Съдържание

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 9-3. Смеситель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

Водопроводный смеситель холодной $(T_1=10^\circ\text{C})$ и горячей $(T_2=70^\circ\text{C})$ воды состоит из двух одинаковых труб $AB$ и $CB$ , переходящих в удлинитель $BD$ (рис.1). Краны $K_1$ и $K_2$ регулируют расход $q$ (т.е. объем воды, проходящий через трубу в единицу времени) и температуру $T$ воды, выходящей из смесителя.

Опыт показывает, что расход воды через трубу $AB$ (или $CB$ ) пропорционален разности гидростатических давлений $p_A$ и $p_B$ на ее концах $q=\alpha C(p_A-p_B)$ , где $\alpha$ — некоторый безразмерный коэффициент «открытия крана», принимающий значение от нуля (кран закрыт) до единицы (кран полностью открыт), а $C$ — некоторый постоянный размерный коэффициент для данной трубы.

Расход воды через удлинитель $BD$ также пропорционален разности давлений жидкости на его концах $q=C(p_B-p_0)$ , где $p_0$ — нормальное атмосферное давление на выходе из трубы в точке $D$ (см. рис. 1).

Давления в магистралях холодной $p_1=p_A=3{,}0\ \text{атм}$ и горячей $p_2=p_B=2{,}6\ \text{атм}$ труб поддерживаются постоянными. Воду будем считать несжимаемой жидкостью, а потери теплоты при прохождении смесителя — пренебрежимо малыми.

Если полностью открыть $(\alpha_1=1{,}0)$ кран холодной воды при полностью закрытом кране горячей воды, то расход воды будет равен $q_1=1{,}4\ \text{л/с}$ .

3.1 Вычислите значение коэффициента C и укажите его размерность.

3.2 Найдите расход $q_2$ воды при полном открытии крана с горячей водой (при закрытом втором кране).

3.3 Вычислите расход воды $q_3$ и ее температуру $T_3$ в случае, когда два крана открыть полностью $(\alpha_1=\alpha_2=1{,}0)$ .

3.4 Найдите расход воды $q_4$ и ее температуру $T_4$ в случае, когда один кран холодной воды открыт на $\alpha_1=0{,}30$ , а кран горячей — на $\alpha_2=0{,}70$ .

3.5 В «час пик» при большом количестве пользователей давление $p_2$ в магистрали горячей воды может значительно упасть. При каком давлении $p_{2\min}$ подача горячей воды в смеситель полностью прекратится, если кран холодной воды открыт на $\alpha_1=0{,}30$ , а кран горячей — на $\alpha_2=0{,}70$ ?

Решение

3.1 Для вычисления значения $C$ рассмотрим процесс вытекания холодной воды при полностью открытом кране. При течении несжимаемой жидкости ее расход для обеих трубок должен быть один и тот же

q_{AB}=q_{BD}.

Это будет возможно в том случае, если в точке $B$ (рис. 1) трубки установится некоторое «самосогласованное» давление $p_B$ , обеспечивающее прокачку соответствующего потока жидкости через каждую из трубок.

Рис.1: трубки и самосогласованное давление в B

Математически можем записать это условие в виде системы уравнений

q_{AB}=C(p_1-p_B)=q_{BD}=C(p_B-p_0).\qquad (1)

Из этого уравнения находим

p_B=\frac{p_1+p_0}{2}=2{,}0\ \text{атм}.

Соответственно, для расхода воды в этом случае получим

q_{AB}=C\frac{p_1-p_0}{2}\Rightarrow C=\frac{2q_1}{p_1-p_0}.\qquad (2)

Расчет по формуле (2) дает численное значение постоянной $C$

C=1{,}4\ \frac{\text{л}}{\text{с}\cdot\text{атм}}=1{,}4\cdot10^{-8}\ \frac{\text{м}^3}{\text{с}\cdot\text{Па}}.

3.2 При полном открытии крана с горячей водой можно повторить рассуждения предыдущего пункта с той лишь разницей, что давление в магистрали равно $p_2$ , поэтому

q_2=C\frac{p_2-p_0}{2}=\frac{p_2-p_0}{p_1-p_0}q_1=1{,}1\ \frac{\text{л}}{\text{с}}.

3.3 При полном открытии двух кранов в точке $B$ системы должно установится давление $p_B$ , «обеспечивающее» прокачку через удлинитель $BD$ суммарного потока $q_3$ , образованного слиянием двух (холодного $q_1$ и горячего $q_2$ ) потоков из труб $AB$ и $CB$ .

Соответственно, в этом случае справедлива система уравнений

\begin{aligned} q_1&=C(p_1-p_B),\\ q_2&=C(p_2-p_B),\\ q_3&=q_1+q_2=C(p_B-p_0). \end{aligned}\qquad (3)

Решение системы (3) дает следующие результаты

\begin{aligned} p_B&=\frac{p_1+p_2+p_0}{3},\\ q_1&=C\frac{2p_1-p_2-p_0}{3}=1{,}1\ \frac{\text{л}}{\text{с}},\\ q_2&=C\frac{2p_2-p_1-p_0}{3}=0{,}6\ \frac{\text{л}}{\text{с}},\\ q_3&=q_1+q_2=C\frac{p_1+p_2-2p_0}{3}=1{,}7\ \frac{\text{л}}{\text{с}}. \end{aligned}\qquad (4)

Как видим из (4), расход горячей воды почти в два раза меньше расхода холодной, что объясняется бóльшим давлением в магистрали холодной воды. Это приводит к своеобразному эффекту «закупоривания» трубы с горячей водой и, соответственно, падению ее расхода. С этой точки зрения можем заметить, что сильный перепад давлений в магистралях крайне нежелателен.

Поскольку в смесителе потери теплоты практически отсутствуют (жидкости протекают через него достаточно быстро), то уравнение теплового баланса будет иметь вид

cm_1(T-T_1)=cm_2(T_2-T),\qquad (5)

где $T$ — искомая температура воды на выходе из смесителя, $c$ — удельная теплоемкость воды. Т.к. вода практически несжимаема, то можно считать, что ее плотность $\rho$ в обеих магистралях одинакова. В этом случае $m_1=\rho V=\rho q_1t$ и $m_2=\rho V=\rho q_2t$ , и из уравнения (5) получаем искомый результат

T_3=\frac{q_1T_1+q_2T_2}{q_1+q_2}=30^\circ\text{C}.\qquad (6)

3.4 При различном открывании кранов система уравнений примет вид

\begin{aligned} q_1&=\alpha_1C(p_1-p_B),\\ q_2&=\alpha_2C(p_2-p_B),\\ q&=q_1+q_2=C(p_B-p_0). \end{aligned}

Соответственно ее решение также несколько изменится

\begin{aligned} p_B&=\frac{\alpha_1p_1+\alpha_2p_2+p_0}{1+\alpha_1+\alpha_2},\\ q_1&=\alpha_1C\frac{p_1(1+\alpha_2)-\alpha_2p_2-p_0}{1+\alpha_1+\alpha_2}=0{,}48\ \frac{\text{л}}{\text{с}},\\ q_2&=\alpha_2C\frac{p_2(1+\alpha_1)-\alpha_1p_1-p_0}{1+\alpha_1+\alpha_2}=0{,}73\ \frac{\text{л}}{\text{с}},\\ q_4&=q_1+q_2=C\frac{\alpha_1(p_1-p_0)+\alpha_2(p_2-p_0)}{1+\alpha_1+\alpha_2}=1{,}2\ \frac{\text{л}}{\text{с}}. \end{aligned}\qquad (7)

Температуру воды на выходе из смесителя найдем с помощью выражения, аналогичного (6)

T_4=\frac{q_1T_1+q_2T_2}{q_1+q_2}=45^\circ\text{C}.

Если в качестве предельного перехода в выражениях (7) положить $\alpha_1=\alpha_2=1{,}0$ , то, как и следовало ожидать, получится система решений (4).

Таким образом, с помощью кранов мы можем регулировать температуру воды от полностью холодной $(T_1=10^\circ\text{C},\ \alpha_1=1{,}0,\ \alpha_2=0{,}0)$ , до полностью горячей $(T_2=70^\circ\text{C},\ \alpha_1=0{,}0,\ \alpha_2=1{,}0)$ .

3.5 Интересно, что как следует из (7), при некоторых давлениях $p_1$ и $p_2$ в магистралях и коэффициентах $\alpha_1$ и $\alpha_2$ поток горячей воды может обратиться в нуль. При этом в кран горячей воды будет «закачиваться» холодная, поскольку давление там меньше. Так иногда принимая душ, можно почувствовать, что вода стала прохладнее после того, как в соседней кабинке кто-то откроет кран с горячей водой. Для вычисления $p_{\min}$ приравняем нулю выражение для $q_2$ из (7)

q_2=\alpha_2C\frac{p_2(1+\alpha_1)-\alpha_1p_1-p_0}{1+\alpha_1+\alpha_2}=0 \Rightarrow p_2(1+\alpha_1)-\alpha_1p_1-p_0=0.\qquad (8)

Из равенства (8) найдем величину $p_{\min}$ , при которой вода в кране станет полностью холодной даже при открытом кране с горячей водой

p_{2\min}=\frac{\alpha_1p_1+p_0}{1+\alpha_1}=1{,}5\ \text{атм}.\qquad (9)

Как следует из (9), эффект «обратной тяги» не зависит от коэффициента $\alpha_2$ открытия крана с горячей водой. Это вполне можно понять, поскольку независимо от размера отверстия, сплошная среда (жидкость или газ) всегда устремляется в область пониженного давления.

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf