Съдържание

Условие Часть 1. Ионные радиусы Часть 2. Растворимость Решение

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 10-3. Ионный кристалл

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

Многие свойства кристаллов могут быть объяснены на основе законов классической физики. В данном задании вам необходимо оценить некоторые характеристики ионного кристалла, в качестве которого рассматривается кристалл поваренной соли $\mathrm{NaCl}$ .

Кристаллическая решетка поваренной соли является простой кубической, то есть ионы разных знаков (положительные $\mathrm{Na}^+$ (относительная атомная масса $Ar_\mathrm{Na}=23$ ) и отрицательные $\mathrm{Cl}^-$ $(Ar_\mathrm{Cl}=35)$ ) расположены в узлах кубической решетки. Радиусы этих ионов приблизительно равны.

В данном задании эти ионы следует рассматривать как жесткие равномерно заряженные непроводящие сферы одинаковых радиусов. При расстояниях между ионами большими или равными диаметру иона взаимодействие между ними является чисто электростатическим.

Часть 1. Ионные радиусы

Плотность поваренной соли равна $\rho=2{,}16\cdot10^3\ \text{кг/м}^3$ . Определите средний ионный радиус рассматриваемых элементов.

Часть 2. Растворимость

2.1 Рассчитайте энергию взаимодействия одного иона кристалла со всеми остальными.

2.2 Кристаллы поваренной соли могут растворяться в различных жидкостях, полностью распадаясь на отдельные ионы. Оцените, какова должна быть минимальная диэлектрическая проницаемость жидкости $\varepsilon_{\min}$ , чтобы соль могла растворяться в ней.

2.3 Диэлектрическая проницаемость воды равна $\varepsilon=81$ . Рассчитайте удельную теплоту растворения (количество теплоты, выделяющейся при растворении единицы массы) поваренной соли в воде.

Заряд электрона $e=1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Кл}$ , постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}$ .

Диэлектрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф/м}$ .

При решении задачи Вам может пригодиться следующая сумма:

C_1=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\sum_{\substack{m=-\infty\\k^2+l^2+m^2\ne0}}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+l+m}}{[k^2+l^2+m^2]^{1/2}}\approx-1{,}75.

Если же Вы столкнетесь с ещё какой-либо трудно вычисляемой суммой, обозначьте ее буквой, которая Вам нравится.

Решение

Часть 1. Ионные радиусы

Рассмотрим кристалл поваренной соли объемом $V$ . Его масса равна

m=\rho V.\qquad (1)

С другой стороны масса кристалла равна

m=Nm_\mathrm{Na}+Nm_\mathrm{Cl}=N(M_\mathrm{Na}+M_\mathrm{Cl})/N_A,\qquad (2)

где $N$ — число атомов одного и другого сорта в кристалле, $M_\mathrm{Na}=23{,}0\cdot10^{-3}\ \text{кг/моль}$ и $M_\mathrm{Cl}=35{,}5\cdot10^{-3}\ \text{кг/моль}$ — молярные массы натрия и хлора соответственно.

Ионные радиусы r и расстояние d в плоскости решетки

Расстояние между ионами равно их диаметру $d$ . Радиус иона $r$ . На каждый атом приходится объем

v=d^3=(2r)^3.\qquad (3)

Всего в объеме $V$ находится

N=\frac12\frac Vv=\frac12\frac V{d^3}\qquad (4)

атомов одного сорта.

Из формул (1), (2), (4) определяем

\rho V=\frac12\frac V{d^3}\frac{M_\mathrm{Na}+M_\mathrm{Cl}}{N_A}, \qquad\rho=\frac1{2d^3}\frac{M_\mathrm{Na}+M_\mathrm{Cl}}{N_A},

d=\sqrt[3]{\frac{M_\mathrm{Na}+M_\mathrm{Cl}}{2\rho N_A}},\qquad (5)

r=\frac12\sqrt[3]{\frac{M_\mathrm{Na}+M_\mathrm{Cl}}{2\rho N_A}},\qquad (6)

d\approx2{,}82\cdot10^{-10}\ \text{м},\qquad r\approx1{,}41\cdot10^{-10}\ \text{м}.

Часть 2. Растворимость

2.1 Для расчета энергии взаимодействия иона со всеми остальными выберем систему координат с началом отсчета в центре некоторого иона (для определенности, пусть это будет ион $\mathrm{Na}^+$ ), а оси системы координат направим вдоль ребер кубической решетки

Ион в начале координат и R_klm к иону (x_k,y_l,z_m)

(кружками на рисунке обозначены центры ионов).

Координаты некоторого иона $x_k=kd$ , $y_l=ld$ , $z_m=md$ , где $k,l,m$ — целые числа, порядковые номера иона по осям $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ соответственно. Расстояние от начала отсчета до иона $(k,l,m)$ равно

R_{klm}=d\sqrt{k^2+l^2+m^2}.\qquad (7)

Заряд иона натрия в начале координат равен $+e$ (абсолютная величина заряда электрона), его ближайшие соседи с номерами $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ , $(-1,0,0)$ , $(0,-1,0)$ , $(0,0,-1)$ — ионы хлора с зарядом $-e$ . Далее, ионы с номерами $(-2,0,0)$ , $(-1,-1,0)$ , $(1,1,0)$ , $(2,0,0)$ — ионы натрия с зарядом $+e$ , и т. д. Нетрудно заметить, что ионы, сумма индексов которых нечетное число — это ионы хлора с зарядом $-e$ , а ионы, сумма индексов которых четное число — это ионы хлора с зарядом $+e$ . Удобно это записать так: заряд иона $(k,l,m)$

q_{klm}=(-1)^{k+l+m}e.\qquad (8)

Энергия электростатического взаимодействия двух зарядов $q_1$ и $q_2$ , расстояние между которыми $R$ равна

W=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{R}.\qquad (9)

При этом на каждый заряд приходится половина энергии, т.е.

W^*=\frac1{8\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{R}.\qquad (10)

Чтобы найти энергию электростатического взаимодействия, приходящуюся на один ион, надо просуммировать величины

W^*_{klm}=\frac1{8\pi\varepsilon_0}\frac{q_{000}q_{klm}}{R_{klm}}\qquad (11)

для всех ионов кристалла (кроме иона $(0,0,0)$ ), т.е. найти такую сумму

W_\text{вз}=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0d}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\sum_{\substack{m=-\infty\\k^2+l^2+m^2\ne0}}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+l+m}}{[k^2+l^2+m^2]^{1/2}} =C_1\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0d},\qquad (12)

где $C_1\approx-1{,}75$ численное значение тройной суммы. Численное значение искомой энергии равно

W_\text{вз}\approx-7{,}14\cdot10^{-19}\ \text{Дж}=-4{,}46\ \text{эВ}.

2.2 В этом пункте задачи мы считаем растворяемый кристалл состоящим из ионов — жестких непроводящих сфер, а растворитель — сплошной диэлектрической жидкой средой, характеризующейся относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ , хотя на самом деле растворитель тоже состоит их отдельных молекул.

Для того, что бы ионный кристалл растворился в жидкости, энергия взаимодействия ионов с растворителем должна быть меньше энергии взаимодействия отдельного иона со всеми остальными в кристалле. Будем считать, что концентрация ионов в растворе мала, так что их электростатическим взаимодействием друг с другом можно пренебречь.

Подчеркнем, что рассчитанная в предыдущем разделе энергия взаимодействия является частью полной энергии электростатического поля. Последняя может быть представлена в идее суммы собственных энергий отдельных ионов (энергия поля, создаваемого уединенным ионом в вакууме)

W_0=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0d}\qquad (13)

и рассчитанной энергии взаимодействия (12). Полная энергия электростатического поля иона в растворе находится по формуле

W_\text{ж}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0d}.\qquad (14)

Она также равна сумме собственной энергии иона (13) и энергии взаимодействия иона с молекулами растворителя.

Следовательно, для оценки минимальной диэлектрической проницаемости, необходимой для растворения соли можно найти из соотношения

C_1\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0d}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_{\min}\varepsilon_0d}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0d},\qquad (15)

из которого следует

\varepsilon_{\min}=\frac1{1+C_1/2},\qquad (13)

или $\varepsilon_{\min}\approx8{,}0$ .

2.3 Относительная диэлектрическая проницаемость воды $\varepsilon>\varepsilon_{\min}$ , значит, соль в ней будет растворяться. Поскольку энергия иона в воде будет меньше, чем энергия в кристалле, избыток энергии выделится в виде теплоты. При растворении одного иона выделяется теплота $Q_0$ . Её мы определим из закона сохранения энергии

W_\text{кр}+W_\text{вз}=W_\text{ж}+Q_0,\qquad (14)

Q_0=W_\text{кр}+W_\text{вз}-W_\text{ж} =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0d}+C_1\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0d}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0d} =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0d}\left(1+\frac{C_1}2-\frac1\varepsilon\right).\qquad (15)

Численное значение этой величины равно $Q_0=9{,}20\cdot10^{-20}\ \text{Дж}$ . В 1кг поваренной соли содержится

N_1=\frac{1{,}00\ \text{кг}}{(23{,}0+35{,}5)\cdot10^{-3}\ \text{кг/моль}}\cdot6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}=1{,}03\cdot10^{25}

ионов, поэтому удельная теплота растворения

H=N_1Q_0\qquad (16)

численно $H=9{,}48\cdot10^5\ \text{Дж/кг}=948\ \text{кДж/кг}$ .

Дополнение

Позволим себе более подробное объяснение расчета энергии взаимодействия иона с растворителем.

Собственная электростатическая энергия иона в вакууме — это энергия электрического поля. Интеграл от плотности энергии поля по всему пространству дает

W_0=\int\frac{\varepsilon_0\vec E^{\,2}}2\,dV=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0r},\tag{\text{д}1}

что и есть собственная энергия равномерно заряженной сферы.

Интеграл от плотности электрической энергии по всему пространству для двух ионов в вакууме

\begin{aligned} W_0&=\int\frac{\varepsilon_0\vec E^{\,2}}2\,dV =\int\frac{\varepsilon_0(\vec E_1+\vec E_2)^2}2\,dV\\ &=\int\frac{\varepsilon_0\vec E_1^{\,2}}2\,dV+\int\frac{\varepsilon_0\vec E_2^{\,2}}2\,dV+\int\varepsilon_0\vec E_1\cdot\vec E_2\,dV\\ &=\frac{q_1^2}{8\pi\varepsilon_0r}+\frac{q_2^2}{8\pi\varepsilon_0r}+\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{R} =W_1+W_2+W_{12} \end{aligned}\tag{\text{д}2}

представляет собой сумму собственных энергий каждого из ионов и энергии их взаимодействия. Первые два слагаемых в этой сумме являются постоянными величинами, не зависящими от расстояния между ионами. Поэтому при расчете изменения энергии при изменении расстояния достаточно учитывать только последнее слагаемое.

Аналогично, энергия иона в кристалле будет складываться из его собственной электростатической энергии и энергии взаимодействия со всеми остальными, приходящейся на один ион

W_\text{кр}=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}+C_1\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0d}.\tag{\text{д}3}

Таким образом, полученная формула (12) описывает не полную энергию поля, только ее изменяющуюся часть (энергию взаимодействия).

При расчете изменения энергии при переходе иона в раствор также необходимо учитывать только эту изменяющуюся часть энергии — именно эта часть энергии равна разности между (14) и (13). Выражение для полной энергии поля (14), создаваемого ионом (и поляризационными зарядами!) вычисляется как интеграл по всему пространству от плотности энергии

W_0=\int\frac{\varepsilon\varepsilon_0\vec E^{\,2}}2\,dV=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon\varepsilon_0r}\tag{\text{д}4}

в $\varepsilon$ раз меньше, чем для иона в вакууме из-за поляризации диэлектрика. Также следует отметить, что мы пренебрегли энергией взаимодействия ионов между собой в растворе, полагая расстояние между ними значительно большим размеров иона.

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf