Съдържание

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 9-1.1. 9 класс — Задача 1.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

Задача 1.1

Парафиновую (плотностью $\rho=0{,}80\ \text{г/см}^3$ ) цилиндрическую свечу площадью основания $s=1{,}0\ \text{см}^2$ опускают в ванну с водой (плотностью $\rho_0=1{,}0\ \text{г/см}^3$ ). Для придания свече устойчивости, к её нижнему основанию приклеили алюминиевую (плотностью $\rho_1=2{,}7\ \text{г/см}^3$ ) шайбу высотой $h=1{,}0\ \text{см}$ и такой же, как и у свечи площади поперечного сечения $s=1{,}0\ \text{см}^2$ .

Свеча с алюминиевой шайбой; l, h и глубина d

1.1.1 Найдите, при какой длине свечи $l$ она сможет устойчиво плавать в воде.

1.1.2 Плавающую свечу длины $l=13{,}0\ \text{см}$ с прикрепленной к ней алюминиевой шайбой подожгли, так что она стала сгорать со скоростью $u=3{,}0\ \text{мм/мин}$ . Через какое время свеча потухнет?

Решение

Задача 9.1.1

1.1.1 На свечу, погруженную в воду, действуют сила тяжести $F_\text{Т}$ и сила Архимеда $F_\text{А}$ .

Чтобы свеча вообще плавала, должно выполняться условие плавания: архимедова сила должна быть равна силе тяжести

F_\text{А}=F_\text{Т}.\qquad (1)

Для устойчивого плавания свечи необходимо, чтобы при отклонениях от вертикального положения возникал момент сил, возвращающий свечу в первоначальное положение. Это условие будет выполнено, если точка приложения силы тяжести (центр масс свечи) будет лежать ниже точки приложения выталкивающей силы Архимеда совпадающей с центром масс вытесненной жидкости — центром плавания (рис.1а), в противном случае вертикальное положение будет неустойчиво (рис.1б).

Рис.1а и 1б: моменты силы тяжести и силы Архимеда

В случае однородной свечи центр тяжести всегда будет находиться выше центра плавания, поэтому свеча не может устойчиво плавать в вертикальном положении. Именно для этого к нижнему основанию свечи прикрепляется алюминиевая шайба.

Если длина свечи больше нескольких диаметров, то можно пренебречь изменением положения точки приложения силы Архимеда при ее наклоне.

Обозначим глубину погружения свечи с алюминиевой шайбой под воду $d$ (рис. 2).

Рис.2: свеча, шайба и глубина погружения

Тогда условие (1) записывается, как

\rho gsl+\rho_1gsh=\rho_0gsd,\qquad (2)

откуда следует

d=\frac{\rho l+\rho_1h}{\rho_0}.\qquad (3)

Свеча будет плавать, если глубина её погружения не превышает сумму высот свечи и шайбы, то есть при $d\le l+h$ . С учетом соотношения (3) это условие принимает вид

\frac{\rho l+\rho_1h}{\rho_0}\le l+h.\qquad (4)

Теперь определим, при какой высоте свеча сможет плавать устойчиво в вертикальном положении. Выберем ось координат $Oy$ , с началом отсчета по нижнему краю алюминиевой шайбы. Тогда координата центра плавания будет равна

y_\text{А}=\frac d2=\frac12\frac{\rho l+\rho_1h}{\rho_0},\qquad (6)

а координата центра тяжести

y_\text{С}=\frac{\rho_1h\frac h2+\rho l\left(h+\frac l2\right)}{\rho_1h+\rho l}.\qquad (7)

Таким образом, условие устойчивости $y_\text{А}\ge y_\text{С}$ формулируется в виде неравенства

\frac12\frac{\rho l+\rho_1h}{\rho_0}\ge\frac{\rho_1h\frac h2+\rho l\left(h+\frac l2\right)}{\rho_1h+\rho l}.\qquad (8)

Совместное решение неравенств (4) и (8), первое из которых линейное, а второе — квадратное, и дает нам интервал длин, при которых свеча устойчиво будет плавать в воде

8{,}5\ \text{см}\le l\le18{,}5\ \text{см}.\qquad (9)

1.1.2 Свеча погаснет, когда её длина станет равной минимально возможной для плавания, т.е. $l_{\min}=8{,}5\ \text{см}$ . Значит, гореть она будет в течение времени

t=\frac{l-l_{\min}}{u}=15\ \text{мин}.\qquad (10)

Отметим, что все время горения свеча будет плавать устойчиво.

Дополнения

Проиллюстриуем графически решение данной задачи. На рис. 3 построены графики зависимостей полной длины свечи вместе с шайбой $(l+h)$ ; глубины погружения $d$ , рассчитанной по формуле (3); координаты центра плавания (6) и координаты центра масс (7) от длины парафиновой части свечи $l$ (деления шкал даны в сантиметрах). Заливкой выделены области, в которых выполняются условие плавания и условие устойчивости.

Рис.3: полная длина, глубина погружения, центры плавания и масс; области условий

Приведем более подробные выкладки, необходимые для решения системы неравенств.

Для упрощения работы с громоздкими выражениями в дальнейшем введем безразмерные переменные $\eta=\frac{\rho}{\rho_0}$ , $\eta_1=\frac{\rho_1}{\rho_0}$ , $\xi=\frac lh$ . Используя данные условия $\eta=0{,}8;\ \eta_1=2{,}7$ .

В новых переменных глубина погружения

d=(\eta\xi+\eta_1)h,\tag{\text{д}1}

а условие плавания (4) превращается в

\eta\xi+\eta_1\le\xi+1.\tag{\text{д}2}

Решаем это неравенство: $\xi(1-\eta)\ge\eta_1-1$ и поскольку $1-\eta=0{,}2>0$ , то

\xi\ge\frac{\eta_1-1}{1-\eta}.\tag{\text{д}3}

Минимальная высота свечи, при которой она ещё сможет плавать, равна

l_{\min}=\xi_{\min} h=\frac{\eta_1-1}{1-\eta}h,\tag{\text{д}4}

или

l_{\min}=\frac{2{,}7-1}{1-0{,}2}\cdot1{,}0\ \text{см}=8{,}5\ \text{см}.

В безразмерных переменных координата центра выталкивания равна

y_\text{А}=\frac d2=\frac{(\eta\xi+\eta_1)h}{2},\tag{\text{д}5}

а координата центра тяжести

y_\text{С}=\frac{\rho_1h\frac h2+\rho l\left(h+\frac l2\right)}{\rho_1h+\rho l}=\frac{\frac12\eta_1+\eta\xi+\frac12\eta\xi^2}{\eta_1+\eta\xi}h.\tag{\text{д}6}

Выполним математические преобразования необходимые для решения неравенства (8) с учетом того, что $\eta_1+\eta\xi>0$

\frac{(\eta\xi+\eta_1)h}{2}\ge\frac{\frac12\eta_1+\eta\xi+\frac12\eta\xi^2}{\eta_1+\eta\xi}h,

\eta\xi+\eta_1\ge\frac{\eta_1+2\eta\xi+\eta\xi^2}{\eta_1+\eta\xi},

(\eta\xi+\eta_1)^2\ge\eta_1+2\eta\xi+\eta\xi^2,

\eta^2\xi^2+\eta_1^2+2\eta\eta_1\xi\ge\eta_1+2\eta\xi+\eta\xi^2,

\eta(1-\eta)\xi^2+2\eta(1-\eta_1)\xi+\eta_1(1-\eta_1)\le0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно $\xi$ . Поскольку коэффициент при $\xi^2$ положительный, решением этого неравенства будет $\xi_1\le\xi\le\xi_2$ , где $\xi_{1,2}$ — корни квадратного уравнения

\eta(1-\eta)\xi^2+2\eta(1-\eta_1)\xi+\eta_1(1-\eta_1)=0.

Его дискриминант равен

\begin{aligned} D/4&=(b/2)^2-ac=\eta^2(1-\eta_1)^2-\eta(1-\eta)\eta_1(1-\eta_1)\\ &=\eta(1-\eta_1)[\eta(1-\eta_1)-\eta_1(1-\eta)]\\ &=\eta(1-\eta_1)[\eta-\eta\eta_1-\eta_1+\eta\eta_1]\\ &=\eta(1-\eta_1)(\eta-\eta_1)=\eta(\eta_1-1)(\eta_1-\eta). \end{aligned}

При наших данных $D/4=0{,}8(2{,}7-1)(2{,}7-0{,}8)=2.6>0$ , следовательно, существует 2 действительных корня этого уравнения:

\xi_{1,2}=\frac{-\eta(1-\eta_1)\pm\sqrt{\eta(\eta_1-1)(\eta_1-\eta)}}{\eta(1-\eta)} =\frac{\eta_1-1}{1-\eta}\pm\frac1{1-\eta}\sqrt{\frac{(\eta_1-1)(\eta_1-\eta)}{\eta}}.

Подстановка численных значений исходных данных приводит к результату $\xi_1=-1{,}5;\ \xi_2=18{,}5$ .

Таким образом, условие устойчивого плавания имеет вид:

\frac{\eta_1-1}{1-\eta}-\frac1{1-\eta}\sqrt{\frac{(\eta_1-1)(\eta_1-\eta)}{\eta}}\le\xi\le\frac{\eta_1-1}{1-\eta}+\frac1{1-\eta}\sqrt{\frac{(\eta_1-1)(\eta_1-\eta)}{\eta}},

а с учетом условия плавания (д3))

\frac{\eta_1-1}{1-\eta}\le\xi\le\frac{\eta_1-1}{1-\eta}+\frac1{1-\eta}\sqrt{\frac{(\eta_1-1)(\eta_1-\eta)}{\eta}}.

Итак, для устойчивого плавания должно выполняться $-1{,}5\ \text{см}\le l\le18{,}5\ \text{см}$ , для плавания вообще $l\ge8{,}5\ \text{см}$ . Таким образом, свеча будет устойчиво плавать, если длина свечи лежит в интервале $8{,}5\ \text{см}\le l\le18{,}5\ \text{см}$ .

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf