Съдържание

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 10-1.1. 10 класс — Задача 1.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

Задача 1.1

Человек удерживает длинную гибкую цепь массой $m=5{,}0\ \text{кг}$ и длиной $L=5{,}0\ \text{м}$ , второй конец которой привязан к стене дома. Концы цепи находятся на одном уровне, расстояние между ними равно $l=0{,}90L$ . Оцените силу, которую человек должен прикладывать к цепи, чтобы удерживать ее в покое. Оцените также минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы полностью выпрямить цепь в горизонтальную прямую.

Человек удерживает цепь, привязанную к стене

Решение

Задача 10.1.1

Условие равновесия цепи в проекции на вертикальное направление имеет вид

2F\sin\alpha=mg,\qquad (1)

где $F$ — сила натяжения цепи в крайних точках и равная ей сила, с которой надо удерживать веревку. Для определения угла $\alpha$ между касательной к цепи и горизонтом необходимо знать форму, которую принимает цепь под действием силы тяжести. Решение этой проблемы известно, но достаточно сложно. В данном случае расстояние между концами цепи немного меньше ее длины. Поэтому цепь изогнута слабо, ее профиль можно аппроксимировать кривой второго порядка — проще всего дугой окружности.

Цепь как дуга окружности, касательные и центр O

В этом приближении найти угол $\alpha$ не составляет труда. Проведя перпендикуляры к касательным в крайних точках, определим центр окружности $O$ как точку их пересечения. Теперь длина участка цепи между нижней и крайней точками (она равна половине длины всей цепи $L/2$ ) выражается формулой

\frac L2=R\alpha,\qquad (2)

а длина половины хорды

\frac l2=R\sin\alpha\approx R\left(\alpha-\frac{\alpha^3}{6}\right),\qquad (3)

где использована приближенная формула для синуса малого угла.

Отметим, что в линейном приближении различие между длиной дуги и стягивающей ее хорды отсутствует, поэтому необходимо использовать приближение следующего порядка.

Из формул (3) — (2) получаем соотношение

\frac lL=1-\frac{\alpha^2}{6}.\qquad (4)

Обозначим $l=(1-\eta)L$ , где $\eta$ — малый безразмерный параметр, согласно условию задачи $\eta=0{,}10$ . С использованием этого удобного обозначения значения искомого угла определяется формулой

\alpha\approx\sqrt{6\eta}.\qquad (5)

Теперь из формулы (1) определяем значение силы

F=\frac{mg}{2\sin\alpha}\approx\frac{mg}{2\sqrt{6\eta}}\approx32\ \text{Н},\qquad (6)

что больше половины веса веревки.

Для того чтобы оценить работу по выпрямлению веревки можно проинтегрировать выражение для силы в зависимости от параметра $\eta$ (учитывая, что $x=(1-\eta)L$ , $dx=-L\,d\eta$ )

A=\int_l^L F\,dx=L\int_0^{\eta_0}F\,d\eta =\frac{mgL}{2\sqrt6}\int_0^{\eta_0}\frac{d\eta}{\sqrt\eta} =\frac{mgL\sqrt{\eta_0}}{\sqrt6}\approx30\ \text{Дж}.

Дополнения

Отметим, что для полного выпрямления веревки необходимо приложить бесконечно большую силу: из формулы (6) следует, что при $\eta\to0$ , $F\to\infty$ . Тем не менее, работа, совершенная при выпрямлении веревки, конечна.
Задача может быть решена и в более грубом приближении: если форму веревки считать в виде двух отрезков прямой линии.

В этом приближении зависимость угла наклона приложенной к веревке силы определяется из очевидного выражения $\cos\alpha=\frac lL=1-\eta$ .

Так как угол наклона мал, то допустимо использовать приближенную формулу $\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2}$ . Тогда искомый угол описывается формулой $\alpha\approx\sqrt{2\eta}$ , которая с точностью до постоянного коэффициента совпадает с использованной в решении формулой (5). Отличие между этими выражениями менее, чем в два раза, поэтому обе полученные оценки можно считать вполне приемлемыми.

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf