(-3\frac{t}{T_0}\right)-\exp\left(-2\frac{t}{T_1}\right)\right)}.\tag{\text{д3а}}

При малых $\tau$ закон изменения угла имеет вид

x(\tau)=\sqrt[3]{3\frac{\exp(-3\tau)-\exp(-b\tau)}{b-3}}\approx\sqrt[3]{3\tau},\tag{\text{д4}}

или

\alpha=\bar\alpha\sqrt[3]{3\frac{t}{T_0}},\tag{\text{д4а}}

что совпадает с (27).

На Рис. Д1 показан график зависимости Угла поворота коромысла от времени, рассчитанный по формуле (д3а): быстрое отклонение к максимальному значению и последующее медленное возвращение к исходному положению.

Дополнение Д1: полная точная α(t), быстрое отклонение и медленное возвращение, все шкалы.

На рис. Д2 показан участок этой же функции на меньшем временном интервале, здесь же для сравнения приведен для сравнения (тонкая линия) график приближенного решения, рассчитанный по формуле (27).

Дополнение Д2: обе точная и приближенная временные зависимости на меньшем интервале, все шкалы.

Проиллюстрируем графически решение уравнения (30) - условия равенства моментов сил упругости и электрического взаимодействия в момент остановки коромысла. На Рис. Д3 построены графики функций, фигурирующих в этом уравнении: толстые линии соответствуют точному решению, тонкие - использованному в «официальном» решении приближению.

Видно, что значение момента времени $t_m$ определяется со значительной погрешностью, однако требуемое значение максимального угла отклонения рассчитывается достаточно корректно: имеет место своеобразная компенсация погрешностей аппроксимации функций. Кроме того, вблизи экстремума любая функция изменяется медленно, поэтому погрешность аргумента слабо влияет на погрешность определения максимума функции.

Дополнение Д3: все четыре кривые моментов, заряда и угла, обе оценки остановки, все выносные подписи.

В заключение укажем точное значение максимального отклонения коромысла, найденный традиционным методом максимума функции (д3а):

\alpha_{\max}=\bar\alpha\left(\frac23\eta\right)^{-\frac{2\eta}{3(2\eta-3)}},\tag{\text{д5}}

где обозначено $\eta=\dfrac{T_0}{T_1}$ - отношение времени установления равновесия ко времени разрядки. Ранее было получено приближенное значение этой же функции (36), которая выражается через отношение времен в виде

\alpha_{\max}=\bar\alpha\left(1+\frac23\eta\right)^{-1/3}.\tag{\text{д5а}}

Графики этих функций показаны на Рис. Д4 (толстая линия - точное решение, тонкая - приближенное): погрешность решения невелика и вполне допустима для данной олимпиадной задачи.

Дополнение Д4: точное и приближенное максимальное отклонение по отношению времен, параметры задачи и все шкалы.

Оригинал в Архива: 3_etap_2006_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2006_solutions.pdf