Съдържание

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 10-2. Прыгнем на Луну?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

Часто простейшие модели позволяют достаточно эффективно описывать сложные механические системы. Например, при прыжке человек приседает, слегка нагнувшись, затем толкается ногами, распрямляет корпус и, собственно, … взлетает! Попробуем описать этот процесс с помощью «гантельной» модели человека с нежесткой связью.

Представим человека в виде упрощенной механической модели, состоящей из двух одинаковых грузов некоторой массы, расстояние между которыми может регулироваться человеком сознательно по требуемому закону (Рис. 1). В рамках этой модели прыжок человека вверх описывается следующим образом: верхний груз опускают на расстояние $h=30\ \text{см}$ (человек приседает). Затем «включаются» «мышцы ног», развивающие постоянную вертикальную силу $F=\eta\cdot mg$ , где $\eta$ — некоторый постоянный безразмерный «коэффициент перегрузки», действующую между грузами. По достижении верхним грузом исходного положения работа мышц прекращается, и расстояние между грузами при дальнейшем движении остается неизменным. Для расчета примите, что $\eta=7{,}0$ .

Рис.1: гантельная модель человека и высота прыжка

2.1 Вычислите максимальную высоту $H_1$ , на которую поднимется нижний груз при подобном прыжке. Чему равно время $t_1$ отталкивания от плоскости? Вычислите КПД $K$ прыжка в рамках данной модели.

2.2 Предположим, что человек помещен на массивную горизонтальную платформу, совершающую гармонические колебания с амплитудой $A=20\ \text{см}$ и частотой $\nu=1{,}0\ \text{Гц}$ (Рис. 2). Человек может подпрыгнуть в произвольной точке траектории, причем можно считать, что параметры прыжка будут аналогичны параметрам в пункте 2.1 задачи. На какую максимальную высоту $H_2$ может подпрыгнуть человек с массивной платформы?

Рис.2: человек на колеблющейся массивной платформе

2.3 В рамках данной модели рассмотрим раскачивание человека на качелях длиной $L$ методом «сел-встал» (рис. 3). Суть метода проста: в одних нужных точках траектории нужно вставать, а в других — садится, причем в процессе движения человек от качелей не отрывается. Будем считать, что при вставании человека масса $m$ приближается к оси вращения на расстояние $h=0{,}10L$ $(h\ll L)$ , а при приседании она возвращается обратно. Предположим качели отклонили на угол $\alpha_0=10^\circ$ и отпустили. На какой максимальный угол $\alpha$ могут отклониться качели за один период колебаний?

Рис.3: качели и смещение верхней массы при вставании

2.4 При тренировке космонавты крутят «солнышко», делая полный оборот в вертикальной плоскости на качелях длиной $L$ . В нижней точке траектории угловая скорость вращения космонавта $\omega_0$ . Методом «сел-встал», описанным в предыдущем пункте задачи, космонавт может изменить угловую скорость $\omega$ вращения качелей за один оборот. Причем это нужно делать циклически, возвращаясь в исходное положение в нижней точке траектории. На какую величину $\Delta\omega$ космонавт может увеличить угловую скорость вращения в нижней точке траектории методом «сел-встал» за один оборот качелей? Время вставания и приседания считайте достаточно малым.

Примечание: при вращательном движении в отсутствие моментов внешних сил справедлив закон сохранения момента импульса: произведение импульса $\vec p$ материальной точки на расстояние до оси вращения $\vec r$ есть величина постоянная

m_1\upsilon_1r_1=m_2\upsilon_2r_2\Leftrightarrow m_1\omega_1r_1^2=m_2\omega_2r_2^2.

Решение

2.1 На верхний груз во время подскока действуют постоянные силы: сила тяжести $m\vec g$ и сила мышц $\vec F$ . Поэтому этот груз движется равноускоренно с ускорением равным

a=\frac{F-mg}{m}=(\eta-1)g.\qquad (1)

Его скорость в верхней точке $v_1$ легко находится из известной кинематической формулы $h=\frac{v_1^2}{2a}$ , она равна

v_1=\sqrt{2(\eta-1)gh}.\qquad (2)

После того как верхний груз достиг верхней точки, оба груза начинают двигаться вместе, причем скорость центра масс системы равна половине максимальной скорости верхнего груза

v_\text{С}=\frac12\sqrt{2(\eta-1)gh}\approx3{,}0\ \text{м/с}.\qquad (3)

Отметим, что в момент полного выпрямление часть механической энергии человека теряется — ситуация аналогична абсолютно неупругому удару.

Высота подъема определяется по формуле

H_1=\frac{v_\text{С}^2}{2g}=\frac{\eta-1}{4}h\approx0{,}45\ \text{м}.\qquad (4)

Время отталкивания можно рассчитать по формуле

t_1=\frac{v_1}{a}=\sqrt{\frac{2h}{(\eta-1)g}}\approx0{,}10\ \text{с}.\qquad (5)

Определение КПД прыжка следует дать самостоятельно. Наиболее разумного его определить как отношение потенциальной энергии человека в верхней точки траектории к работе, совершенной во время подпрыгивания

K=\frac{2mgH_1}{Fh}=\frac{\eta-1}{2\eta}\approx0{,}43.\qquad (6)

2.2 Учитывая, что время прыжка в десять раз превышает период колебаний, можно пренебречь изменением ускорения платформы за время отталкивания. Кроме того, в условии не задан момент начала прыжка, поэтому его надо выбрать из условия максимальности достигаемой высоты. Совместим начало отсчета вертикальной оси $OX$ со средним положением платформы, координату платформы (и нижнего груза) обозначим $x_1$ , а верхнего груза $x_2$ . Отсчет времени начнем в тот момент, когда платформа находится в крайнем нижнем положении.

Ось OX и координаты двух грузов на платформе

Пусть человек начал прыжок в момент времени $\tau$ , когда координата, скорость и ускорения платформы (а также обоих грузов) соответственно равны

\begin{aligned} x_{20}&=-A\cos\omega\tau,\\ v_0&=A\omega\sin\omega\tau,\\ a_0&=A\omega^2\cos\omega\tau. \end{aligned}\qquad (7)

Эти величины являются начальными для процесса отскока.

Процесс отталкивания проще всего описывать в системе отсчета, связанной с платформой (не смотря на то, что эта система отсчета не инерциальная⁵). Описание движения верхнего груза полностью аналогично п.2.1. Относительное ускорение верхнего тела равно

a'=\frac{F-m(g+a_0)}m=\left(\eta-1-\frac{a_0}g\right)g =(\eta-1)g\left(1-\frac{a_0}{g(\eta-1)}\right).\qquad (8)

Поэтому относительная скорость верхнего груза в момент максимального распрямления равна

v'_1=\sqrt{2a'h} =\sqrt{2(\eta-1)gh\left(1-\frac{a_0}{g(\eta-1)}\right)} =\sqrt{2(\eta-1)gh\left(1-\frac{A\omega^2\cos\omega\tau}{g(\eta-1)}\right)}.\qquad (9)

Численная оценка⁶ безразмерной величины $\frac{A_0\omega^2}{g(\eta-1)}\approx0{,}13$ , позволяет использовать приближенное значение этой скорости

v'_1=\sqrt{2(\eta-1)gh\left(1-\frac{A\omega^2\cos\omega\tau}{g(\eta-1)}\right)} \approx\sqrt{2(\eta-1)gh}\cdot\left(1-\frac{A\omega^2\cos\omega\tau}{2g(\eta-1)}\right).\qquad (10)

.Возвращаясь в систему отсчета, связанную с поверхности земли, запишем выражения для скоростей обоих грузов в момент максимального подъема верхнего:

\begin{aligned} v_1&=v_0+v'_1=A\omega\sin\omega\tau+\sqrt{2(\eta-1)gh}\cdot\left(1-\frac{A\omega^2\cos\omega\tau}{2g(\eta-1)}\right),\\ v_2&=v_0=A\omega\sin\omega\tau. \end{aligned}\qquad (11)

Скорость центра масс человека в момент отрыва равна

v_\text{С}=\frac{v_1+v_2}2=A\omega\sin\omega\tau+\frac12\sqrt{2(\eta-1)gh}\cdot\left(1-\frac{A\omega^2\cos\omega\tau}{2g(\eta-1)}\right).\qquad (12)

Для достижения максимальной высоты прыжка она должна быть максимальна. Максимум этой функции легко определяется (по аналогии с определением амплитуды колебаний) с помощью известных преобразований

\begin{aligned} v_\text{С}&=\frac12\sqrt{2(\eta-1)gh}+A\omega\sin\omega\tau-\frac12\sqrt{2(\eta-1)gh}\cdot\frac{A\omega^2\cos\omega\tau}{2g(\eta-1)}\\ &=\frac12\sqrt{2(\eta-1)gh}+\sqrt{(A\omega)^2+(A\omega)^2\frac{\omega^2h}{8g(\eta-1)}}\sin(\omega\tau-\varphi). \end{aligned}\qquad (13)

Максимальное значение этого выражения достигается, когда аргумент синуса равен $\pi/2$ , и оно равно

v_\text{С}=\frac12\sqrt{2(\eta-1)gh}+\sqrt{(A\omega)^2+(A\omega)^2\frac{\omega^2h}{8g(\eta-1)}} =\frac12\sqrt{2(\eta-1)gh}+A\omega\sqrt{1+\frac{\omega^2h}{8g(\eta-1)}}.\qquad (14)

Первое слагаемое в данном выражении есть скорость, развиваемая человеком при прыжке с твердой поверхности, второе слагаемое — добавка обусловленная движением платформы.

Теперь можно найти высоту прыжка по формуле $H_2=\frac{v_\text{С}^2}{2g}$ . Численные расчеты приводят к следующим результатам $v_\text{С}\approx4{,}91\ \text{м/с}$ , $H_2\approx1{,}2\ \text{м}$ , что почти в три раза превышает высоту прыжка с твердой поверхности.

Достаточно интересно проанализировать формулу (13). В ней $\operatorname{tg}\varphi=\sqrt{\frac{\omega^2h}{8g(\eta-1)}}\approx0{,}06$ . Из условия $\sin(\omega\tau-\varphi)=1$ находим, что фаза колебаний в момент прыжка должна быть равна $\omega\tau=\frac\pi2+\varphi$ . То есть — оптимальный момент прыжка после прохождения платформой своего среднего положения, что качественно объяснимо. Платформа «помогает» прыгуну по двум причинам: во-первых, она сама имеет некоторую скорость, во-вторых, при отрицательном ускорении прыгуну легче разогнать верхнюю часть своего тела, так как его вес уменьшается.

2.3 При решении задачи этого пункта следует воспользоваться законом сохранения момента импульса, если, по прежнему, считать время вставания малым. За малый промежуток времени действием момента силы тяжести можно пренебречь. Пусть за малый промежуток времени, когда качели находятся под углом $\alpha$ к вертикали, человек (в рамках рассматриваемой модели) поднял часть своего тела на расстояние $h$ . Используя закон сохранения момента импульса, найдем изменение его угловой скорости.

Качели до и после вставания; L, h, ω₀, ω

Если до начала вставания угловая скорость вращения качелей равнялась $\omega_0$ и оба груза находились в нижнем положении, то момент импульса был равен $2mL^2\omega_0$ . После вставания угловая скорость стала равной $\omega$ , тогда момент импульса выражается формулой $m\omega(L^2+(L-h)^2)$ . Приравнивая эти два выражения, получим уравнение

m\omega(L^2+(L-h)^2)=2mL^2\omega_0,\qquad (15)

из которого не трудно найти новое значение угловой скорости:

\omega=\frac{2L^2}{L^2+((L-h)^2)}\omega_0=\frac2{1+(1-(h/L))^2}\omega_0.\qquad (16)

Анализ формулы (15) показывает, что, во-первых, при вставании угловая скорость возрастает, а когда человек садится (в этом случае $h$ можно считать отрицательной), то угловая скорость падает, во-вторых, возрастание скорости пропорционально ее начальному значению. Отсюда следует вывод — для наиболее эффективного раскачивания необходимо вставать в нижней точке (когда угловая скорость максимальна), а садится в верхних (когда угловая скорость вообще равна нулю), причем за один период колебаний это можно сделать дважды.

К этому же выводу о методике раскачивания можно прийти и на основании рассмотрения преобразования энергии. Действительно, в нижней точке вес человека максимален, поэтому при вставании он должен совершить большую работу, тем самым, увеличивая энергию системы. Так как процесс раскачивания должен быть периодическим, человек где-то должен приседать, при этом энергия системы уменьшается, ее уменьшение будет тем меньше, чем меньше угловая скорость в момент приседания, поэтому эффективнее всего приседать в верхних точках траектории. Отметим также, что для корректного расчета изменения скорости движения необходимо учитывать, что в процессе вставания (и приседания) сила мышц не остается постоянной.

Итак, будем считать, что в верхней (начальной) точке угол отклонения равен $\alpha_0$ , тогда на основании закона сохранения энергии можно записать уравнение

2mgL(1-\cos\alpha_0)=\frac{2mL^2\omega_0^2}{2},\qquad (17)

где $\omega_0$ — угловая скорость в нижней точке, которая выражается из этого уравнения:

\omega_0^2=2\frac gL(1-\cos\alpha_0).\qquad (18)

Применим теперь аналогичные энергетические рассуждения для определения максимального угла отклонения после того, как человек встал в нижней точке:

\frac{m(L^2+(L-h)^2)\omega_1^2}{2}=m(L+L-h)g(1-\cos\alpha_1).

Из уравнений (19), (18) и (16), следует, что максимальный и начальный углы отклонения связаны соотношением

(1-\cos\alpha_1)=\beta(1-\cos\alpha_0),\qquad (19)

где обозначено $\beta=\frac4{1+(1-h/L)^2}\cdot\frac1{2-h/L}\approx1{,}16$ — постоянный для рассматриваемой системы коэффициент. Такое же соотношение связывает углы после первого и второго вставаний

(1-\cos\alpha_2)=\beta(1-\cos\alpha_1)=\beta^2(1-\cos\alpha_0).\qquad (20)

Расчеты приводят к следующим численным результатам: при $\alpha_0=10^\circ$ , $\alpha_1\approx10{,}8^\circ$ , $\alpha_2\approx11{,}6^\circ$ .

Интересно также подсчитать, сколько вставаний должен совершить человек, чтобы «крутануть солнышко». Для этого рекуррентную формулу (19) можно представить в явном виде

(1-\cos\alpha_k)=\beta^k(1-\cos\alpha_0)

из которого можно выразить число циклов $N$ до полного оборота (пока косинус не станет равным −1). Результат расчетов

N=\frac{\ln\frac2{1-\cos\alpha_0}}{\ln\beta}\approx30

(15 полных колебаний) — многовато, может и не хватить сил! Причем, основная часть этих усилий затрачивается на начальную раскачку, так для того, чтобы раскрутиться от $90^\circ$ до $180^\circ$ достаточно пяти вставаний!

2.4 При решении этого пункта следует воспользоваться основными результатами, полученными в предыдущем. Так, за время вставания в нижней точке угловая скорость вращения увеличится от $\omega_0$ до $\omega_1$ , определяемой формулой (16)

\omega_1=\frac2{1+(1-(h/L))^2}\omega_0.\qquad (21)

Как мы выяснили, приседать надо в том месте, где угловая скорость минимальна, в данном случае — в верхней точке окружности (будем считать, что качели с человеком ее достигают). На основании закона сохранения энергия для движения от нижней до верхней точек запишем

\frac{mL^2+m(L-h)^2}{2}\omega_1^2 =\frac{mL^2+m(L-h)^2}{2}\omega_2^2+2mg(L+L-h).\qquad (22)

Из этого уравнения выразим угловую скорость $\omega_2$ в верхней точке окружности

\omega_2^2=\omega_1^2-4\frac gL\frac{2-h/L}{1+(1-h/L)^2}.\qquad (23)

Еще раз применим формулу (16) для расчета угловой скорости $\omega_3$ после «приседания вверх» в верхней точке, заменив в ней $h$ на $(-h)$

\omega_3=\frac2{1+(1-(h/L))^2}\omega_2.\qquad (24)

Наконец еще раз применим уравнения закона сохранения энергия для движения от верхней точки до нижней

\frac{2mL^2}{2}\omega_4^2=\frac{2mL^2}{2}\omega_3^2+2mg\cdot2L.\qquad (25)

из которого получим формулу, аналогичную (23):

\omega_4^2=\omega_3^2+4\frac gL.\qquad (26)

Последовательные подстановки и численные расчеты приводят к следующим результатам:

\begin{aligned} \omega_1&\approx1{,}05\omega_0;\quad\omega_2^2=1{,}10\omega_0^2-4{,}20\frac gL;\\ \omega_3^2&=1{,}22\omega_2^2=1{,}34\omega_0^2-5{,}12\frac gL;\\ \omega_4^2&=1{,}34\omega_0^2-1{,}12\frac gL. \end{aligned}\qquad (27)

Учитывая, что второе слагаемое меньше первого (так минимальная скорость, необходимая для того, чтобы сделать один полный оборот должна удовлетворять условию $\omega_0^2>4\frac gL$ ), можно приближенно записать (а можно и не записывать) $\omega_4\approx1{,}16\omega_0$ . Иными словами, за один оборот угловая скорость может быть увеличена на 15% — пока хватит сил, чтобы вставать и приседать.

Строго говоря, не лишним было бы привести и оценку силы, которую должны развивать мышцы ног в этом гимнастическом упражнении. Но, наш гимнаст силен! — он может развивать силу в три с половиной раза превышающую его вес, поэтому будьте уверены, что этой силы хватит!

⁵ Не намного сложнее и решение в обычной инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью земли.

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf