BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 11-2. Масс-спектрометры

Часть 1. Постоянное поле

Предлагаем рассмотреть простейший динамический масс-спектрометр, схема которого изображена на рисунке.

Однозарядные ионы вылетают из источника ионов И с пренебрежимо малой скоростью, затем попадают в область ускоряющего электрического поля 1, ширина которой равна $S$. В этой области электрическое поле создается постоянным напряжением $U$, приложенным к пластине П1, расположенной непосредственно у источника, и сетке С1. Ускорившиеся ионы, свободно пролетают через сетку, и, пройдя эквипотенциальный промежуток длиной $L$, попадают на коллектор (устройство, собирающее ионы), подключенный к прибору, регистрирующему силу ионного тока в зависимости от времени. Источник и регистрирующее устройство включают в момент времени $t=0$. Источник является импульсным, то есть ионы испускаются в течение малого промежутка времени $\tau$, плотность потока ионов в этом временном промежутке можно считать постоянной.

1.1 Пусть источник испускает одинаковые ионы массой $m$. Постройте график зависимости регистрируемого ионного тока от времени.

1.2 Пусть источник испускает ионы двух типов, массы которых отличаются незначительно и равны $m$ и $m+\delta m$, причем $\delta m\ll m$. Присутствие ионов двух типов проявляется в виде двух импульсов на графике $I(t)$. Ионы различных типов называются разрешёнными, если соответствующие им импульсы ионного тока не перекрываются во времени. Покажите, что минимальная разность масс ионов, которые разрешаются рассматриваемым прибором, удовлетворяет условию $\delta m=\alpha\sqrt m$.

1.3 Получите формулу, связывающую коэффициент $\alpha$ с параметрами прибора. Рассчитайте численное значение этого коэффициента при $\tau=1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{с}$, $S=0{,}30\ \text{м}$, $L=2{,}0\ \text{м}$, $U=200\ \text{В}$ и для массы ионов, измеряемой в а.е.м. (атомных единицах массы).

1.4 Сможет ли масс-спектрометр с такими параметрами разрешить ионы $\vphantom{}^{54}\mathrm{Fe}^+$ и $\vphantom{}^{56}\mathrm{Fe}^+$?

Заряд электрона $e=1.6\cdot10^{-19}\ \text{Кл}$, постоянная Авогадро $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}$.

Часть 2. Высокочастотное поле

Рассмотренный выше масс-спектрометр обладает рядом недостатков: во-первых, достаточно большие размеры, во-вторых, высокие требования к источнику ионов. Существуют более компактные масс-спектрометры, не требующие импульсных источников ионов.

Рассмотрим, так называемый, радиочастотный масс-спектрометр, схематически изображённый на рисунке.

Источник однозарядных ионов работает непрерывно и скорость ионов на его выходе практически равна нулю. Поток ионов проходит через ряд сеток, между которыми создаются электрические поля различных типов. После их прохождения ионы собираются коллектором К, соединенным с измерителем ионного тока. К сеткам, ограничивающим промежуток 1, прикладывается постоянная разность потенциалов $U_0=1{,}0\ \text{кВ}$, создающая поле, ускоряющее ионы. Это же напряжение прикладывается к сеткам, ограничивающим промежуток 3, в котором оно создает постоянное тормозящее электрическое поле. В промежутке 2, ширина которого $h$, создается высокочастотное электрическое поле. К границам этого промежутка прикладывается переменное напряжение, циклическая частота которого $\omega$ может изменяться в пределах $(5\div15)\cdot10^6\ \text{с}^{-1}$. Амплитудное значение этого напряжения равно $U_1=1{,}0\ \text{В}$. Наконец, к промежутку 4 прикладывается регулируемая задерживающая разность потенциалов $U_3$, величина которой близка к амплитудному значению напряжения высокочастотного поля.

Прибор регистрирует значение ионного тока, усредненное по промежутку времени, значительно превышающему период изменения высокочастотного поля.

Ионы, ускорившиеся в промежутке 1, попадают в область высокочастотного поля в различные моменты времени. Изменение энергии ионов в области высокочастотного поля зависит от типа ионов и момента попадания в рассматриваемую область. При некоторых условиях приращение энергии этих ионов может быть достаточным для того, чтобы преодолеть области задерживающих полей 3 и 4. Эти ионы попадут на коллектор и создадут регистрируемый ионный ток. Зависимость среднего ионного тока от частоты переменного поля в промежутке 2 может иметь ряд достаточно резких максимумов, положение которых зависит от масс исследуемых ионов. Тем самым существует возможность различать ионы различных типов. В данной части вам предлагается проанализировать работу этого прибора.

2.1 Определите скорость $v_0$ иона массы $m$ после прохождения ускоряющего напряжения в промежутке 1 и максимальное ускорение $a_0$ этого иона в промежутке 2. Найдите численное значение $v_0$ для иона $\vphantom{}^{56}\mathrm{Fe}^+$.

2.2 Оцените по порядку величины ширину промежутка 2, при которой указанный ион, влетев в промежуток в удачный момент времени, максимально увеличит свою энергию в высокочастотном поле при его частоте $\omega=10\cdot10^6\ \text{с}^{-1}$.

Совместим начало отсчета оси координат $Ox$ с началом области высокочастотного поля.

2.3 Пусть ион массы $m$, прошедший ускоряющий промежуток 1, попадает на левую сетку промежутка 2 в момент времени $\tau$, при котором разность потенциалов в промежутке 2 $U=U_1\sin\omega\tau$. Найдите зависимость ускорения, скорости и координаты иона от времени $a(t)$, $v(t)$, $x(t)$, где $t$ отсчитывается от момента попадания иона в промежуток 2.

2.4 Из-за малости $U_1$, изменение скорости иона в промежутке 2 незначительно, поэтому, при расчете времени пролета этого промежутка, изменением скорости иона можно пренебречь.

Определите время $t_1$ пролёта этого промежутка для иона массы $m$, используя это приближение. Оцените относительную погрешность полученного выражения.

2.5 При заданной ширине промежутка высокочастотного поля $h$, изменение энергии $\Delta E$ ионов массы $m$, при его пролёте, зависит от частоты переменного поля $\omega$ и момента времени прихода $\tau$. Установите зависимость изменения энергии иона в этой области от указанных величин $\Delta E(\omega,\tau)$.

Воспользуйтесь формулой:

2.6 Так как источник ионов работает непрерывно, то ионы попадают в область высокочастотного поля в произвольные моменты времени $\tau$. Некоторые из них, попадающие в эту область в оптимальные моменты времени (которые, возможно зависят от частоты поля), приобретают максимальную энергию (при заданном значении частоты поля $\omega$) $\Delta E_{\max}(\omega)$. Для анализа зависимости изменения энергии от параметров установки и типа ионов удобно представить зависимость $\Delta E_{\max}$ от безразмерного параметра $\varphi=\omega\frac h{v_0}$ — изменение фазы высокочастотного поля за время пролета иона. Постройте примерный график зависимости $\Delta E_{\max}$ от указанного параметра.

Полученная вами функция, скорее всего, имеет множество экстремумов в зависимости от $\varphi$, многие из которых пригодны для анализа состава потока ионов. Если частота переменного поля такова, что ионы определенной массы $m$, приобретают дополнительную энергию большую, чем ионы других близких масс, то, изменяя задерживающее напряжение, существует возможность выделить из всего потока ионов только ионы данной массы $m$. В этом случае только эти ионы будут создавать ионный ток. Ионы другой массы будут достигать коллектора при другой частоте переменного поля. Таким образом, в зависимости ионного тока от частоты поля будут наблюдаться максимумы, каждый из которых соответствует ионам определенной массы.

2.7 Укажите на графике значение параметра $\varphi_0$, вблизи которого рассматриваемый прибор способен анализировать состав ионного потока наиболее эффективно.

Пусть источник испускает одинаковые ионы массы $m$. Ширина промежутка $h$.

2.8 Определите частоту поля $\omega_0$, при которой приращение энергии этих ионов будет максимально в указанной оптимальной области работы прибора. Найдите это максимальное приращение энергии $\Delta E_{\max}$ и значение времени прихода ионов $\tau_0$, при котором оно реализуется.

2.9 Пусть частота поля равна найденной частоте $\omega_0$. Чему должно быть равно максимальное значение запирающего напряжения $U_{30}$, при котором ионный ток становится равным нулю. Представьте это значение в виде $U_{\text{З}0}=\alpha U_1$, рассчитайте численное значение коэффициента $\alpha$ с точностью до трех значащих цифр.

2.10 Для регистрации тока запирающее напряжение нужно немного уменьшить. Пусть $U_\text{З}=U_{\text{З}0}(1-\eta)$, где $\eta\ll1$. Найдите зависимость ионного тока от величины $\eta$. Сила тока, создаваемая рассматриваемыми ионами массы $m$, на выходе источника равна $I_0$.

2.11 При заданной величине $\eta$ можно регистрировать ток даже в том случае, если частота $\omega$ отличается от $\omega_0$ на некоторую малую величину $\Delta\omega$. Найдите максимальное значение этой величины.

2.12 Пусть источник испускает ионы двух близких масс $m$ и $m+\delta m$. При заданном $\eta$ определите при каком минимальном отношении $\frac{\delta m}{m}$ эти ионы ещё могут быть разрешены.