Съдържание

BelPhO 2007, Областен етап, 9–11 клас — Задача 1. 9-1. Рабочая разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит восемь целых задач для 9–11 классов (3+3+2). Включены все условия, таблицы, подсказки, примечания и полные решения с альтернативными способами. 45 напечатанных конечных меток (6+3+4+5+7+7+10+3); каталог указывает51 и может иначе считать составные запросы. Исходные данные и формулы сохранены.

9-1. Рабочая разминка. Примечание к источнику: в подсказке сумма квадратов содержит n+2 вместо 2n+1; эта формула и ее применения сохранены. Ключ печатает 24,2 кДж для пирамиды, 100 кДж для насоса и 820 кДж для песка, хотя они не согласуются с исходными расчетами/данными. Номер (17) отсутствует. Метки 2.1/2.2 решения насоса сохранены при 1.2.1/1.2.2 условия.

9-2. Водная феерия. Примечание к источнику: в последней дроби формулы (3) для первой фазы ключа напечатано 6300+2,1m, тогда как предшествующий знаменатель равен 2,1(300+m); оба исходных выражения сохранены.

9-3. Опыт Араго. Примечание к источнику: ответ на вопрос 4 разбит в ключе на пункты 4 и 5; все исходные объяснения сохранены в одной задаче.

10-1. Просто разминка. Примечание к источнику: в формуле (9) напечатано t₂=φR/v₁, а следующая формула использует v₂. Итог φ₁₃=π/5≈72° противоречит равенству π/5=36° и предыдущему φ=2π/5; исходные формулы, число и рисунок сохранены.

10-2. Вес и сжатие. Примечание к источнику: вводный текст использует ΔV/V₀, а формула ΔV/V. Ссылки ключа на номера (2), (4), (8) сохранены как напечатано; первая дробь формулы (6) давления не содержит g, хотя следующий член его содержит.

10-3. Осторожней на поворотах. Примечание к источнику: в формуле (6) ключа обе стороны напечатаны с φП и передними нагрузками, тогда как предшествующая формула содержит задние индексы. Формулы и исходные индексы сохранены.

11-1. Взрывная эмиссия. Примечание к источнику: NА в условии напечатано 6,023 моль⁻¹ без множителя 10²³, а численный ответ ключа равен 6,62·10²⁸ м⁻³. В 3.1 ключа C=(T₁−T₂)/l при неопределенном T₂; следующая формула использует T₁−T₀. В 4.3 сохранены исходные несогласованные названия случаев и пустая ссылка «условие ()». В 4.4 интеграл использует j(T), несмотря на предыдущее различие jвнутри=2jповерхн; исходное время 2,6 мкс сохранено.

11-2. Динамик. Примечание к источнику: знаки силы и двигательной ЭДС в ключе приводят к β−g²/R; исходные знаки, все коэффициенты и численные ответы сохранены. На с.29 знак сравнения после R=4,0 Ом отображается пустым прямоугольником; это явно обозначено, отсутствующий символ не восстановлен предположением. Формула мгновенной электрической мощности содержит cosφ, как напечатано.

9 класс

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2006 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 9 класс.

10 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 10 класс.

11 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 11 класс.

Условие

В этой задаче считайте ускорение свободного падения равным $g=10{,}0\,\text{м/с}^2$ .

1.1 В связи с дорожными работами потребовалось разобрать брусчатую мостовую. Для хранения было решено складывать плитки в одну кучу. Масса одной плитки $m=10\,\text{кг}$ , размеры (длина — $a$ , ширина — $b$ , высота — $c$ ) $a\times b\times c=20\,\text{см}\times20\,\text{см}\times5{,}0\,\text{см}$ .

Все плитки мостовой и полного штабеля, стрелка укладки.

1.1.1 Какую наименьшую работу необходимо совершить, чтобы сложить из плиток прямоугольный параллелепипед размерами $A\times B\times C=2{,}0\,\text{м}\times2{,}0\,\text{м}\times1{,}0\,\text{м}$ ?

1.1.2 Какую наименьшую работу необходимо совершить, чтобы сложить плитки в ящик таких же размеров?

1.1.3 Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы плитки из мостовой (массу и характерные размеры смотрите в пункте 1) сложить в пирамиду высотой $H=0{,}5\,\text{м}$ и квадратным основанием с длиной стороны $L=2{,}0\,\text{м}$ ?

1.2.1 1.2 Для того, чтобы заполнить водой из озера небольшой бассейн (или большой аквариум) размерами $A\times B\times C=2{,}0\,\text{м}\times2{,}0\,\text{м}\times1{,}0\,\text{м}$ используют электронасос, который создает давление $5{,}0\,\text{кПа}$ . Какую работу по заполнению водой бассейна совершит насос, если шланг подсоединить к отверстию вблизи дна?

1.2.2 Если шланг перекинуть через бортик?

Плотность воды равна $\rho=1000\,\text{кг/м}^3$ .

Оба варианта насоса/шланга/бассейна: A,B,C, вода, направление и номера1/2.

1.3 Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы смести в центр песок, равномерно рассыпанный по круглой асфальтовой площадке радиусом $R=100\,\text{м}$ в кучу в форме пирамиды высотой $H=0{,}50\,\text{м}$ и стороной основания $L=2{,}0\,\text{м}$ ? Коэффициент трения песка об асфальт и песка о песок равен $\mu=0{,}15$ , плотность песка $\rho=2{,}4\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ .

Примечание. Возможно, Вам понадобится следующая информация:

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2;\qquad1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(n+2)}6;\qquad1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2.

Объем пирамиды и конуса равен $V=\frac13SH$ , ( $S$ — площадь основания, $H$ — высота). Центр масс однородной пирамиды находится на высоте $h_c=H/4$ от основания.

Решение

Для того, чтобы упростить работу со схемой оценивания, в решении числами в круглых скобках пронумерованы не только формулы, но и численные ответы и идеи (которые, кроме того, подчеркнуты).

Решение. 1.1.1 На длине параллелепипеда, в который складывают плитки, уложится $N_A=A/a=10$ плиток, на ширине $N_B=B/b=10$ плиток и на высоте $N_C=C/c=20$ плиток. Плитки будут лежать в $N_C$ слоев по $N_AN_B$ плиток в каждом.

Работа против силы тяжести при подъеме груза массой $m$ на высоту $h$ равна

A_0^*=mgh.\qquad (1)

Для того, чтобы положить плитку в первый слой, необходимо вынуть ее из мостовой и поднять на высоту $c$ , совершив работу $mgc$ . Чтобы положить плитку во второй слой, ее надо поднять на высоту $2c$ , т.е. совершить работу $2mgc$ . Аналогично, для того, чтобы положить плитку в слой номер $n$ , надо совершить работу $nmgc$ .

Работа, совершаемая при укладке: первого слоя $A_1^*=mgcN_AN_B$ , второго слоя $A_2^*=2mgcN_AN_B$ , …, $n$ -ого слоя $A_n^*=nmgcN_AN_B$ , … . Полная работа по укладке кирпичей $A^*=A_1^*+A_2^*+\cdots+A_{N_C}^*=\sum_{n=1}^{N_C}A_n^*$ .

A^*=mgcN_AN_B(1+2+\cdots+N_C)=mgcN_AN_B\frac{N_C(N_C+1)}2=\frac{mgc}2\frac Aa\frac Bb\frac Cc\left(\frac Cc+1\right).\qquad (2)

Подстановка численных значений приводит к результату

A=mg\frac{ABC(C+c)}{2abc}=10\cdot10\frac{2{,}0\cdot2{,}0\cdot1{,}0\cdot1{,}05}{2\cdot0{,}20\cdot0{,}20\cdot0{,}05}=105\,\text{кДж}.\qquad (3)

1.1.1 (альтернативный вариант). Минимальная работа равна изменению потенциальной энергии системы. Легко заметить, что параллелепипед состоит из целых плиток. Его полная масса равна $M=m\frac{ABC}{abc}$ . В ходе «строительства» штабеля центр масс системы поднимается на высоту $\Delta h=\frac C2+\frac c2$ , поэтому изменение потенциальной энергии (то есть совершенная работа) равно $A=Mg\Delta h=mg\frac{ABC(C+c)}{2abc}$ .

1.1.2. Для того чтобы положить любую плитку в ящик, надо поднять ее над бортиком (4), поэтому каждую плитку надо поднять на высоту $C+c$ (вниз их опустит сила тяжести) и совершить работу $mg(C+c)$ . Всего плиток $N_AN_BN_C$ , поэтому полная работа будет равна

A^*=N_AN_BN_Cmg(C+c)=mg(C+c)\frac{ABC}{abc}.\qquad (5)

A^*=210000\,\text{Дж}=210\,\text{кДж}.\qquad (6)

Подъем плитки над бортиком: полная геометрия C/c и все плитки.

1.1.3. Каждый слой пирамиды будет квадратным, поскольку на высоте пирамиды уложится $N_H=H/c=10$ плиток и на обеих сторонах основания уложится $L/a=L/b=10$ плиток. На длине основания 1-го слоя уместится 10 плиток. На длине основания 2-го слоя уместится 9 плиток. На длине основания $n$ -ого слоя уместится $11-n$ плиток. В $n$ -ом слое будет $(11-n)^2$ плиток (7), причем каждую из них необходимо поднять на высоту $nc$ , тогда работа на укладку плиток $n$ -ого слоя будет равна

A_n^*=mgcn(11-n)^2.\qquad (8)

Полная работа, которую надо затратить на укладку пирамиды, равна

A^*=\sum_{n=1}^{N_H}A_n^*=\sum_{n=1}^{N_H}mgcn(11-n)^2=mgc\sum_{n=1}^{N_H}(n^3-22n^2+121n)=mgc\left(\sum_{n=1}^{N_H}n^3-22\sum_{n=1}^{N_H}n^2+121\sum_{n=1}^{N_H}n\right).

Необходимые суммы приведены в условии задачи, поэтому

\begin{aligned}A^*&=mgc\left(\frac{N_H^2(N_H+1)^2}4-22\frac{N_H(N_H+1)(N_H+2)}6+121\frac{N_H(N_H+1)}2\right)\\&=mgc\frac{N_H(N_H+1)}2\left[\frac{N_H(N_H+1)}2-\frac{22}3(N_H+2)+121\right]\\&=mgc\frac{(H/c)(H/c+1)}2\left[\frac{(H/c)(H/c+1)}2-\frac{22}3(H/c+2)+121\right].\end{aligned}\qquad (9)

A^*=24200\,\text{Дж}=24{,}2\,\text{кДж}.\qquad (10)

2.1. Насос может создавать давление $P=5\cdot10^3\,\text{Па}$ . Это означает, что он сможет поднять воду на высоту не большую, чем

h_{\max}=\frac P{\rho g}.\qquad (11)

Поднять на большую высоту не позволит гидростатическое давление. В случае 2.1.1 насос сможет наполнить бассейн до уровня $h_{\max}$ , при этом объем закачанной воды будет равен

V=ABh_{\max}=AB\frac P{\rho g}.\qquad (12)

Полный элемент шланга, p/S/Delta-x и направление силы.

Для того чтобы найти работу, совершенную насосом, рассмотрим небольшой промежуток времени, за который насос по шлангу закачал малый объем воды $\Delta V=S\Delta x$ , где $S$ — площадь поперечного сечения шланга. На воду при этом действует со стороны насоса сила $F=pS$ , а ее работа при этом равна $\Delta A^*=F\Delta x=pS\Delta x=p\Delta V$ . Полная работа, которую совершит насос,

A^*=P\sum\Delta V=PV=PAB\frac P{\rho g}=\frac{ABP^2}{\rho g}.\qquad (13)

A^*=100000\,\text{Дж}=100\,\text{кДж}.\qquad (14)

Стоит отметить, что работа, совершенная насосом в 2 раза больше изменения потенциальной энергии воды

\Delta W=Mg\frac{h_{\max}}2=ABh_{\max}\rho g\frac{h_{\max}}2=\frac{AB\rho gP^2}{2\rho^2g^2}=\frac{ABP^2}{2\rho g}.

Дело в том, что на воду в шланге действует не только сила со стороны насоса, но и сила гидростатического давления со стороны воды, уже закачанной в бассейн. Равнодействующая этих сил не равна нулю (становится равной нулю только, когда высота воды в бассейне достигнет $h_{\max}$ ), поэтому вода в шланге движется с ускорением и работа насоса идет на увеличение потенциальной и кинетической энергии воды. (15) Вода в бассейне будет двигаться, но, в конце концов, успокоится благодаря силам вязкого трения.

2.2. В случае 2) закачка воды просто не начнется. По шлангу, переброшенному через борт бассейна, надо поднять воду как минимум на высоту $C=1\,\text{м}$ , а насос может поднять воду не выше, чем на $h_{\max}=0{,}5\,\text{м}$ . (12) Соответственно, никакой работы насос совершить не сможет, поэтому

A^*=0\,\text{Дж}.\qquad (16)

1.3 Чтобы смести песок в пирамиду, необходимо совершить не только работу против силы тяжести $A_{\text{т}}^*$ , но ещё и работу $A_{\text{тр}}^*$ против силы трения, действующей на песчинки при сметании. Работа против силы тяжести, идущая на увеличение потенциальной энергии песчинок, равна

A_{\text{т}}^*=Mgh_c,\qquad (18)

где $M$ — масса пирамиды, $h_c$ — высота центра масс пирамиды от основания.

A_{\text{т}}^*=\rho Vgh_c=\rho\frac13SHg\frac H4=\frac{\rho gL^2H^2}{12}.\qquad (19)

Заметим, что работа силы трения при движении по наклонной плоскости полностью определяется горизонтальным смещением. Действительно, пусть тело находится на наклонной плоскости. Тогда сила трения, действующая на него равна $F=\mu mg\cos\alpha$ . Тогда при смещении тела на расстояние $\Delta L$ вдоль наклонной плоскости будет совершена работа

A=F\Delta L=\mu mg\Delta L\cos\alpha=\mu mg\Delta x\qquad (20)

и не зависит от угла наклона. Обобщая данный результат, следует заключить, что при движении по поверхности любого профиля работа силы трения (или равная ей работа внешней силы по преодолению трения) полностью определяется горизонтальным смещением по формуле (20), если, конечно, не учитывать ускорения, могущие возникать при движении тела.

Полная наклонная плоскость с грузом, Delta-L/Delta-x/alpha.

Найдем работу, совершаемую против силы трения при сметании песка. Очевидно, что для сметания песчинок, находящихся на разном расстоянии от центра круга, необходимо совершить разную работу. Разобьем круг на большое количество $N_R$ колец толщиной $h=R/N_R$ . (21) Кольцо номер $k$ , считая от центра, будет иметь радиус $r_k=kh$ и площадь $S_k=2\pi r_kh=2\pi h^2k$ . Масса всего песка внутри круга равна массе песка в пирамиде $M=\rho V=\rho SH/3=\rho L^2H/3$ , причем этот песок находится в круге площадью $S=\pi R^2$ . В кольце номер $k$ находится песок массой

m_k=M\frac{S_k}S=\frac{\rho L^2H}3\frac{2\pi h^2k}{\pi R^2}=\frac{2\rho L^2Hh^2}{3R^2}k.\qquad (22)

Все концентрические кольца и отмеченные k/h со стрелками.

При сметании песка из кольца $k$ на него действует сила трения $F_k=\mu gm_k$ , а минимальная работа против нее (если сметать по радиусу) работа равна

A_k^*=\mu gm_kr_k=\mu g\frac{2\rho L^2Hh^2}{3R^2}khk=\frac{2\mu g\rho L^2Hh^3}{3R^2}k^2.\qquad (23)

Отметим, что радиус площадки значительно превышает длину основания кучи, поэтому можно считать, что все песчинки сметаются в центр круга. Полная работа по преодолению сил трения при сметании песка к центру равна

A_{\text{тр}}^*=\sum_{k=1}^{N_R}A_k^*=\sum_{k=1}^{N_R}\frac{2\mu g\rho L^2Hh^3}{3R^2}k^2=\frac{2\mu g\rho L^2Hh^3}{3R^2}\sum_{k=1}^{N_R}k^2=\frac{2\mu g\rho L^2Hh^3}{3R^2}\frac{N_R(N_R+1)(N_R+2)}6.\qquad (24)

Так как мы разбили круг на очень большое количество колец $N_R\gg1$ , то единицей и двойкой по сравнению с $N_R$ можно пренебречь. Кроме того, надо вспомнить, что $h=R/N_R$ , тогда

A_{\text{тр}}^*=\frac{2\mu g\rho L^2H(h^3N_R^3)}{3R^2\cdot6}=\frac{2\mu g\rho L^2HR^3}{18R^2}=\frac{\mu g\rho L^2HR}9.\qquad (25)

Полная работа по сметанию песка в пирамиду равна

A^*=\frac{\rho gL^2H^2}{12}+\frac{\mu g\rho L^2HR}9=\frac{\rho gL^2H}3\left(\frac H4+\frac{\mu R}3\right).

A^*=820000\,\text{Дж}=820\,\text{кДж}.\qquad (26)

Обложка решений

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2007_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2007_theoretical_solutions.pdf