Съдържание

BelPhO 2007, Областен етап, 9–11 клас — Задача 6. 10-3. Осторожней на поворотах

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит восемь целых задач для 9–11 классов (3+3+2). Включены все условия, таблицы, подсказки, примечания и полные решения с альтернативными способами. 45 напечатанных конечных меток (6+3+4+5+7+7+10+3); каталог указывает51 и может иначе считать составные запросы. Исходные данные и формулы сохранены.

9-1. Рабочая разминка. Примечание к источнику: в подсказке сумма квадратов содержит n+2 вместо 2n+1; эта формула и ее применения сохранены. Ключ печатает 24,2 кДж для пирамиды, 100 кДж для насоса и 820 кДж для песка, хотя они не согласуются с исходными расчетами/данными. Номер (17) отсутствует. Метки 2.1/2.2 решения насоса сохранены при 1.2.1/1.2.2 условия.

9-2. Водная феерия. Примечание к источнику: в последней дроби формулы (3) для первой фазы ключа напечатано 6300+2,1m, тогда как предшествующий знаменатель равен 2,1(300+m); оба исходных выражения сохранены.

9-3. Опыт Араго. Примечание к источнику: ответ на вопрос 4 разбит в ключе на пункты 4 и 5; все исходные объяснения сохранены в одной задаче.

10-1. Просто разминка. Примечание к источнику: в формуле (9) напечатано t₂=φR/v₁, а следующая формула использует v₂. Итог φ₁₃=π/5≈72° противоречит равенству π/5=36° и предыдущему φ=2π/5; исходные формулы, число и рисунок сохранены.

10-2. Вес и сжатие. Примечание к источнику: вводный текст использует ΔV/V₀, а формула ΔV/V. Ссылки ключа на номера (2), (4), (8) сохранены как напечатано; первая дробь формулы (6) давления не содержит g, хотя следующий член его содержит.

10-3. Осторожней на поворотах. Примечание к источнику: в формуле (6) ключа обе стороны напечатаны с φП и передними нагрузками, тогда как предшествующая формула содержит задние индексы. Формулы и исходные индексы сохранены.

11-1. Взрывная эмиссия. Примечание к источнику: NА в условии напечатано 6,023 моль⁻¹ без множителя 10²³, а численный ответ ключа равен 6,62·10²⁸ м⁻³. В 3.1 ключа C=(T₁−T₂)/l при неопределенном T₂; следующая формула использует T₁−T₀. В 4.3 сохранены исходные несогласованные названия случаев и пустая ссылка «условие ()». В 4.4 интеграл использует j(T), несмотря на предыдущее различие jвнутри=2jповерхн; исходное время 2,6 мкс сохранено.

11-2. Динамик. Примечание к источнику: знаки силы и двигательной ЭДС в ключе приводят к β−g²/R; исходные знаки, все коэффициенты и численные ответы сохранены. На с.29 знак сравнения после R=4,0 Ом отображается пустым прямоугольником; это явно обозначено, отсутствующий символ не восстановлен предположением. Формула мгновенной электрической мощности содержит cosφ, как напечатано.

9 класс

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2006 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 9 класс.

10 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 10 класс.

11 класс

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. 11 класс.

Условие

В этой задаче мы предлагаем вам рассмотреть поведение автомобиля при повороте на большой скорости. Для этого необходимо познакомимся с таким явлением, как «увод» шины и выяснить, какие силы заставляют автомобиль поворачивать.

Поставим автомобильное колесо на движущуюся ленту транспортёра под некоторым маленьким углом $\varphi$ к направлению движения ленты и приложим к нему вертикальную нагрузку $N$ (рис. 1 и 2). Вначале колесо будет скользить и раскручиваться. Когда скольжение прекратится, исчезнет сила трения направленная вдоль плоскости колеса, однако останется некоторая сила, действующая в перпендикулярном направлении, стремящаяся увести колесо в сторону. Эта сила по своей сути является силой трения покоя. Причина её возникновения — деформация шины вблизи пятна контакта. Присутствие этой силы и заставляет автомобиль поворачивать, т.е. сумма сил увода, действующих на каждое колесо автомобиля, является центростремительной силой. Таким образом, при поворотах плоскость колеса всегда немного повёрнута относительно вектора скорости движения центра колеса (колёса едут не туда куда «смотрят»).

Вся нагрузкаN на колесо/транспортер,движение и подписьРис1.

Весь наклоненный след колесатранспортера с F/phi/направлением и Рис2.

Экспериментально установлено, что для малых углов $\varphi$ сила $F$ линейно растёт с увеличением $\varphi$ , т.е. $F=k\cdot\varphi\cdot N$ , где $k$ — коэффициент сопротивления боковому уводу, который зависит от типа шины, а $N$ — величина нагрузки. Когда $\varphi$ превышает некоторое значение $\varphi_{\text{кр}}$ (в реальных условиях $\varphi_{\text{кр}}$ меньше десяти градусов), то начинается скольжение и сила трения резко падает до значения $F=\mu N$ , где $\mu$ — обычный коэффициент трения скольжения, т.е. $k\varphi_{\text{кр}}N>\mu N$ . График зависимости силы трения, действующей на колесо, от угла $\varphi$ между плоскостью колеса и направлением движения его центра представлен на рисунке 3..

Полный графикF(phi),kphiкрN/muN/phiкр,скачок/оси и Рис3.

Рассмотрим автомобиль со следующими характеристиками: масса — $M$ , длина базы (расстояние между осями) — $L$ , ширина (расстояние между колесами одной оси) — $d$ , расстояния от центра тяжести $C$ до передней и задней оси равны соответственно $a$ и $b$ $(a+b=L)$ , высота центра тяжести — $h$ . Схематическое изображение автомобиля приведено на рисунке 4.

Оба полных вида автомобиля с C,h,L,d,a,b,перед и Рис4.

Углом поворота называется угол, под которым видна база автомобиля из центра кривизны поворота, т.е. отношение $L$ к $R$ (рис. 5). На этом рисунке схематически изображён поворот автомобиля на очень маленькой скорости. При этом угол увода практически равен нулю (центростремительная сила очень маленькая) и векторы скоростей движения центров колёс лежат в их плоскостях. Т.е. при повороте передних колёс на угол $\xi$ относительно продольной оси корпуса, автомобиль также поворачивает под углом $\xi$ . В задаче рассматриваются повороты достаточно большого радиуса (угол $\xi$ очень маленький), поэтому можно пренебречь различиями в траектории левых и правых колёс автомобиля.

Полный медленный поворот,колеса/центр/R/L/xi и Рис5.

При поворотах на большой скорости ситуация изменяется. Для того чтобы реализовать большую центростремительную силу, углы увода у колёс должны быть отличными от нуля. В итоге автомобиль поворачивает не под углом $\xi$ , а под некоторым углом $\theta$ . Ситуация быстрого поворота изображена на рисунке 6 (углы сильно преувеличены). Углы увода передних и задних колёс обозначены $\varphi_{\text{П}}$ и $\varphi_{\text{З}}$ соответственно.

Полный быстрый поворот: всеphiП/phiЗ/R/L/xi/theta и Рис6.

Приступим к анализу явления:

1 Выразите угол $\theta$ через $\xi$ , $\varphi_{\text{П}}$ и $\varphi_{\text{З}}$ .

2 Автомобиль входит в левый поворот большого радиуса $R$ на скорости $v$ . Определите величину нагрузки на каждое колесо: $N_{\text{ПЛ}},N_{\text{ПП}},N_{\text{ЗЛ}},N_{\text{ЗП}}$ (первый индекс: П — переднее, З — заднее; второй индекс: Л — левое, П — правое). Поворот происходит без скольжения.

3 Для описания поведения автомобиля при поворотах используют термин «поворачиваемость». Поворачиваемость бывает нейтральная, избыточная или недостаточная. Т.е. при повороте передних колёс на некоторый угол $\xi$ , автомобиль может поворачивать под этим же углом, под углом большим или меньшим $\xi$ : $\theta=\xi$ , $\theta>\xi$ или $\theta<\xi$ соответственно.

Покажите, что при одинаковых коэффициентах увода $k$ передних и задних шин автомобиль будет иметь нейтральную поворачиваемость. Имейте в виду, что углы очень маленькие, поэтому можно считать, что силы трения, действующие на колёса, направлены вдоль оси, соединяющей центр тяжести автомобиля и центр кривизны поворота, т.е. сонаправлены с центростремительным ускорением.

4 Определите максимальную безопасную (автомобиль не скользит) скорость $v_{\max}$ движения в повороте радиуса $R$ . Критический угол увода равен $\varphi_{\text{кр}}$ .

5 Далее шины также будем считать одинаковыми. Для изменения поведения автомобиля на дороге меняют угол схождения передних или задних колёс. Угол схождения положительный, если колёса «смотрят» вовнутрь и отрицательный, если наружу. Мы рассмотрим только случай изменения схождения передних колёс. На рисунке 7 изображена ситуация положительного схождения передних колёс. Угол для наглядности сильно преувеличен, в реальности его величина составляет единицы градусов.

Весь автомобиль/схождениеdelta/2delta/delta>0 и Рис7.

Определите, при каких $\delta$ автомобиль обладает избыточной, а при каких недостаточной поворачиваемостью.

6 Покажите, что при избыточной поворачиваемости существует максимальная скорость $v_{\text{crit}}$ устойчивого прямолинейного движения автомобиля. Определите эту скорость.

7 Определите максимальную безопасную скорость $v'_{\max}$ движения в повороте радиуса $R$ при избыточной поворачиваемости. Критический угол увода равен $\varphi_{\text{кр}}$ .

Решение

1. Легко заметить из рисунка 1, что наличие угла увода у передних колёс уменьшает угол поворота, а у задних — увеличивает. Т.е.

\theta=\xi-\varphi_{\text{П}}+\varphi_{\text{З}}.\qquad (1)

Полный ключевой быстрый поворот: всеуглы/геометрия/центр и Рис1.

2. Нагрузки на колёса равны силам реакции дороги на эти колёса. Для нахождения этих величин необходимо записать второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, а также уравнения для равенства моментов относительно нескольких осей, чтобы получить четыре независимых уравнения. Однако можно поступить проще. Если автомобиль покоится, то силы реакции определить не трудно:

\begin{aligned}N_{\text{ПЛ}}^0=N_{\text{ПП}}^0&=\frac12\frac{Mgb}L,\\N_{\text{ЗЛ}}^0=N_{\text{ЗП}}^0&=\frac12\frac{Mga}L.\end{aligned}\qquad (2)

При левом повороте, к правым колёсам приложится дополнительная нагрузка $\Delta N=\frac12\frac{Mv^2}R\frac hd$ , а сила, действующая на левые колёса, наоборот уменьшится на эту величину. Получим:

\begin{aligned}N_{\text{ПЛ}}&=\frac12\frac{Mgb}L-\frac12\frac{Mv^2}R\frac hd,\\N_{\text{ПП}}&=\frac12\frac{Mgb}L+\frac12\frac{Mv^2}R\frac hd,\\N_{\text{ЗЛ}}&=\frac12\frac{Mga}L-\frac12\frac{Mv^2}R\frac hd,\\N_{\text{ЗП}}&=\frac12\frac{Mga}L+\frac12\frac{Mv^2}R\frac hd.\end{aligned}\qquad (3)

3. Запишем условие равенства моментов сил относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести автомобиля:

\left(F_{\text{ПЛ}}+F_{\text{ПП}}\right)\cdot a=\left(F_{\text{ЗЛ}}+F_{\text{ЗП}}\right)\cdot b,\qquad (4)

т.е. автомобиль не вращается. Подставляя значения сил, получим:

\left(k\varphi_{\text{П}}N_{\text{ПЛ}}+k\varphi_{\text{П}}N_{\text{ПП}}\right)\cdot a=\left(k\varphi_{\text{З}}N_{\text{ЗЛ}}+k\varphi_{\text{З}}N_{\text{ЗП}}\right)\cdot b\qquad (5)

или

\varphi_{\text{П}}\cdot a\cdot\left(N_{\text{ПЛ}}+N_{\text{ПП}}\right)=\varphi_{\text{П}}\cdot b\cdot\left(N_{\text{ПЛ}}+N_{\text{ПП}}\right).\qquad (6)

Подставив значения нагрузок, получим:

\varphi_{\text{П}}=\varphi_{\text{З}},\qquad (7)

а значит

\theta=\xi\qquad (8)

— нейтральная поворачиваемость.

4. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось «центр тяжести автомобиля — центр кривизны поворота»:

F_{\text{ПП}}+F_{\text{ПЛ}}+F_{\text{ЗЛ}}+F_{\text{ЗП}}=\frac{Mv^2}R\qquad (9)

или, подставляя значения сил, и учитывая, что $\varphi_{\text{П}}=\varphi_{\text{З}}=\varphi_{\text{кр}}$ ,

kMg\varphi_{\text{кр}}=\frac{Mv^2}R.\qquad (10)

Максимальная скорость равна

v_{\max}=\sqrt{k\varphi_{\text{кр}}Rg}.\qquad (11)

5. Рассмотрим движение в левом повороте. При наличии схождения передних колёс, углы увода левого и правого колёс отличаются от некоторого среднего значения $\varphi_{\text{П}}$ на величину $\delta$ , т.е.

\begin{aligned}\varphi_{\text{ПП}}&=\varphi_{\text{П}}+\delta,\\\varphi_{\text{ПЛ}}&=\varphi_{\text{П}}-\delta.\end{aligned}\qquad (12)

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось «центр тяжести автомобиля — центр кривизны поворота» и условие равенства моментов сил относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести автомобиля:

\begin{cases}kN_{\text{ПЛ}}(\varphi_{\text{П}}-\delta)+kN_{\text{ПП}}(\varphi_{\text{П}}+\delta)+k\varphi_{\text{З}}(N_{\text{ЗЛ}}+N_{\text{ЗП}})=Mv^2/R,\\\left(kN_{\text{ПЛ}}(\varphi_{\text{П}}-\delta)+kN_{\text{ПП}}(\varphi_{\text{П}}+\delta)\right)\cdot a=k\varphi_{\text{З}}(N_{\text{ЗЛ}}+N_{\text{ЗП}})\cdot b.\end{cases}\qquad (13)

Решение системы:

\varphi_{\text{З}}=\frac{v^2}{gkR}\quad\text{и}\quad\varphi_{\text{П}}=\frac{v^2}{gkR}-\delta\frac{v^2hL}{Rdgb}.\qquad (14)

Угол поворота:

\theta=\xi-\varphi_{\text{П}}+\varphi_{\text{З}}=\xi+\delta\frac{v^2hL}{Rdgb}.\qquad (15)

Необходимо учесть, что $R=L/\theta$ , тогда

\theta=\xi+\delta\frac{v^2h}{dgb}\theta.\qquad (16)

Выражая $\theta$ , получим:

\theta=\frac\xi{1-\delta\frac{v^2h}{dgb}}.\qquad (17)

Делаем вывод: при положительном $\delta$ , $\theta>\xi$ — автомобиль обладает избыточной поворачиваемостью, при $\delta<0$ — недостаточной.

6. При определённой скорости движения знаменатель в формуле (17) обращается в нуль. Это значит, что при малейшем движении руля, угол поворота становится очень большим и автомобиль разворачивается. Значение критической скорости:

v_{\text{crit}}=\sqrt{\frac{dgb}{\delta\cdot h}}.\qquad (18)

7. По-прежнему рассматриваем левый поворот. Необходимо определить, какое колесо первым потеряет сцепления с дорогой. Предположим, что это будут задние колёса. Для того чтобы это произошло, необходимо, чтобы

v^2=\varphi_{\text{кр}}gkR.\qquad (19)

В этом случае значение максимальной скорости совпадает со значением, полученным в пункте 4:

v_{\max}=\sqrt{k\varphi_{\text{кр}}Rg}.\qquad (20)

Однако необходимо проанализировать, действительно ли задние колёса сорвутся первыми. Единственным «конкурентом» является переднее правое колесо. Подставим значение (19) в формулу (14) для $\varphi_{\text{П}}$ .

\varphi_{\text{П}}=\varphi_{\text{кр}}-\delta\frac{\varphi_{\text{кр}}khL}{db}.\qquad (21)

Для переднего правого колеса:

\varphi_{\text{ПП}}=\varphi_{\text{П}}+\delta=\varphi_{\text{кр}}-\delta\frac{\varphi_{\text{кр}}khL}{db}+\delta=\varphi_{\text{кр}}+\delta\left(1-\frac{\varphi_{\text{кр}}khL}{db}\right).\qquad (22)

Из формулы (21) делаем вывод, что при

\varphi_{\text{кр}}khL<db\qquad (23)

значение $\varphi_{\text{ПП}}$ будет больше $\varphi_{\text{кр}}$ , т.е. первым сорвется переднее правое колесо, после чего процесс станет необратимым. Для нахождения критической скорости, запишем условие достижения критического угла увода передним правым колесом.

\varphi_{\text{кр}}=\frac{v^2}{gkR}+\delta\left(1-\frac{v^2hL}{Rdgb}\right).\qquad (24)

Выражая $v$ , получим:

v'_{\max}=\sqrt{\frac{kRg(\varphi_{\text{кр}}-\delta)}{1-\delta\frac{hLk}{db}}}.\qquad (25)

Заметим, что если $\varphi_{\text{кр}}khL<db$ , то и $\delta\cdot khL<db$ . Таким образом, максимальная скорость определяется либо срывом задних колёс, либо срывом переднего правого колеса в зависимости от соотношения между величинами (23).

Обложка решений

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2007 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2007_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2007_theoretical_solutions.pdf