Съдържание

BelPhO 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2. 9 класс · Задание 2 «Вверх – вниз»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

Республиканская физическая олимпиада 2007 года — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Исходные сведения

УТВЕРЖДЕНО
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь
_____________________ К.С. Фарино
«___» марта 2007 г.

Республиканская физическая олимпиада 2007 год. г. Минск. Теоретический тур.
9 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2007 года

приветствуют вас в городе Минске;
поздравляют с успешными выступлениями на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь в оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Во всех задачах ускорение свободного падения считать равным $g=9{,}81\,\frac{м}{с^2}$ .

Условие

9 класс. Задание 2 «Вверх – вниз»

2.1

Плоский диск большого радиуса жестко закреплен на расстоянии $h=5{,}0\,мм$ от гладкой горизонтальной поверхности (рис. 01). В центре диска расположено отверстие, в которое вставлена вертикальная труба радиуса $r=3{,}0\,мм$ , по которой в пространство между диском и плоскостью подается идеальная (несжимаемая и невязкая) жидкость, которая в дальнейшем растекается в зазоре между диском и плоскостью, полностью заполняя его. Массовый расход жидкости в вертикальной части струи $q=0{,}15\,\frac{кг}{с}$ . Плотность жидкости $\rho=0{,}95\cdot10^3\,\frac{кг}{м^3}$ .

Рис. 01

В начальный момент времени жидкости на поверхности не было. Найдите:

2.1.1 Скорость $\upsilon_0$ жидкости в нижнем сечении струи.

2.1.2 Зависимость радиуса $R(t)$ пятна «растекания» жидкости по поверхности от времени.

2.1.3 Зависимость скорости $\upsilon(t)$ движения границы жидкости по плоскости от времени;

2.2 «Водяной купол»

Струя воды подается в Т - образную конструкцию, состоящую из двух одинаковых горизонтальных дисков и при дальнейшем движении образует водяной купол (рис. 02). Расход воды в трубе $AB$ - $q=5{,}5\,\frac{кг}{с}$ . Расстояние $h=2{,}0\,мм$ , $r=15\,см$ , $H=0{,}65\,м$ . Определите радиус $R$ водяного купола на земле. Как он изменится при уменьшении расстояния $h$ между дисками в $\eta=2{,}0$ раза? Поверхностным натяжением и вязкостью жидкости пренебречь.

Рис. 02

Решение

Задание 2 «Вверх – вниз»

1 Рассмотрим струю жидкости радиусом $r$ , движущуюся со скоростью $\upsilon_0$ по трубе. За промежуток времени $\Delta t$ через произвольное поперечное сечение $AB$ (рис. 3) струи площадью $S=\pi r^2$ пройдет жидкость объемом

V=S\cdot h=S\upsilon_0\Delta t=\pi r^2\upsilon_0\Delta t.

Рис. 3

Соответственно для массового расхода в этом случае получаем

q=\frac{m}{\Delta t}=\frac{\rho V}{\Delta t}=\frac{\rho\pi r^2\upsilon_0\Delta t}{\Delta t}=\rho\pi r^2\upsilon_0.\qquad (1)

Из (1) найдем скорость жидкости в вертикальном сечении струи

\upsilon_0=\frac{q}{\rho\pi r^2}=5{,}6\,\frac{м}{с}.\qquad (2)

2 Поскольку жидкость несжимаема, то объем жидкости, попавший на поверхность за некоторый промежуток времени $t$ должен быть равен объему цилиндра, который образует жидкость при растекании по поверхности (см. рис. 01).

Пусть радиус пятна в рассматриваемый момент $R(t)$ , тогда объем образовавшегося цилиндра найдем как $V=S\cdot h=\pi R^2(t)\cdot h$ .

Из этого условия следует, что

m=qt=\rho V=\rho\pi R^2(t)h.

Из последнего равенства находим

R(t)=\sqrt{\frac{qt}{\rho\pi h}}.\qquad (3)

Таким образом, радиус пятна растекания жидкости по поверхности увеличивается с течением времени прямо пропорционально квадратному корню из времени течения

R(t)\,\square\,\sqrt t.

Исходная напечатаннаястрока R(t)□√t с нераспознаваемымроднымMTExtraглифом; незаменённаяреальнаяформула.

Примерный график полученной зависимости (3) приведен ниже.

Исходная точечнаязависимость радиусапятнаRотt/весьзаголовок/числа/оси/рамка.

3 Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ радиус пятна увеличился на $\Delta R$ ( $\Delta R\,\square\,R$ ) (рис. 4). Жидкость, поступившая на поверхность за промежуток времени $\Delta t$ , «заполнит» выделенное на рисунке кольцо (сильно увеличено).

Исходная напечатаннаяскобка ΔR□R с нераспознаваемымроднымMTExtraглифом; никакихвыведенныхзнаков.

Рис. 4

Согласно полученному выражению (3) можем записать следующие равенства

R^2=\frac{q}{\rho\pi h}\cdot t\qquad (4)

(R+\Delta R)^2=\frac{q}{\rho\pi h}\cdot(t+\Delta t).\qquad (5)

Вычитая из (5) равенство (4), найдем связь между малыми величинами $\Delta t$ и $\Delta R$

2R\Delta R+\Delta R^2=\frac{q}{\rho\pi h}\cdot\Delta t.

Поскольку $\Delta R\,\square\,R$ , то в последнем равенстве можно пренебречь $\Delta R^2$ по сравнению со слагаемым $2R\Delta R$ .

Исходный рисунок — k9-2-native-unreadable-small-increment-repeat

Соответственно, для скорости $\upsilon(t)$ движения границы пятна по поверхности получаем

\upsilon(t)=\frac{\Delta R}{\Delta t}=\frac{q}{\rho\pi h}\cdot\frac{1}{2R}=\left\{R(t)=\sqrt{\frac{qt}{\rho\pi h}}\right\}=\frac12\sqrt{\frac{q}{\rho\pi h}}\cdot\frac{1}{\sqrt t}.\qquad (6)

Таким образом, согласно (6) скорость $\upsilon(t)$ движения границы пятна убывает обратно пропорционально квадратному корню от времени
$\upsilon(t)\,\square\,\frac1{\sqrt t}.$

Исходный рисунок — k9-2-native-unreadable-speed-relation

Для определения функции $\upsilon(t)$ можно также найти производную от выражения (3) по времени, что несколько быстрее приводит к ответу

\upsilon(t)=\frac{\Delta R}{\Delta t}=\left(\sqrt{\frac{qt}{\rho\pi h}}\right)'=\frac12\sqrt{\frac{q}{\rho\pi ht}}.\qquad (7)

Для получения графика (таблицы) зависимости (6) можно также «вручную» обработать зависимость (3) скажем, для 10 точек и нанести точки на график (см. рис.). При этом получается монотонно убывающий график искомой зависимости $\upsilon(t)$ .

4 Радиус водяного купола на земле определяется величиной $r$ , а также начальной горизонтальной скоростью $\vec\upsilon_0$ струи на выходе из Т — образной конструкции (рис. 5) и временем $t=\sqrt{2H/g}$ полета (падения) частиц воды с высоты $H$

R=r+\upsilon_0t.

Масса воды, входящей в трубу $AB$ , должна быть равна массе воды, выходящей через боковую поверхность конструкции (купола). В противном случае вода накапливалась бы в куполе, чего не происходит.

Это соображение позволит нам вычислить начальную горизонтальную скорость $\vec\upsilon_0$ воды на выходе из купола.

Если мысленно «развернуть» боковую поверхность Т - образной конструкции, через которую выходит вода, то получим прямоугольник (выделен на рис. 6) со сторонами $h$ и $2\pi r$ .

Следовательно, расход воды через боковую поверхность купола можем записать в виде

q\Delta t=\rho\,2\pi rh\upsilon_0\Delta t\quad\Rightarrow\quad\upsilon_0=\frac{q}{2\pi\rho rh}.

Соответственно, радиус водяного купола найдем, зная время падения воды и ее начальную скорость

R=r+\upsilon_0t=r+\frac{q}{2\pi\rho rh}\sqrt{\frac{2H}{g}}.\qquad (8)

Расчет по (8) дает

R=1{,}2\ \text{м}.

Как следует из (8), при уменьшении $h$ в $\eta=2{,}0$ раза новый радиус купола на земле

R'=r+\upsilon_0t=r+\frac{q}{\pi\rho rh}\sqrt{\frac{2H}{g}}=2{,}3\ \text{м},

увеличится в $\eta=R'/R=1{,}9$ раза.

Интересно, что в действующих установках «водяных куполов» при большом значении $H$ поверхностное натяжение может даже «схлопнуть» купол так, что его радиус практически станет равным нулю. Однако при небольшой высоте купола влиянием поверхностного натяжения можно пренебречь.

Примечание к оригиналу

В оригинале сохранены девять отдельно напечатанных теоретических задач 9,10 и11 классов.39 пронумерованных запросов и два раздела с вопросами без отдельной нумерации; предварительное каталожное число40 не заменяет исходную структуру. Ключ кинематической диаграммы содержит пункты1–6 при пяти основных пунктах условия. Условие погоды пропускает номер2.2.3. Полные14 страницы условий и26 страницы доступного официального ключа переданы с исходными графиками и таблицами. В исходном ключе пять математических символов в формулах на страницах4,5 и19 изображены нечитаемыми прямоугольниками; они обозначены □ и сопровождаются исходными фрагментами без догадки об их значении. Сохранены печатные расхождения: повтор u₁ в последней формуле кинематической диаграммы; знак разности концентраций в условии и ключе; ε₀ и множители в нервной модели; Вт/см² и кВт/см² в описании бистабильности; степень T₀² в формуле(23) погоды; A₃ на схемах и A₁ в формулах; повторные номера/ссылки формул; N≈3000 и3·10⁻⁴с в ключе лазерного охлаждения. Научные значения и исходные ошибки не исправлены скрыто. Отдельная численная шкала оценивания, список авторов и внешние приложения в этом комплекте не напечатаны.

Оригинал в Архива: 2007problems.pdf · официални решения: 2007solutions.pdf