Съдържание

Условие Часть 1. Поглощение и испускание Часть 2. Резонатор Часть 3. Лазер Решение

BelPhO 2006, Заключителен етап — Задача 11-3. Гиперболоид инженера Гарина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2006

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2006 — заключительный этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Complete63native pages, fifteen whole tasks grades9/10/11, full archive keys and supplements. Native formulas, numerical powers, signs, equation/figure references and source inconsistencies preserved with attributed notes; footnote6 body absent. Archive authority, no independently verified organizer provenance.

Условие

В данной задаче рассматривается достаточно простая модель, демонстрирующая принципы работы оптического квантового генератора.

Согласно квантовой теории атомы и молекулы могут находиться в дискретном наборе состояний, энергии которых имеют строго определенные значения. Невозбужденные молекулы находятся в основном состоянии с минимально возможным значением энергии. При поглощении кванта света, энергия которого равна разности энергий возбужденного и основного состояний, молекула переходит в возбужденное состояние. Поглощательная способность молекулы характеризуется так называемым сечением поглощения $\sigma$ .

Часть 1. Поглощение и испускание

1.1 Пусть световой поток малой плотности $I_0$ (число фотонов пересекающих площадку единичной площади в единицу времени) падает на тонкий слой вещества толщиной $\Delta x$ , концентрация поглощающих молекул в котором равна $\gamma$ , причем среднее расстояние между молекулами значительно превышает их размеры. Определите плотность светового потока $I$ на выходе из этого слоя. Относительное изменение плотности потока $p=I/I_0$ при прохождении поглощающего слоя назовем коэффициентом пропускания.

Поглощающие молекулы можно представить в виде шариков с площадью поперечного сечения равной сечению поглощения $\sigma$ .

1.2 Теперь будем считать, что толщина слоя очень велика. Оцените среднюю длину пробега фотонов в этом веществе.

1.3 Если молекула находится в возбужденном состоянии, то она самопроизвольно переходит в основное состояние с испусканием кванта света. Этот процесс является случайным, подобным радиоактивному распаду. Если число возбужденных молекул равно $N_0$ , то за малый промежуток времени $\Delta t$ в основное состояние перейдут $\Delta N=AN_0\Delta t$ молекул, где $A$ — постоянный коэффициент, называемый коэффициентом Эйнштейна для спонтанного испускания. Оцените среднее время жизни молекулы в возбужденном состоянии.

1.4 Если молекула находится в возбужденном состоянии, то при ее взаимодействии с квантом света, энергия которого равна разности энергий возбужденного и основного состояний, молекула может испустить квант света, аналогичный исходному. Этот процесс называется вынужденным испусканием. Для такого процесса также определяется сечение вынужденного испускания $\sigma_1$ . При переходах молекулы между одной и той же парой энергетических уровней сечения поглощения (переход «вверх») и сечение вынужденного испускания (переход «вниз») равны. Определите зависимость пропускания слоя, описанного в пункте 1.1, от плотности падающего потока.

Часть 2. Резонатор

2.1 Оптический резонатор образован двумя плоскими зеркалами, направленными друг на друга и расположенными на расстоянии $L$ друг от друга. Одно зеркало является идеальным, то есть его коэффициент отражения равен 1. Коэффициент отражения второго зеркала незначительно меньше единицы и равен $\rho$ , поэтому часть излучения выходит из резонатора. Поглощением излучения внутри резонатора и в зеркалах можно пренебречь. Пусть поток фотонов распространяется внутри резонатора параллельно его оси. Оцените время жизни фотона в резонаторе.

Часть 3. Лазер

Резонатор, описанный выше, полностью заполнен веществом — раствором, содержащим активные молекулы, концентрация которых равна $\gamma$ . Раствор непрерывно освещается сбоку световым потоком плотности $I_0$ (плотность накачки). Частота этого излучения такова, что под его действием молекулы вещества переходят из основного (0) в возбужденное состояние (1). Сечение поглощения молекул при этом переходе равно $\sigma_0$ . Далее молекулы практически мгновенно переходят в промежуточное состояние (2). Коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода из этого состояния во все нижележащие равен $A$ . При определенных условия возможна генерация излучения, благодаря вынужденным переходам молекул из состояния (2) в промежуточное состояние (3). Сечение испускания этого перехода равно $\sigma_1$ . Из промежуточного состояния (3) молекула практически мгновенно переходит в основное состояние (0). Генерируемый поток распространяется вдоль оси резонатора. Так как переходы с поглощение и испусканием происходят между различными парами уровней, то излучение накачки не поглощается и не вызывает вынужденного испускания в канале (3)-(2), а излучение генерации не поглощается и не вызывает вынужденного испускания в канале (0)-(1). Концентрация активных молекул достаточно мала, так что длины пробегов фотонов заметно превышают размеры резонатора.

Накачка резонатора и четыре энергетических уровня

3.1 Определите минимальную плотность потока накачки (пороговое значение), при которой возможна генерация излучения.

3.2 Найдите зависимость интенсивности генерированного излучения лазера после выхода из резонатора, постройте схематический график этой зависимости.

Решение

1.1 Понятно, что отношение числа поглощенных к числу падающих фотонов будет равно отношению суммарной площади сечения всех молекул в слое к площади поперечного сечения падающего потока, поэтому

\frac{\Delta I}{I_0}=\frac{I_0-I}{I_0}=\frac{\sigma\gamma\Delta xS}{S}=\sigma\gamma\Delta x.\qquad (1)

Отсюда следует, что интенсивность потока на выходе

I=I_0(1-\sigma\gamma\Delta x).\qquad (2)

1.2 Среднюю длину пробега фотонов можно оценить, разделив начальную плотность потока на «скорость» его изменения в начале слоя

\langle l\rangle=\frac{I_0}{(\Delta I/\Delta x)_{x=0}}=\frac1{\gamma\sigma}.\qquad (3)

1.3 Оценка среднего времени жизни молекулы в возбужденном состоянии проводится аналогично

\langle\tau\rangle=\frac{N_0}{(\Delta N/\Delta t)_{t=0}}=\frac1A.\qquad (4)

1.4 Если плотность падающего потока велика, то под его действием заметная часть молекул перейдут в возбужденное состояние и не будут участвовать в поглощение света (этот эффект называется насыщением поглощения). Обозначим число молекул (в некотором объеме) в возбужденном состоянии $N_1$ , а в основном $N_0$ . Их сумма остается постоянной и равной общему числу молекул в рассматриваемом объеме $N=N_0+N_1$ . Для определения числа молекул в возбужденном состоянии (в стационарном режиме) следует воспользоваться уравнением баланса: например, для возбужденных молекул — число молекул, переходящих в единицу времени из основного состояния в возбужденное под действием падающего потока равно числу молекул возвращающихся вследствие спонтанного и вынужденного испускания. Для составления подобных уравнений необходимо получить выражение для числа переходов из одного состояние в другое за некоторый малый промежуток времени.

Мысленно выделим тонкий слой, перпендикулярный направлению падающего потока, толщиной $\Delta x$ и площадью $S$ . Пусть в этом слое содержится $N_0$ молекул, находящихся в основном состоянии. За малый промежуток времени $\Delta t$ на слой попадает $n=I_0S\Delta t$ фотонов. Из них поглотится

\Delta n=n\frac{N_0\sigma}{S}=I_0S\Delta t\frac{N_0\sigma}{S}=I_0N_0\sigma\Delta t.\qquad (5)

Тонкий слой площади S и поглощающие молекулы

Столько же молекул переходят в возбужденное состояние.

Аналогичные рассуждения применимы и для процессов вынужденного испускания. На основании полученного соотношения можно теперь записать необходимое уравнение баланса числа частиц в возбужденном состоянии

N_0I_0\sigma\Delta t=N_1I_0\sigma\Delta t+AN_1\Delta t.\qquad (6)

Учитывая, что $N_0=N-N_1$ , из уравнения (6) определим число частиц в возбужденном

N_1=N\frac{I_0\sigma}{2I_0\sigma+A},\qquad (7)

и основном состояниях

N_0=N-N_0=N\frac{I_0\sigma+A}{2I_0\sigma+A}.\qquad (8)

Возможные переходы между состояниями и их скорости (число переходов в единицу времени) показаны на диаграмме, иллюстрирующей уравнение баланса (6)).

Поглощение, спонтанное и вынужденное испускание между двумя уровнями

Отметим, что при неограниченном возрастании плотности падающего потока числа частиц в основном и возбужденном состоянии выравниваются, то есть стремятся к $N/2$ .

Соотношения, аналогичные (7) (8) можно записать и для концентрации частиц в основном $\gamma_0$ и возбужденном $\gamma_1$ состояниях

\gamma_0=\gamma\frac{I_0\sigma+A}{2I_0\sigma+A}, \qquad\gamma_1=\gamma\frac{I_0\sigma}{2I_0\sigma+A}.\qquad (9)

Для расчета пропускания необходимо учесть, что фотоны, испущенные вынужденно, неотличимы от фотонов падающего потока. Поэтому число фотонов на выходе из рассматриваемого слоя равно числу падающих фотонов минус число поглощенных фотонов плюс число фотонов, испущенных вынужденно, поэтому

I=I_0-I_0\gamma_0\sigma+I_0\gamma_1\sigma.

Окончательно, коэффициент пропускания равен

\begin{aligned} p&=1-\gamma_0\sigma\Delta x+\gamma_1\sigma\Delta x\\ &=1-\sigma\left(\gamma\frac{I_0\sigma+A}{2I_0\sigma+A}-\frac{I_0\sigma}{2I_0\sigma+A}\right)\Delta x =1-\sigma\gamma\frac A{2I_0\sigma+A}\Delta x. \end{aligned}\qquad (10)

Часть 2. Резонатор

2.1 Пусть от правого зеркала начинает распространяться поток фотонов плотности $I_0$ . Через время, равное времени пролета фотона через резонатор (в двух направлениях) $\tau=\frac{2L}{c}$ , где $c$ — скорость света, эти фотоны попадут на частично проницаемое зеркало и часть из них, которая определяется пропусканием зеркала, покинут резонатор. Таким образом, уменьшение плотности потока фотонов в резонаторе за этот промежуток времени составит $\Delta I=I_0(1-\rho)$ .

Среднее время исчезновения фотонов определяется по уже использованной методике

\langle t\rangle=\frac{I_0}{(\Delta I/\Delta t)_0}=\frac{I_0\tau}{(\Delta I)_0} =\frac{\tau}{1-\rho}=\frac{2L}{c(1-\rho)}.\qquad (11)

Часть 3. Лазер

Излучение накачки приводит к тому, что часть молекул оказывается в промежуточном состоянии 2. Так как в состоянии 3 молекул практически нет, то излучение, энергия фотонов которого равна разности энергий уровней 2 и 3, при прохождении через активную среду может усиливаться. Действительно, это излучение будет приводить к вынужденному испусканию фотонов, а их поглощение будет отсутствовать, так как в нижнем состоянии 3 молекул нет. (Говорят, что для перехода 2-3 осуществляется инверсная заселенность).

Четыре уровня: накачка 0→1 и генерация 2→3

Очевидно, что усиление будет наиболее существенно для фотонов распространяющихся вдоль оси резонатора в обоих направлениях, поэтому именно для этого потока выполняются условия генерации. Допустим, что это излучение присутствует в резонаторе, обозначим плотность его потока в одном направлении $I_\text{Г}$ . Строго говоря, плотности потоков различны для различных направлений распространения. Однако, из-за малой концентрации активных частиц при расчете числа возбужденных молекул этим различием можно пренебречь. Это различие существенно при записи условий стационарности генерации, что будет учтено нами позднее.

Под действием излучения накачки часть молекул переходит в возбужденное состояние 1, а затем быстро «сваливается» в промежуточное состояние 2. покинуть это состояние молекулы могут двумя способами: посредством спонтанного перехода в низлежащие состояния или посредством вынужденного испускания стимулированного излучением генерации. Если молекула оказывается в состоянии 3, то она также практически мгновенно оказывается в основном состоянии 0. Из-за быстрых переходов $1\to2$ и $3\to0$ при расчете концентраций молекул мы можем пренебречь числом молекул в промежуточных состояниях 1 и 3. Уравнение баланса числа частиц (или их концентрации) в состоянии 2 будет иметь вид

I_0(\gamma-\gamma_2)\sigma_0\Delta t=A\gamma_2\Delta t+2I_\text{Г}\sigma_1\gamma_2\Delta t,\qquad (12)

где $\gamma-\gamma_2=\gamma_0$ — концентрация частиц в основном состоянии. В последнем слагаемом учтено наличие потов генерации в двух направлениях. Перепишем это уравнение в виде

I_0\gamma\sigma_0=\gamma_2(I_0\sigma_0+A\Delta t+2I_\text{Г}\sigma_1).\qquad (13)

Получим теперь условия стационарности потока генерации. Для этого обозначим плотность потока генерации «стартующего» от правого (частично прозрачного зеркала) $I_{\text{Г}0}$ . Дважды пройдя через резонатор, это излучение усилится, и его плотность потока станет равной

I_{\text{Г}1}=I_{\text{Г}0}(1+2\gamma_2\sigma_1L).\qquad (14)

Отразившись от зеркала, эта плотность потока уменьшится и в стационарном режиме станет равной исходной плотности $I_{\text{Г}0}$ . Следовательно, искомое условие стационарности примет вид

I_{\text{Г}1}\rho=I_{\text{Г}0}(1+2\gamma_2\sigma_1L)\rho=I_{\text{Г}0}.\qquad (15)

Малое отличие коэффициента отражения от единицы и малость концентрации числа активных молекул оправдывают приближение постоянства плотности потока генерации при его распространении в обоих направления.

Из уравнения (15) следует, что концентрация числа молекул в состоянии 2 равна

\gamma_2=\frac{1-\rho}{\rho}\cdot\frac1{2\sigma_1L}.\qquad (16)

Подставляя это значение в уравнение (13) получим выражение

I_0\gamma\sigma_0=\frac{1-\rho}{\rho}\cdot\frac1{2\sigma_1L}(I_0\sigma_0+A\Delta t+2I_\text{Г}\sigma_1),\qquad (17)

из которого определим плотность потока генерации внутри резонатора:

I_\text{Г}=\frac1{2\sigma_1}\left(I_0\sigma_0\left(\frac{2\sigma_1L\rho}{1-\rho}\gamma-1\right)-A\right).\qquad (18)

Для того, чтобы процесс генерации реализовывался, это выражение должно быть больше нуля, откуда определяем пороговое значение интенсивности накачки

I_\text{Г}=\frac1{2\sigma_1}\left(I_0\sigma_0\left(\frac{2\sigma_1L\rho}{1-\rho}\gamma-1\right)-A\right)\ge0 \Rightarrow I_{0\text{Пор}}=\frac A{\sigma_0\left(\frac{2\sigma_1L\rho}{1-\rho}\gamma-1\right)}.\qquad (19)

Формула (18) определяет плотность потока генерации внутри резонатора, чтобы получить ее значение на выходе из резонатора ее следует умножить на коэффициент пропускания зеркала $(1-\rho)$ . Кроме того, для удобства построения графика ее можно представить в виде

I_{\text{Гвых}}=(1-\rho)\frac A{2\sigma_1}\left(\frac{I_0}{I_{0\text{пор}}}-1\right).\qquad (20)

Схематический график этой функции показан на рисунке.

Порог накачки и линейный рост выходного потока

Титульные листы и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. К.С. Фарино. «___» марта 2006 г.

Республиканская физическая олимпиада 2006 год. г. Гродно. Теоретический тур. 9 класс / 10 класс / 11 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2006 года

приветствуют вас в городе Гродно;
поздравляют с успешным выступлением на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Source scope and attribution

Fifteen whole tasks in distinct grades9/10/11; all native requests, complete available archive keys, extensions and original graphs preserved. Covers Q1/Q5/Q9 approval, instructions, emblem and repeated Alice/birds illustration retained in original PDFs. Authenticated event folder lists exactly this matching pair; no separate theory schemes, grading, response sheets or clarifications. Footnote6 marker K21 has no body in this complete source. Archive event authority; independently verified organizer-hosted provenance not established.

Original-reader source caveat

p1 K3 numerical lmin denominator prints1−0.2 although eta=0.8 and the preceding analytical expression uses1−eta; printed8.5cm is retained. K candle equation numbering skips5. Wire uses S both for section and surface; literal source notation retained.

Original-reader source caveat

p2 K6 negative-side equation1* prints x(t1)=−c(t0−t1). K7/K8 text prints tau=t1=t0 despite distinct signal times in the general model. K11 tau_min=−c²/(2a)+c/a=−c/(2a) has a dimension and arithmetic discrepancy; second factored image expression2.9 is also dimensionally inconsistent. Figure1.9/1.11/1.12 references and all superluminal multiple-image branches are literal native content.

Original-reader source caveat

p3 question hot inlet pressure p2 is labelled pB although B is the shared outlet junction and later source equations use hot inlet C. All rounding and backflow conditions retained.

Original-reader source caveat

p4 printed pulley key figure has an intrinsic caption/layout overlap at its lower border. Native circuit self-similarity transforms, alternate chain model and all root choices retained without drawing repair.

Original-reader source caveat

p5 K20 says push-off lasts more than an oscillation period by a factor10 although source t1≈0.1s and period1s; x20 instead of prior x1 is literal. Footnote marker6 at K21 has no footnote6 text anywhere in the complete packet. K24 h→−h instruction coexists with unchanged1+(1−h/L)² denominator; displayed numerical recurrence differs from Q h/L=0.10. Key gives final angular speed rather than a separate explicit Deltaomega result; no additional result invented.

Original-reader source caveat

p6 Q atomic chlorine mass35 differs from K35.5. K26 chloride/positive-charge wording conflicts with the alternating charge model. K27 repeated equation tags13/14/15 retained; ion-count label uses a formula-unit mass58.5. Supplement self-energy q²/(8piepsilon0r) corresponds to a charged shell although source calls uniformly charged sphere. Native model and dissolution estimate retained.

Original-reader source caveat

p7 Q magnetic constant prints mu0=1.26 H/m without10^-6. K30 density-ratio numerical line drops the different10^-8/10^-7 factors yet reports2cm. K29 repeats equation4; K32 references figure6 while displayed coordinates figure is4; K34 polarization text saysfigure2 besidefigure1, and K35 cites expressions2/6. All literal source cross-references and complete Lorentz-Lorenz supplement retained.

Original-reader source caveat

p8 K39 and K41 print omega0≈3pi h/v0, opposite dimensional quotient to phi=omega h/v0; K41 therefore prints omega0 proportional sqrt(m). K39 tau0≈2pi n lacks a frequency divisor. K40 cosine addition expression41 has a minus where the subsequent exact-phase form has plus. All stated approximations, exact-extremum derivation and four original3D graph views retained literally.

Original-reader source caveat

p9 K45 equation8 prints N0=N−N0 rather than N−N1; intermediate outgoing-intensity expression lacks Deltax that reappears in transmittance10. K46/47 equations13/17 retain A Deltat after other time factors are cancelled, whereas18 onward uses A. All threshold/output expressions and diagrams are native and no source solution silently corrected.

Additional literal source caveats

K39 equation35 actually prints DeltaEmax=eU1(2/3)pi, with pi outside the fraction; this differs from the later alpha0.217. K40 exact-phase expansion prints cos(omega Deltatau0). K22 phase estimate tg(phi)≈0.06 is preserved. These are literal printed source expressions, not silent repairs.

Native warmup assignment heading — 9 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Native warmup assignment heading — 10 класс

Задание 10. 1. «Разминка»

Native warmup assignment heading — 11 класс

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

Оригинал в Архива: 2006problems.pdf · решение от архива: 2006solutions.pdf