Съдържание

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 9-2. Запаздывание

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

Все взаимодействия, все сигналы распространяются с конечной скоростью, поэтому любая воспринимаемая нашими органами чувств и приборами информация «запаздывает»: то, что мы видим «сейчас», на самом деле произошло «раньше». Нам повезло — скорость света настолько велика, что упомянутое «запаздывание» практически не оказывает никакого влияния на наше поведение. Тем, не менее, в некоторых случаях его необходимо учитывать. Этой проблеме и посвящена данная задача.

Положение некоторого тела (объекта наблюдения), движущегося вдоль прямой, определяется с помощью сонара (звукового радара). Сонар посылает очень короткий звуковой сигнал в виде сферической волны и улавливает отраженную от тела волну. Скорость распространения волны известна и равна $c$ .

Сонар фиксирует время, когда послан сигнал — $t_0$ и время прихода отраженной волны — $\tau$ .

Будем считать, что сигналы сонара каким-то образом различаются, поэтому компьютер сонара в момент регистрации отраженного сигнала точно «знает», когда именно этот сигнал был послан. Затуханием сигнала можно пренебречь.

Введем ось координат $Ox$ , начало которой совместим с сонаром. Будем рассматривать тела, движущиеся вдоль этой прямой. Размеры сонара и объекта достаточно малы, поэтому возможно, что объект проходит в непосредственной близости от сонара. Считайте, что время наблюдения изменяется от минус до плюс бесконечности.

Для определения положения тела приняты следующие правила: положение тела в момент прихода отраженного сигнала задается регистрируемым направлением на объект наблюдения, а расстояние до него рассчитывается по формуле

r'=c\frac{\tau-t_0}{2}.\qquad (1)

Определенное по этим правилам положение тела будем называть изображением объекта.

2.1

Пусть наблюдаемое тело движется равномерно вдоль оси $Ox$ . Закон движения тела имеет вид

x=x_0+v_0t.\qquad (2)

2.1.1 Определите скорость движения изображения тела.

2.1.2 Найдите закон движения изображения. Постройте графики законов движения объекта и его изображения.

Рассмотрите различные варианты начального положения и направления движения тела. Отдельно рассмотрите случай, когда скорость движения объекта будет больше скорости звука. А может изображений будет несколько?

2.2

Наблюдаемое тело движется равноускоренно вдоль оси $Ox$ . Закон движения тела имеет вид

x=\frac{at^2}{2}.\qquad (3)

2.2.1 Найдите закон движения изображения. Постройте схематические графики законов движения объекта и его изображения.

Решение

Сначала рассмотрим общие подходы к решению данной задачи.

Рис.1: закон движения, посланный и отраженный сигналы, ошибка δx

Схематически изобразим (рис. 1) закон движения тела $x(t)$ . Сигнал, посланный в момент времени $t_0$ распространяется по закону $x_\text{с}=c(t-t_0)$ . Когда сигнал достигнет движущегося тела, их координаты будут равны, поэтому момент времени отражения сигнала $t_1$ , может быть найдено из уравнения

x(t_1)=c(t_1-t_0).\qquad (1)

Это уравнение позволяет найти момент времени отражения $t_1$ как функцию времени испускания сигнала $t_0$ . Отраженный сигнал движется в обратном направлении с той же скоростью, поэтому он вернется в исходную точку в момент времени $\tau$ , для которого выполняется соотношение

t_1-t_0=\tau-t_1.\qquad (2)

Согласно описанной в условии методике, за положение объекта в момент прихода сигнала принимается его положение в момент отражения сигнала. На рисунке отмечена ошибка определения закона движения $\delta x$ , связанная с тем, что координата движущегося тела в момент отражения сигнала, приписывается изображению в момент прихода отраженного сигнала.

Итак, в принципе, первый путь решения задачи проясняется: из уравнения (1) находим $t_1$ как функцию $t_0$ ; вычисляем координату $x(t_1(t_0))$ , затем из уравнения (2) $t_1(t_0)-t_0=\tau-t_1(t_0)$ выражаем $t_0$ как функцию $\tau$ ; наконец записываем закон движения¹ изображения $x'(\tau)=x(t_1(t_0(\tau)))$ .

