BelPhO 2007, Областен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. 9 класс · Задание 1 · Очень малые сопротивления

9 класс. Задание 1. «Очень малые сопротивления»

Данное задание требует особой тщательности измерений, особенно важно следить за наличием контакта между проволокой реохорда и проводом, соединяющим его с измерительным прибором. Для проведения измерений в качестве «щупа» можно использовать небольшой кусочек жесткой проволочки — нами использовалась медная проволочка от канцелярской скрепки. Обращаем внимание на необходимость использования двух одинаковых соединительных проводков (лучше чтобы они были стальными — у них сопротивление немного больше, чем у медных) при подключении амперметра в Части 3.

Во всех измерениях, связанных с изменением длины части реохорда, удобно перемещать контакт до тех пор, пока стрелка прибора не совпадет с одним из делений шкалы — в этом случае следует определять положение контакта $x$. Таким образом достигается большая точность измерений (нет необходимости «высматривать доли делений шкалы амперметра и вольтметра).

Часть 1.

При указном соединении сила тока в цепи практически не зависит от величины $x$, что свидетельствует о крайней малости сопротивления проволоки реохорда по сравнению с сопротивлением вольтметра. Об этом же свидетельствуют и малые величины измеряемых напряжений. Поэтому измерения следует проводить при больших токах. Так как напряжения малы, то при токах порядка 1А удается получить значения всего в двух-трех точках.

Результаты измерений приведены в Таблице 1 и на графике 1.

График, построенный по трем точкам линеен, поэтому и вторая зависимость также построена как линейная. Важно отметить, что при $x\to0$ эти прямые не проходят через нуль, что является следствием заметного сопротивления контакта $R_\text{конт.}$ между концом проволоки реохорда и соединительным проводом. Важно отметить, что при $x\to0$ прямые приходят практически в одну точку.
Легко показать, что данная зависимость определяется законом Ома для участка цепи

Для определения искомого сопротивления единицы длины проволоки реохорда следует воспользоваться выражением

Расчет по этой формуле приводит к следующим результатам (коэффициенты наклона $\frac{\Delta U}{\Delta x}$ можно снять с графиков, можно воспользоваться таблицей):
Для тока $I=1,3A$:

Для тока $I=1,1A$:

Таким образом, сопротивление единицы длины проволоки реохорда равно

Часть 2.

Для установки требуемого значения сопротивления реостата следует использовать очевидную схему. Двигая движок реостата следует добиться того, чтобы отношение $\frac UI$ стало равным требуемому значению 1,3 Ом.

Часть 3. Амперметр и соединительные провода.

Для описания исследуемой зависимости построим эквивалентную схему, в которой явно укажем сопротивления исследуемых соединительных проводов.

Понятно, что общий ток в цепи $I_0=\frac U{R_0}$ делится между амперметром и параллельной ветвью в отношении обратном к их сопротивлениям. Поэтому

Для экспериментальной проверки этой формулы ее удобно линеаризовать, к виду

Заметим, что эту пропорцию можно записать сразу — как отношение токов.
Формула (4) допускает прямую экспериментальную проверку.

При проведении измерений по указанной схеме оказалось, что напряжение на реостате изменяется незначительно (в пределах от 1,55 В до 1,75 В), провести точные измерения весьма затруднительно, поэтому можно приближенно считать, что эта зависимость линейна. Такое слабое изменение напряжение свидетельствует, что сумма сопротивлений реостата и источника заметно больше сопротивления проволоки реохорда.
Результаты измерений приведены в таблице 2 и на графике 2. . В последнее графе приведены рассчитанные значения отношений токов (взятые при среднем значении напряжения $\widetilde U=1,65$В).

Таблица 2.

Хорошо видно, что зависимость не линейна и не проходит через начало координат. Последнее свидетельствует, что сопротивление соединительного провода сравнимо с сопротивлением вольтметра.
На графике 3 приведена «линеаризованная» зависимость отношения токов от длины участка проволоки.

Видно, что данная зависимость близка к линейной (хотя отклонения от линейности хорошо заметны). Тем не менее, можно считать, что полученная формула (4) справедлива.

Чтобы доказать, что нелинейность связана с незначительным изменением суммарной силы тока в цепи, на рис. 4 построена аналогичная зависимость, рассчитанная по тем же экспериментальным данным, но с учетом незначительного изменения напряжения на реостате (для него использовалась линейная аппроксимация).

Запишем зависимость (4) в виде $Y=ax+b$, где $a=\frac r{R_\text{сп}+R_A}$, $b=\frac{R_\text{сп}}{R_\text{сп}+R_A}$ — параметры линейной зависимости. Из графика (или по МНК) можно найти численные значения этих параметров: $a\approx9,8\cdot10^{-3}\text{ мм}^{-1}$, $b\approx0,27$. Из выражений для этих коэффициентов находим, что