Съдържание

BelPhO 2006, Областен етап, 9–11 клас — Задача 4. 9-4. Подземная река

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит шесть целых задач для 9–11 классов. Все условия, таблицы, подсказки, примечания и полные решения включены, в том числе аналитическое дополнение к крутильным весам. В оригинале 53 конечных запроса (4+5+4+0+18+22); каталог указывает 54 (4+5+4+0+22+19). Исходные формулы и данные сохранены. Примечания редактора о напечатанных расхождениях:

Задача 1. Примечание к источнику: в конце верхнего графика рис. 2 условия напечатан короткий положительный участок после отметки 14; изображение сохранено целиком.

Задача 2. Примечание к источнику: атомная масса Fe в таблице условия равна 55,8, в таблице решения — 55,85; обе таблицы воспроизведены по своим страницам. У коэффициента C в решении напечатана единица кДж/град без указания моля.

Задача 3. Примечание к источнику: формула (7) решения напечатана с разностью R−R₀, хотя предшествующая формула (4) содержит R+R₀; исходная формула сохранена.

Задача 4. Примечание к источнику: условие называет половинку BC левой, хотя на исходной схеме BC расположена справа; текст и рисунок сохранены.

Задача 5. Примечание к источнику: в численной подстановке 3.2 напечатано 0,013 при ранее найденном k=0,13. В формуле (9) оставлен завершающий знак равенства без численного результата. В 4.2 формула знаковой погрешности сопровождается положительным значением 2,6·10⁻³. Ссылки на формулу (12) в 7.2 и функцию (7) в 7.4 сохранены как напечатано. Все повторные номера формул и аналитическое дополнение воспроизведены.

Задача 6. Примечание к источнику: первая сила f в обеих расчетных таблицах напечатана 78,1 Н/м; в таблице 2 сохранены значения 1.412 кПа и 1.29 см. В 3.4.2 текст печатает 3·10⁴ Па, а итоговая формула — 3·10³ Па. Численная подстановка для A₀ на с. 30 содержит квадрат r₀, хотя определение содержит r₀ в первой степени. График на с. 32 имеет подпись «Рис. 9», но текст ссылается на рис. 8; его шкала A и оценка x=4/(27β) сохранены. В условии n=100 см⁻¹; численные расчеты решения используют n=10³ м⁻¹ и N=200. Подписи токов I₂/I₂₀ в формулах (39), (40), (42), название «удельное сопротивление» для λ и «индуктивность оболочки» для L оставлены как напечатано. В мощности источника (44) отсутствует множитель 1/2, несмотря на заявленное совпадение с (43). В условии последовательно напечатаны 6.2 (разрыв) и 6.1 (радиус), а решение обозначает их 6.1 и 6.2 соответственно; оба порядка сохранены.

9 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2006 год. Теоретический тур. 9 класс. Задачи 1–4: «Графопостроитель», «Металлы тоже кипят!», «Электродвигатель», «Подземная река».

10 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2006 год. Теоретический тур. 10 класс. «Крутильные весы Кулона».

11 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2006 год. Теоретический тур. 11 класс. «Сверхпроводящая резина».

Условие

Подземная река упрятана в русло, образованное полуцилиндрическим бетонным куполом $ABC$ радиусом $R=2{,}0\,\text{м}$ и горизонтальной поверхностью $AOC$ (рис. 1). Найдите силу давления воды $\vec F$ на левую половинку $BC$ купола, а также угол $\alpha$ , который образует вектор силы $\vec F$ с горизонтом. Длина русла (за чертеж) - $L=10\,\text{м}$ . Плотность воды $\rho=1{,}0\cdot10^3\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ . Ускорение свободного падения $g=9{,}8\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

Полная схема подземной реки: бетонный купол, вода, A/B/C/O, R, g, F и угол.

Решение

Обозначим проекции искомой силы давления $\vec F$ жидкости на горизонтальную ось - $F_x$ , на вертикальную - $F_y$ (рис. 2). Тогда из соответствующего прямоугольного треугольника сил имеем

F=\sqrt{F_x^2+F_y^2},\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac{F_y}{F_x}.\qquad (1)

Сила горизонтального давления $F_x$ на половинку $BC$ купола равна по модулю (и противоположна по направлению) силе давления на вертикальное сечение $OB$ системы. Это следует из условия равновесия каждой из половинок купола. Атмосферное давление можно не учитывать, т.к. оно оказывает действие с обеих сторон купола.

Полная схема сил давления реки: горизонтальные и вертикальные распределения, Fx/Fy/F, угол и подпись.

Поскольку гидростатическое давление с глубиной возрастает линейно, а элементарные площадки имеют одинаковую длину $L$ , то среднее давление для этого сечения (см. рис. 2)

p_{\text{ср}}=\frac{\rho gh}{2}=\frac{\rho gR}{2}.

Учитывая, что площадь всего прямоугольного сечения $S_{BO}=LR$ , окончательно получим

F_x=\frac{\rho gR}{2}\cdot LR=\frac{\rho gLR^2}{2}.\qquad (2)

Для нахождения $F_y$ воспользуемся гидростатическим парадоксом. Сила вертикального давления на дно (сечение $OC$ ) с одной стороны может быть найдена по определению как произведение постоянного давления $p=\rho gR$ на площадь дна $S_{OC}$

F_{OC}=p\cdot S_{OC}=\rho gR\cdot LR=\rho gLR^2,\qquad (3)

а с другой - как сумма силы тяжести воды на рис. 2 и $F_y$ . Действительно, по III закону Ньютона, бетонный купол «прижимает» воду ко дну тоже силой $F_y$ . Таким образом,

\rho gLR^2=F_y+\rho g\frac{\pi R^2}{4}L.\qquad (4)

Из (4) находим

F_y=\frac{4-\pi}{4}\rho gLR^2.\qquad (5)

Окончательно, с учетом (1), (2) и (5) получаем

F=\frac{\rho gLR^2}{4}\sqrt{4+(4-\pi)^2}=2{,}1\cdot10^5\,\text{Н}=0{,}21\,\text{МН},\qquad (6)

\operatorname{tg}\alpha=\frac{4-\pi}{2}=0{,}43\quad\Rightarrow\quad\alpha=23^\circ.\qquad (7)

Как видим из (6), сила давления воды достаточно велика - крепления половинок купола должны быть надежными! Кроме того, из (7) следует, что значение угла $\alpha$ на рис. 1 преувеличено примерно в 2 раза, т.е. вода значительно больше «толкает» половинку, чем «приподнимает».

Оригинал в Архива: 3_etap_2006_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2006_solutions.pdf