Съдържание

Условие 1. Самосжатие 2. Заряженная жидкость Решение

BelPhO 2007, Областен етап, 9–11 клас — Задача 5. 10-2. Вес и сжатие

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит восемь целых задач для 9–11 классов (3+3+2). Включены все условия, таблицы, подсказки, примечания и полные решения с альтернативными способами. 45 напечатанных конечных меток (6+3+4+5+7+7+10+3); каталог указывает51 и может иначе считать составные запросы. Исходные данные и формулы сохранены.

9-1. Рабочая разминка. Примечание к источнику: в подсказке сумма квадратов содержит n+2 вместо 2n+1; эта формула и ее применения сохранены. Ключ печатает 24,2 кДж для пирамиды, 100 кДж для насоса и 820 кДж для песка, хотя они не согласуются с исходными расчетами/данными. Номер (17) отсутствует. Метки 2.1/2.2 решения насоса сохранены при 1.2.1/1.2.2 условия.

9-2. Водная феерия. Примечание к источнику: в последней дроби формулы (3) для первой фазы ключа напечатано 6300+2,1m, тогда как предшествующий знаменатель равен 2,1(300+m); оба исходных выражения сохранены.

9-3. Опыт Араго. Примечание к источнику: ответ на вопрос 4 разбит в ключе на пункты 4 и 5; все исходные объяснения сохранены в одной задаче.

10-1. Просто разминка. Примечание к источнику: в формуле (9) напечатано t₂=φR/v₁, а следующая формула использует v₂. Итог φ₁₃=π/5≈72° противоречит равенству π/5=36° и предыдущему φ=2π/5; исходные формулы, число и рисунок сохранены.

10-2. Вес и сжатие. Примечание к источнику: вводный текст использует ΔV/V₀, а формула ΔV/V. Ссылки ключа на номера (2), (4), (8) сохранены как напечатано; первая дробь формулы (6) давления не содержит g, хотя следующий член его содержит.

10-3. Осторожней на поворотах. Примечание к источнику: в формуле (6) ключа обе стороны напечатаны с φП и передними нагрузками, тогда как предшествующая формула содержит задние индексы. Формулы и исходные индексы сохранены.

11-1. Взрывная эмиссия. Примечание к источнику: NА в условии напечатано 6,023 моль⁻¹ без множителя 10²³, а численный ответ ключа равен 6,62·10²⁸ м⁻³. В 3.1 ключа C=(T₁−T₂)/l при неопределенном T₂; следующая формула использует T₁−T₀. В 4.3 сохранены исходные несогласованные названия случаев и пустая ссылка «условие ()». В 4.4 интеграл использует j(T), несмотря на предыдущее различие jвнутри=2jповерхн; исходное время 2,6 мкс сохранено.

11-2. Динамик. Примечание к источнику: знаки силы и двигательной ЭДС в ключе приводят к β−g²/R; исходные знаки, все коэффициенты и численные ответы сохранены. На с.29 знак сравнения после R=4,0 Ом отображается пустым прямоугольником; это явно обозначено, отсутствующий символ не восстановлен предположением. Формула мгновенной электрической мощности содержит cosφ, как напечатано.

9 класс

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2006 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 9 класс.

10 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 10 класс.

11 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 11 класс.

Условие

Реальные жидкости сжимаемы. Эксперименты показывают, что относительное уменьшение $\Delta V/V_0$ объема реальной жидкости $(\Delta V=(V-V_0)<0)$ прямо пропорционально увеличению внешнего давления $\Delta p=p-p_0$ .

\frac{\Delta V}V=-\beta\Delta p\quad\Rightarrow\quad\Delta V=-\beta V\Delta p,

где коэффициент $\beta$ — сжимаемость жидкости. Знак минус в (1) отражает тот факт, что при увеличении внешнего давления $(\Delta p>0)$ объем жидкости уменьшается.

Рассмотрим горизонтальный слой реальной жидкости глубиной $H$ , находящийся в постоянном гравитационном поле земли. Плотность жидкости у поверхности слоя $\rho_0$ , ее сжимаемость $\beta$ . Атмосферное давление $p_0$ (рис. 01).

Полный океанский слой,H/h/p0/g и подписьРис01.

1. Самосжатие

Поскольку давление в жидкости увеличивается с глубиной, то нижние слои будут сжаты сильнее верхних.

1.1 Оцените уменьшение $\Delta H$ глубины слоя реальной жидкости под действием собственного веса. Вычислите $\Delta H$ для мирового океана, принимая, $H=10{,}0\,\text{км}$ , плотность несжатой морской воды $\rho_0=1{,}03\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ , сжимаемость морской воды $\beta=4{,}71\cdot10^{-10}\,\text{Па}^{-1}$ , $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ .

1.2. Плотность Найдите зависимость $\rho(h)$ плотности воды от глубины $h$ погружения. На сколько процентов увеличивается плотность морской воды на дне океана $\rho(H=10\,\text{км})$ по сравнению с ее плотностью у поверхности?

1.3. Давление Найдите зависимость давления $p(h)$ реальной жидкости от глубины $h$ погружения. Атмосферное давление $p_0$ .

1.4. Утонувший летучий голландец При какой плотности $\rho_1$ однородный брусок, начавший тонуть у поверхности мирового океана, «зависнет» на глубине $h=5{,}00\,\text{км}$ ?

2. Заряженная жидкость

В ряде учебных пособий рассматривается равномерно заряженная по объему жидкость. Будем считать, что способ ее получения уже известен.

Рассмотрим слой несжимаемой и непроводящей жидкости глубиной $H$ . Плотность жидкости $\rho$ , объемная плотность ее заряда постоянна и равна $\gamma$ . Ускорение свободного падения $g$ . Атмосферное давление $p_0$ .

2.1 Найдите зависимость давления $p(h)$ заряженной жидкости от глубины погружения $h$ .

2.2 Оцените максимально возможную толщину слоя $H_{\max}$ заряженной жидкости.

2.3 Определите массу $m$ непроводящего незаряженного кубика с ребром длиной $a$ , если при опускании в заряженную жидкость он плавает в ней так, что его верхняя грань касается поверхности жидкости.

Решение

1. «Самосжатие»

1.1 Рассмотрим слой воды малой толщины $\Delta h_i$ , находящийся на глубине $h_i$ . Уменьшение объема $\Delta V_i$ рассматриваемого слоя вследствие сжимаемости жидкости запишем как

\Delta V_i=V_0(1-\beta\cdot p)-V_0=-V_0\beta p=-S\Delta h_i\beta p,

где $S$ — площадь рассматриваемого слоя. Для оценки будем считать, что плотность жидкости остается приблизительно постоянной, тогда толщина сжатого слоя $\Delta h_i^*$

\Delta h_i^*=\Delta h_i(1-\beta\cdot p)=\Delta h_i(1-\beta\cdot\rho_0gh_i),

где $\rho_0$ — плотность несжатой жидкости, $g$ — ускорение свободного падения. Соответственно, уменьшение $\delta h_i$ его высоты вследствие эффекта самосжатия найдем как

\delta h_i=\rho_0g\beta h_i\Delta h_i.\qquad (1)

Для нахождения полного сжатия $\Delta H$ всей жидкости просуммируем (1) по всем глубинам $h_i$

\Delta H=\sum_i\delta h_i=\sum_i\rho_0g\beta h_i\Delta h_i=\rho_0g\beta\sum_i h_i\Delta h_i=\rho_0g\beta\frac{H^2}2.\qquad (2)

Расчет для мирового океана дает $\Delta H=238\,\text{м}$ .

1.2 «Плотность» С учетом эффекта самосжатия найдем плотность $\rho$ реальной жидкости на глубине $h$

\rho(h)=\frac{m_i}{V_i}=\frac{m_i}{V_0(1-\beta p_i)}=\frac{m_i}{V_0(1-\beta\rho_0gh)}\approx\rho_0(1+\beta\rho_0gh).\qquad (3)

В (2) учтено, что параметр $\beta$ (сжимаемость воды) очень мал, поэтому можно с достаточной точностью использовать приближение для малых $x$

\frac1{1-x}\approx1+x.

Соответственно, относительное увеличение плотности воды в процентах на глубине $H$ найдем как

\varepsilon_\rho=\frac{\Delta\rho}{\rho_0}\cdot100\%=\beta\rho_0gH\cdot100\%=4{,}76\%.\qquad (4)

Поскольку данные в условии задачи приведены с точностью до трех значащих цифр, то в ответе (4) (и далее!) мы также будем оставлять три значащие цифры. Как видим из (4) даже при больших глубинах мирового океана относительное изменение плотности морской воды незначительно и составляет несколько процентов. Это позволяет считать жидкости практически несжимаемыми при решении ряда прикладных задач.