Однако на этом пути придется решать два уравнения (1) и (2), при этом необходимо находить промежуточную функцию $t_1(t_0)$ , которая не нужна в окончательном результате. Поэтому можно элементарно избавиться от этой функции, переписав уравнение (1) с помощью соотношения (2)

x(t_1)=c(\tau-t_1).\qquad (3)

Из этого уравнения можно найти время отражения как функцию времени приема отраженного сигнала $t_1(\tau)$ , а закон движения изображения далее можно определить двумя способами

x'(\tau)=x(t_1(\tau)),\qquad (4)

либо

x'(\tau)=c(\tau-t_1(\tau)).\qquad (5)

Этот путь явно короче: решение одного уравнения и одна подстановка.

Теперь еще одно дополнительное осложнение — а если координата объекта отрицательна? Сделаем рисунок для этого варианта (рис. 2)

Рис.2: сигнал на отрицательной стороне оси

Тогда следует рассматривать сигнал, распространяющийся в отрицательном направлении оси $Ox$ , в этом случае уравнение (1) надо заменить на

x(t_1)=-c(t_0-t_1),\qquad (1*)

соответственно изменится и более удобное уравнение (3)

x(t_1)=-c(\tau-t_1).\qquad (3*)

Уравнения (3) и (3*) отличаются только знаком правой части, поэтому их можно объединить

x(t_1)=\pm c(\tau-t_1)\qquad (6)

или переписать в виде, который отражает явный физический смысл (расстояние до объекта равно расстоянию, которое проходит сигнал):

|x(t_1)|=c(\tau-t_1).\qquad (7)

Кстати, при любом движении (не только вдоль оси $Ox$ ) — справедливо такое уравнение!

Замечательно, но уравнение (7) или равносильное ему (6) может иметь несколько корней. Конечно, исходя из постановки задачи², следует выбирать только те корни, для которых выполняется условие

t_0<t_1<\tau.\qquad (8)

Каждый раз придется анализировать корни — искать их смысл, принимать, или отбрасывать. По-видимому, все же сначала лучше анализировать, а потом искать то, что нужно. Такой анализ можно унифицировать: построить график закон движения и график распространения сигнала (рис.3), а затем рассмотреть точки их пересечения. При этом следует посмотреть, как меняется «картинка» при изменении параметров задачи.

Рис.3: семейство сигналов и пересечения с законом движения

Применим эти общие рассуждения к тем вариантам движения объекта, которые описаны в условии задачи.

1. Равномерное движение

Построим график закона движения тела

x(t)=x_0+v_0t,\qquad (1.1)

который является прямой линией (рис. 4)

Рис.4: равномерное движение объекта и сигналы

Также изобразим графики движения сигналов, испущенных в различные моменты времени. Легко заметить, что необходимо решать различные уравнения, в зависимости от знака координаты объекта в момент отражения сигнала. Эти два варианта легко различимы. Объект пересекает начало координат³ в момент времени

t_*=-\frac{x_0}{v_0};\qquad (1.2)

Если сигнал послан в этот момент времени, то отражение и возвращение произойдут мгновенно, то есть при $t_0=t_*$ , $\tau=t_1=t_0=t_*$ .

Итак, при $\tau=t_1=t_0<-\frac{x_0}{v_0}$ , для определения закона движения следует решить уравнение

x_0+v_0t_1=-c(\tau-t_1),\qquad (1.3)

из которого следует, что $t_1=\frac{c\tau+x_0}{c-v_0}$ , а закон движения имеет вид

x'(\tau)=-c(\tau-t_1)=\frac c{c-v_0}(x_0+v_0\tau).\qquad (1.4)

При $\tau=t_1=t_0>-\frac{x_0}{v_0}$ уравнение, для определения времени отражения, имеет вид

x_0+v_0t_1=c(\tau-t_1),\qquad (1.5)

из которого определяем $t_1=\frac{c\tau-x_0}{c+v_0}$ и закон движения изображения

x'(\tau)=c(\tau-t_1)=\frac c{c+v_0}(x_0+v_0\tau).\qquad (1.6)

Итак, закон движения изображения в рассматриваемом случае имеет вид

x'(\tau)=\begin{cases} \frac1{1-\gamma}(x_0+v_0\tau),&\text{при }\tau<-\frac{x_0}{v_0},\\ \frac1{1+\gamma}(x_0+v_0\tau),&\text{при }\tau>-\frac{x_0}{v_0}, \end{cases}\qquad (1.7)

здесь обозначено $\gamma=\frac{v_0}{c}$ (это обозначение мы будем использовать и в дальнейшем).

График этой функции показан на рисунке 5, там же изображен и график движения самого объекта.

Рис.5: объект и изображение при переходе через начало координат

Скорость движения изображения изменяется скачком при переходе объекта через начало координат: при приближении объекта его изображение движется быстрее, при удалении наоборот — изображение движется медленнее:

v'(\tau)=\begin{cases} \frac{v_0}{1-\gamma},&\text{при }\tau<-\frac{x_0}{v_0},\\ \frac{v_0}{1+\gamma},&\text{при }\tau>-\frac{x_0}{v_0}. \end{cases}\qquad (1.8)

Попытайтесь качественно объяснить этот эффект изменения скорости.

На этом решение данной части задачи не заканчивается — необходимо отдельно рассмотреть движение объекта со скоростью, большей скорости сигнала $v_0>c$ .

Опять построим графики законов движения объекта и сигналов, посланных в различные моменты времени (рис. 6 — на котором ради экономии места масштаб оси времени изменен по сравнению с предыдущими рисунками).

Рис.6: движение со скоростью больше скорости сигнала

В этом случае ситуация кардинально изменяется. Во-первых, сигналы, посланные в моменты времени $t_0>t_*$ не догонят объект, следовательно, не дают изображения (оно исчезает!).

Во-вторых, сигналы, посланные при $t_0<t_*$ , отразятся от объекта дважды: один раз при приближении самолета (в момент времени $t_1^{(1)}$ ) и при его удалении (в момент времени $t_1^{(2)}$ ). Второе отражение произойдет, когда объект догонит сигнал. Таким образом, при $\tau>t_*$ сонар⁴ будет давать два изображения.

Для расчета закона движения первого изображения следует решить уравнение

x_0+v_0t_1^{(1)}=-c(\tau-t_1^{(1)}),\qquad (1.9)

которое совпадает с уравнением (1.3), и поэтому приводит к тому же закону движения (напомним, справедливому только при $\tau>t_*$ )

x'_{(1)}(\tau)=\frac c{c-v_0}(x_0+v_0\tau).\qquad (1.10)

Поразительно, так как $v_0>c$ , скорость изображения отрицательна — изображение движется в сторону противоположную движению объекта. Объяснение этого парадокса дано на рисунке 7.

Рис.7: более ранний сигнал возвращается позже

Сигнал, посланный раньше $(t_{01}<t_{02})$ , возвратится позже $(\tau_1>\tau_2)$ , поэтому быстрее будет поступать информация о более близком положении объекта.

Для описания движения второго изображения необходимо решить уравнение, совпадающее с уравнением (1.5),

x_0+v_0t_1^{(2)}=c(\tau-t_1^{(2)}),\qquad (1.11)

что приводит к аналогичному закону движения изображения

x'_{(2)}(\tau)=\frac c{c+v_0}(x_0+v_0\tau).\qquad (1.12)

Графики этих законов движения построены на рисунке 8.

Рис.8: два изображения сверхзвукового объекта

Скорости движения изображений легко найти из законов движения

\begin{aligned} v'_{(1)}&=\frac{v_0}{1-\gamma},\quad\text{при }\tau>-\frac{x_0}{v_0},\\ v'_{(2)}&=\frac{v_0}{1+\gamma},\quad\text{при }\tau>-\frac{x_0}{v_0}. \end{aligned}\qquad (1.13)

Таким образом, изображения появляются в момент пересечения объектом начала координат, затем одно медленно удаляется в туже сторону, что и движущийся объект, а второе — движется быстрее в противоположную сторону.

2. Равноускоренное движение

Если при равномерном движении пришлось рассматривать четыре варианта, то сколько их будет при равноускоренном движении объекта?

При законе движения

x(t)=\frac{at^2}{2}\qquad (2.1)

объект все время находится с одной стороны от наблюдателя $(x\ge0)$ , поэтому достаточно рассмотреть только сигнал, распространяющийся в положительном направлении оси $Ox$ . Также обратим внимание, что скорость объекта изменяется и на одних интервалах больше скорости сигнала, а на других меньше.

Рис.9: парабола движения и два отражения сигнала

Графический анализ взаимного расположения графика движения объекта (парабола) и сигналов (лучей прямых) показывает (рис. 9), что от одного сигнала, испущенного в момент $t_0$ , может быть зарегистрировано два отражения $\tau_1,\tau_2$ — один раз сигнал догоняет объект, второй раз объект догоняет сигнал.

Возможна также ситуация, когда отраженных сигналов не будет — сигнал не может догнать объект, разогнавшийся до скорости большей скорости сигнала.

Граничным между этими случаями, является вариант, при котором график распространения сигнала является касательным к параболе — графику закона движения объекта (рис. 10).

Рис.10: последний догоняющий сигнал, касательная

Легко понять, что в этом случае в момент отражения скорость объекта $v=at$ сравнивается со скоростью сигнала. Это позволяет найти этот момент (последней возможности догнать объект), используя уравнение $at_{1\max}=c$ . Из которого следует

t_{1\max}=\frac ca.\qquad (2.2)

В этот момент находится в точке с координатой

x_{\max}=\frac{a(t_{1\max})^2}{2}=\frac{c^2}{2a}.\qquad (2.3)

Максимальный момент отправления сигнала, который может догнать объект, определяется формулой

t_{0\max}=t_{1\max}-\frac{x_{\max}}{c}=\frac c{2a},\qquad (2.4)

а соответствующий момент возвращения «последнего» сигнала

\tau_{\max}=t_{1\max}+\frac{x_{\max}}{c}=\frac{3c}{2a}.\qquad (2.5)

На первый взгляд, кажется, что решение задачи опять надо разбивать на различные этапы, но ведь мы разработали другой метод решения, основанный на «привязке» к моменту регистрации, а не к моменту «запуска». Поэтому рассмотрим графическую иллюстрацию уравнения (3), включающего законы движения объекта и отраженного сигнала. Этот метод позволяет решить задачу единообразно для любого момента времени регистрации. Для графического анализа этого уравнения необходимо «зеркально» отразить рисунок 1.9, в результате получим рисунок 11. Здесь также есть значения моментов регистрации $\tau$ , которым соответствуют два момента отражения, следовательно, и два изображения; есть значение $\tau_{\min}$ — минимальное время прихода отраженных сигналов (независимо от времени их отправления). Это время находится аналогично (2.5)

\tau_{\min}=-\frac{c^2}{2a}+\frac ca=-\frac c{2a}.\qquad (2.6)

Таким образом, при $\tau>\tau_{\min}$ общее уравнение (3), имеющее вид

\frac{at_1^2}{2}=c(\tau-t_1),\qquad (2.7)

имеет два корня

t_1(\tau)=-\frac ca\pm\sqrt{\left(\frac ca\right)^2+2\frac ca\tau}.\qquad (2.8)

Соответствующие этим решениям законы движения изображений имеют вид

\begin{aligned} x'_{(1,2)}&=c(\tau-t_1)=c\left(\tau+\frac ca\mp\sqrt{\left(\frac ca\right)^2+2\frac ca\tau}\right)\\ &=\frac ca\left(a\tau+c\left(1\mp\sqrt{\left(\frac ca\right)^2+2\frac ca\tau}\right)\right). \end{aligned}\qquad (2.9)

Проанализируйте эти функции самостоятельно, их графики показаны на рисунке 1.12.

Рис.1.11: моменты отражения и ветви C, D

Рис.1.12: законы движения изображений, ветви C, D

Рассмотрите также физический смысл всех ветвей, соотнесите их с результатами проведенного качественного анализа. Для подсказки эти ветви обозначены на рис. 1.11 и 1.12 одинаково. А по существу, на них изображена одна и та же парабола, только повернутая и немного деформированная.

¹ Все кинематические характеристики движения изображений будем «штриховать».

² Сигнал распространяется во все стороны пространства, но только «из прошлого в будущее».

³ В реальности, такая ситуация не очень приятна, как для объекта, так и для наблюдателя. Но в рамках нашей модели материальных точек, будем считать, что наши «герои» успешно разойдутся. Более правдоподобная ситуация будет рассмотрена чуть позже.

⁴ Не будем обсуждать, можно ли реально зарегистрировать оба отраженных сигнала — в нашем рассмотрении затуханием сигнала пренебрегаем.

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf