Съдържание

BelPhO 2007, Областен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9-2. Водная феерия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит восемь целых задач для 9–11 классов (3+3+2). Включены все условия, таблицы, подсказки, примечания и полные решения с альтернативными способами. 45 напечатанных конечных меток (6+3+4+5+7+7+10+3); каталог указывает51 и может иначе считать составные запросы. Исходные данные и формулы сохранены.

9-1. Рабочая разминка. Примечание к источнику: в подсказке сумма квадратов содержит n+2 вместо 2n+1; эта формула и ее применения сохранены. Ключ печатает 24,2 кДж для пирамиды, 100 кДж для насоса и 820 кДж для песка, хотя они не согласуются с исходными расчетами/данными. Номер (17) отсутствует. Метки 2.1/2.2 решения насоса сохранены при 1.2.1/1.2.2 условия.

9-2. Водная феерия. Примечание к источнику: в последней дроби формулы (3) для первой фазы ключа напечатано 6300+2,1m, тогда как предшествующий знаменатель равен 2,1(300+m); оба исходных выражения сохранены.

9-3. Опыт Араго. Примечание к источнику: ответ на вопрос 4 разбит в ключе на пункты 4 и 5; все исходные объяснения сохранены в одной задаче.

10-1. Просто разминка. Примечание к источнику: в формуле (9) напечатано t₂=φR/v₁, а следующая формула использует v₂. Итог φ₁₃=π/5≈72° противоречит равенству π/5=36° и предыдущему φ=2π/5; исходные формулы, число и рисунок сохранены.

10-2. Вес и сжатие. Примечание к источнику: вводный текст использует ΔV/V₀, а формула ΔV/V. Ссылки ключа на номера (2), (4), (8) сохранены как напечатано; первая дробь формулы (6) давления не содержит g, хотя следующий член его содержит.

10-3. Осторожней на поворотах. Примечание к источнику: в формуле (6) ключа обе стороны напечатаны с φП и передними нагрузками, тогда как предшествующая формула содержит задние индексы. Формулы и исходные индексы сохранены.

11-1. Взрывная эмиссия. Примечание к источнику: NА в условии напечатано 6,023 моль⁻¹ без множителя 10²³, а численный ответ ключа равен 6,62·10²⁸ м⁻³. В 3.1 ключа C=(T₁−T₂)/l при неопределенном T₂; следующая формула использует T₁−T₀. В 4.3 сохранены исходные несогласованные названия случаев и пустая ссылка «условие ()». В 4.4 интеграл использует j(T), несмотря на предыдущее различие jвнутри=2jповерхн; исходное время 2,6 мкс сохранено.

11-2. Динамик. Примечание к источнику: знаки силы и двигательной ЭДС в ключе приводят к β−g²/R; исходные знаки, все коэффициенты и численные ответы сохранены. На с.29 знак сравнения после R=4,0 Ом отображается пустым прямоугольником; это явно обозначено, отсутствующий символ не восстановлен предположением. Формула мгновенной электрической мощности содержит cosφ, как напечатано.

9 класс

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2006 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 9 класс.

10 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 10 класс.

11 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 11 класс.

Условие

Во всех пунктах данной задачи теплоемкостью сосуда пренебречь. Удельная теплоемкость воды $c_1=4{,}2\,\text{кДж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}$ , удельная теплоемкость льда $c_0=2{,}1\,\text{кДж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}$ , удельная теплота плавления льда $\lambda=330\,\text{кДж/кг}$ , удельная теплота парообразования воды $L=2{,}2\,\text{МДж/кг}$ . Давление газов в сосуде считать равным нормальному атмосферному давлению.

2.1 В сосуде под крышкой находится перегретая вода, находящаяся при температуре $t_0=120{}^\circ\text{C}$ . Какая доля (массовая) воды выкипит, если открыть крышку?

2.2 В теплоизолированном сосуде находится переохлажденная вода при температуре $t_0=-5{}^\circ\text{C}$ . Какая доля (массовая) воды замерзнет, если в сосуд бросить несколько маленьких кусочков льда?

2.3 В теплоизолированном сосуде находится $m_0=300\,\text{г}$ льда, находящегося при температуре $t_0=-10{}^\circ\text{C}$ . В сосуд впускают водяной пар, находящийся при температуре $t_1=100{}^\circ\text{C}$ . Постройте примерный график зависимости температуры, установившейся в сосуде после достижения теплового равновесия, от массы впущенного пара (для массы, изменяющейся от нуля до $m_{\max}=120\,\text{г}$ ).

Решение

2.1 При открывании крышки давление упадет до нормального атмосферного, при этом вода окажется перегретой — начнется вскипание, которое будет продолжаться до тех пор, ее температура не понизится до температуры кипения при нормальном атмосферном давлении, то есть до $t_1=100{}^\circ\text{C}$ . При этом теплота, выделившаяся при остывании воды пойдет на испарение ее части $\Delta m$ . Уравнение теплового баланса в этом случае примет вид

L\Delta m=c_1m(t_0-t_1),\qquad (1)

из которого легко определить долю выкипевшей воды

\frac{\Delta m}m=\frac{c_1(t_0-t_1)}L=\frac{4{,}2\cdot10^3\cdot(120-100)}{2{,}2\cdot10^6}\approx3{,}8\cdot10^{-2}.\qquad (2)

Иными словами, выкипит около 4% воды.

2.2 При кристаллизации выделяется теплота, которая расходуется на нагревание оставшейся воды. Процесс кристаллизации будет продолжаться до тех пор, пока температура воды не станет равной $t_1=0{}^\circ\text{C}$ . Уравнение теплового баланса в данном случае принимает вид

\lambda\Delta m=c_1m(t_1-t_0).\qquad (1)

Откуда находим

\frac{\Delta m}m=\frac{c_1(t_1-t_0)}\lambda=\frac{4{,}2\cdot10^3\cdot(0-(-5))}{330\cdot10^3}\approx6{,}3\cdot10^{-2}.\qquad (2)

Примечание: Малость доли воды, претерпевающей фазовый переход, позволяет пренебречь изменением теплоемкости смеси при фазовых превращениях.

2.3 В зависимости от количества впущенного пара могут реализоваться различные конечные состояния воды в сосуде: только лед, лед и жидкость, жидкость, жидкость и пар. Последовательно рассмотрим возможные процессы и конечные равновесные состояния при увеличении количества впущенного пара.

1. Пар сконденсировался, образовавшаяся вода остыла до температуры замерзания и частично замерзла — при этом температура льда не достигла температуры плавления. В этом случае уравнение теплового баланса имеет вид

Lm+c_1m(t_1-t_{\text{пл.}})+\lambda m+c_0m(t_{\text{пл.}}-t_x)=c_0m_0(t_x-t_0),\qquad (1)

здесь и далее: $m$ — масса впущенного пара, $t_x$ — температура, установившаяся в сосуде после установления теплового равновесия, $t_{\text{пл.}}=0{,}0{}^\circ\text{C}$ — температура плавления льда. Из уравнения (1) находим требуемую зависимость:

t_x=\frac{Lm+c_1m(t_1-t_{\text{пл.}})+\lambda m+c_0mt_{\text{пл.}}+c_0m_0t_0}{c_0m+c_0m_0}.\qquad (2)

Подставляя численные значения характеристик воды (удобно теплоту измерять в кДж, а массы в граммах), получим функцию

t_x=\frac{Lm+c_1m(t_1-t_{\text{пл.}})+\lambda m+c_0mt_{\text{пл.}}+c_0m_0t_0}{c_0m+c_0m_0}=\frac{(2200+4{,}2\cdot100+330)m+2{,}1\cdot300\cdot(-10)}{2{,}1\cdot(300+m)}=\frac{2950m-6300}{6300+2{,}1m}.\qquad (3)

Температура льда достигнет нуля, при массе впущенного пара равной $m_1=6300/2950\approx2{,}1\,\text{г}$ . Так как эта масса мала, то зависимость (3) является примерно линейной. Этот участок на графике обозначен «0-1».

2. Количество пара превысило найденной значение $m_1\approx2{,}1\,\text{г}$ . При этом лед начал плавиться, но пара «не хватает», чтобы расплавить весь лед. В этом случае в сосуде в состоянии равновесия окажется смесь льда и воды, находящихся при температуре $t_{\text{пл.}}=0{,}0{}^\circ\text{C}$ . Найдем массу пара $m_2$ , при которой количество теплоты, выделившейся при конденсации пара и остывании образовавшейся воды, будет достаточно, чтобы нагреть лед до температуры плавления и полностью его расплавить. Из уравнения теплового баланса

Lm_2+c_1m_2(t_1-t_{\text{пл.}})=c_0m_0(t_{\text{пл.}}-t_0)+\lambda m_0\qquad (4)

находим

m_2=\frac{c_0m_0(t_{\text{пл.}}-t_0)+\lambda m_0}{L+c_1(t_1-t_{\text{пл.}})}=\frac{2{,}1\cdot300\cdot10+330\cdot300}{2200+4{,}2\cdot100}\approx40\,\text{г}.\qquad (5)

Таким образом, при массе пара от $m_1\approx2{,}1\,\text{г}$ до $m_2\approx40\,\text{г}$ температура установившаяся в сосуде будет равна $t_{\text{пл.}}=0{,}0{}^\circ\text{C}$ (участок «1-2» на графике).

3. Весь лед расплавился, образовавшаяся при этом вода стала нагреваться. В этом случае тепловой баланс имеет вид: теплота, выделившаяся при конденсации пара и остывании образовавшейся воды, расходуется на нагревание льда, его плавление и нагревание этой воды до равновесной температуры $t_x$ , или на языке уравнений:

Lm+c_1m(t_1-t_x)=c_0m_0(t_{\text{пл.}}-t_0)+\lambda m_0+c_1m_0(t_x-t_{\text{пл.}}).\qquad (6)

Из этого уравнения определяем

\begin{aligned}t_x&=\frac{Lm+c_1mt_1-c_0m_0(t_{\text{пл.}}-t_0)-\lambda m_0}{c_1m+c_1m_0}\\&=\frac{2200m+4{,}2\cdot100m-2{,}1\cdot300\cdot10-330\cdot300}{4{,}2m+4{,}2\cdot300}=\frac{2620m-105300}{4{,}2m+1260}.\end{aligned}\qquad (7)

Это участок на графике обозначен «2-3». Конечная температура достигнет температуры конденсации $t_1=100{}^\circ\text{C}$ , если масса впускаемого пара превысит значение $m_3$ , которое также можно определить из уравнения (6), в котором следует положить $t_x=t_1$ :

Lm_3=c_0m_0(t_{\text{пл.}}-t_0)+\lambda m_0+c_1m_0(t_1-t_{\text{пл.}}).\qquad (8)

Или

Lm_3=c_0m_0(t_{\text{пл.}}-t_0)+\lambda m_0+c_1m_0(t_1-t_{\text{пл.}}).

m_3=\frac{c_0m_0(t_{\text{пл.}}-t_0)+\lambda m_0+c_1m_0(t_1-t_{\text{пл.}})}L=\frac{2{,}1\cdot300\cdot10+330\cdot300+4{,}2\cdot300\cdot100}{2200}\approx105\,\text{г}.\qquad (9)

При дальнейшем увеличении массы пара конечная температура не превысит $t_1=100{}^\circ\text{C}$ . Требуемый график показан на рисунке.

Полный график температуры–массы: все точки0–4, шкалы, оси, единицы и обе подписи.

Отметим, что наклонные участки, строго говоря, не прямолинейны. Однако эти отклонения незначительны.

Обложка решений

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2007_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2007_theoretical_solutions.pdf