1.3 «Давление» Для вычисления давления $p(h)$ реальной жидкости на глубине $h$ необходимо просуммировать давления, создаваемые более высокими тонкими слоями $\Delta h_i$ , которые, согласно закону Паскаля, передаются нижним слоям

p(h)=\sum_i p_i=\sum_i\rho_i g\Delta h_i=g\sum_i\rho_i\Delta h_i,\qquad (5)

где $\rho_i$ — плотность жидкости на глубине $i$ -го слоя. Сумма в выражении (4), есть площадь $S$ под графиком $\rho(h)$ зависимости (2) плотности жидкости от глубины, т.е. площадь трапеции (рис. 02). Следовательно

p(h)=\frac{\rho_0+\rho_0(1+\beta\rho_0gh)}2h=\rho_0gh\left(1+\frac{\rho_0g\beta}2h\right).\qquad (6)

Полный графикrho(h),трапецияS/rho0/оси и подписьРис02.

Из (6) следует, что искомая зависимость представляет собой параболу с малым коэффициентом нелинейности. С учетом того, что атмосферное давление $p_0$ также передается по закону Паскаля, окончательно получим

p(h)=p_0+\rho_0gh\left(1+\frac{\rho_0g\beta}2h\right).\qquad (7)

1.4. «Утонувший летучий голландец» Предмет перестанет тонуть и будет находиться в состоянии устойчивого равновесия на некоторой глубине при условии, что его плотность будет равна плотности морской воды на этой глубине. Следовательно, плотность утонувшего летучего голландца можно найти, подставив в выражение (3) искомую глубину $h=5{,}00\,\text{км}$

\rho(h)=\rho_0(1+\beta\rho_0gh).

Расчет с точностью до трех значащих цифр дает $\rho_1=1{,}05\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ .

2. «Заряженная жидкость» В данном пункте рассматривается несжимаемая жидкость.

2.1 Рассмотрим верхний слой жидкости глубиной $h$ (рис. 03). Действующая на него сверху сила атмосферного давления $p_0S$ и сила его тяжести $F_1=\rho ghS$ уравновешиваются силой давления снизу $p(h)S$ и силой электростатического отталкивания $\vec F_2$ слоя толщиной $h$ слоем толщиной $(H-h)$ . Напряженность электростатического поля, создаваемого слоем толщиной $(H-h)$ вне его может быть найдена, как

E(H-h)=\frac\sigma{2\varepsilon_0}=\frac{\gamma(H-h)}{2\varepsilon_0}.

Полная заряженная жидкость с p0S/F1/F2/p(h)S,H−h/h/g и подписьРис03.

Заряд слоя толщиной $h$ найдем по определению объемной плотности заряда

q(h)=\gamma\cdot V=\gamma hS.

Следовательно, сила электростатического отталкивания верхнего слоя нижним равна

F_2=E(H-h)\cdot q(h)=\gamma^2\frac{H-h}{2\varepsilon_0}hS.\qquad (8)

В результате условие равновесия слоя глубиной $h$ примет вид

p_0S+\rho ghS=\gamma^2\frac{H-h}{2\varepsilon_0}hS+p(h)S.

Сокращая в последнем выражении на площадь $S$ слоя, получим искомую зависимость давления в заряженной жидкости от глубины

p(h)=p_0+\left(\rho g-\frac{\gamma^2H}{2\varepsilon_0}\right)h+\frac{\gamma^2}{2\varepsilon_0}h^2.\qquad (9)

2.2 Выражение (8) представляет собой квадратичную зависимость (параболу), ветви которой направлены вверх. При малых $h$ $(h\to0)$ ее «поведение» определяется линейным членом, который, в зависимости от толщины пластины $H$ может быть как положительным, так и отрицательным. При максимально возможной толщине пластины $H_{\max}$ линейный член должен быть равен нулю. При этом верхние слои жидкости станут невесомы, т.е. $p(h\to0)\approx p_0$ . Отсюда найдем

\rho g=\frac{\gamma^2H}{2\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad H_{\max}=\frac{2\rho g\varepsilon_0}{\gamma^2}.\qquad (10)

При дальнейшем увеличении толщины заряженного слоя верхние частицы жидкости будут отрываться и улетать вверх, образуя «электрическое испарение».

2.3 Кубик некоторой массы, погруженный в заряженную жидкость, будет находиться в равновесии, если сила его тяжести будет уравновешена силой Архимеда. Погружение кубика в заряженную жидкость не изменит распределение давления в нижележащих слоях. Это позволяет записать следующее уравнение

mg=\left(\left(\rho g-\frac{\gamma^2H}{2\varepsilon_0}\right)a+\frac{\gamma^2}{2\varepsilon_0}a^2\right)\cdot a^2.

Отсюда найдем искомое значение массы кубика

m=\frac{\left(\left(\rho g-\frac{\gamma^2H}{2\varepsilon_0}\right)a+\frac{\gamma^2}{2\varepsilon_0}a^2\right)\cdot a^2}g.\qquad (11)

Обложка решений

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2007_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2007_theoretical_solutions.pdf