Съдържание

BelPhO 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. 10 класс · Задание 2 «Торможение спутника»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

Республиканская физическая олимпиада 2007 года — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Исходные сведения

УТВЕРЖДЕНО
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь
_____________________ К.С. Фарино
«___» марта 2007 г.

Республиканская физическая олимпиада 2007 год. г. Минск. Теоретический тур.
9 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2007 года

приветствуют вас в городе Минске;
поздравляют с успешными выступлениями на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь в оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Во всех задачах ускорение свободного падения считать равным $g=9{,}81\,\frac{м}{с^2}$ .

Условие

10 класс. Задание 2 «Торможение спутника»

Рис. 1

Рассмотрим движение искусственного спутника Земли в верхних слоях атмосферы. Наличие атмосферного «хвоста» приводит к тому, что на спутник действует тормозящая сила, пропорциональная плотности газа, площади поперечного сечения спутника и квадрату его скорости:

F_C=C\cdot\rho\cdot S\cdot v^2.

Безразмерный коэффициент $C$ в данной задаче можно принять равным единице.

Сила эта невелика, и спутник может годами вращаться вокруг Земли. Однако радиус его орбиты будет постепенно уменьшаться, соответственно будет изменяться и скорость движения спутника. Предлагаем рассмотреть динамику спутника подробнее:

1 Спутник с массой $m$ и площадью поперечного сечения $S$ находится на орбите радиуса $R_0$ . Определите скорость его движения $v_0$ и период обращения вокруг Земли $T_0$ .

2 Чему равна полная механическая энергия спутника $E'_0$ ?

3 Теперь учтём силу сопротивления. Плотность атмосферы на данной высоте – $\rho_0$ . За один «виток» радиус орбиты изменяется на относительно маленькую величину $\Delta R$ ( $\Delta R\ll R_0$ ), поэтому силу сопротивления на этом «витке» можно считать постоянной величиной. Определите относительное изменение скорости спутника $\frac{\Delta v}{v_0}$ и радиуса орбиты $\frac{\Delta R}{R_0}$ за один оборот.

4 Определите тангенциальное $a_\tau$ (по касательной к орбите) ускорение спутника на этой орбите.

5 С какой скоростью $v_{n0}$ спутник приближается к центру Земли на этой высоте? Если бы плотность атмосферы изменялась по закону $\rho=AR^\alpha$ , то при некотором значении $\alpha$ , эта скорость оставалась бы постоянной величиной. Определите, чему равен этот показатель $\alpha$ .

6 Рассмотренное явление может дать ценную информацию о верхних слоях атмосферы. Сферический зонд с массой $m=100\,кг$ и площадью поперечного сечения $S=1{,}00\,м^2$ выводят на орбиту на высоте $h=208\,км$ . Не составляет большого труда измерять изменение скорости спутника. На рисунке 1 приведён график зависимости скорости спутника от времени наблюдения.

Известно, что плотность атмосферы экспоненциально уменьшается с высотой, т.е. $\rho\sim e^{-\beta h}$ . Используя приведенный график, определите постоянную $\beta$ .

Некоторые постоянные:

Радиус Земли $R_З=6{,}40\cdot10^6\,м$ .

Масса Земли $M=6{,}00\cdot10^{24}\,кг$ .

Решение

Задание 2 «Торможение спутника»

1 При движении спутника, на него действует лишь сила притяжения со стороны Земли (сопротивление пока не учитываем). Она же является центростремительной силой.

G\frac{Mm}{R_0^2}=\frac{mv_0^2}{R_0}.\qquad (1)

Отсюда получаем:

v_0=\sqrt{\frac{GM}{R_0}}.\qquad (2)

Период обращения:

T_0=\frac{2\pi R_0}{v_0}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}R_0^{3/2}.\qquad (3)

2 Полная механическая энергия спутника есть сумма его потенциальной и кинетической энергий:

E_0=-G\frac{Mm}{R_0}+\frac{mv_0^2}{2}=-G\frac{Mm}{2R_0}=-\frac{mv_0^2}{2}.\qquad (4)

Заметим, что полная энергия является отрицательной величиной и по модулю равна кинетической энергии.

3 Т.к. радиус орбиты изменяется несущественно, то можно считать, что на протяжении всего витка на него действует одна и та же постоянная по модулю сила сопротивления $F_C=C\rho_0Sv_0^2$ , т.е. плотность воздуха и скорость в этом выражении считаем постоянными. Эта сила будет совершать отрицательную работу $A_C=-F_C\cdot2\pi R_0$ , что приведёт к уменьшению полной энергии спутника. Для вычисления относительного изменения скорости, воспользуемся выражением полной энергии спутника через его скорость. Тогда закон сохранения энергии примет вид:

-\frac{mv_0^2}{2}-C\rho_0Sv_0^2\cdot2\pi R_0=-\frac{m(v_0+\Delta v)^2}{2}.\qquad (5)

Сразу же отметим, что скорость должна увеличиваться. Преобразуем выражения, стоящие в правой части равенства.

(v_0+\Delta v)^2=v_0^2\left(1+\frac{\Delta v}{v_0}\right)^2=v_0^2\left(1+2\frac{\Delta v}{v_0}+\left(\frac{\Delta v}{v_0}\right)^2\right)\approx v_0^2\left(1+2\frac{\Delta v}{v_0}\right).\qquad (6)

В последнем преобразовании было учтено, что величина $\left(\frac{\Delta v}{v_0}\right)^2$ очень маленькая, поэтому её можно не учитывать.

Используя такое упрощение и преобразуя уравнение (5), получим:

\frac{\Delta v}{v_0}=2\pi R_0\frac{C\rho_0S}{m}.\qquad (7)

Для определения относительного изменения радиуса орбиты, поступим следующим образом. Из (2) следует, что:

v_0^2R_0=GM=const.\qquad (8)

Другими словами, произведения квадрата скорости на радиус орбиты остаётся постоянной величиной. Значит:

(v_0+\Delta v)^2\cdot(R_0-\Delta R)=v_0^2R_0.\qquad (9)

Совершив, преобразование (6), получим:

\frac{\Delta R}{R_0}=2\frac{\Delta v}{v_0}=4\pi R_0\frac{C\rho_0S}{m}.\qquad (10)

Заметим, что в решении этого пункта присутствует существенное упрощение. С одной стороны мы считаем силу постоянной, а, т.к. в выражение для силы входит квадрат скорости, то его мы фактически тоже считаем постоянным. С другой стороны мы ищем изменение этой самой скорости. На самом деле, с изменением скорости изменяется и сила сопротивления, и точное решение будет несколько отличаться от полученного нами. Однако для малых относительных изменений скорости это различие будет несущественным и такой метод решения вполне применим.

4 Выражение для тангенциального ускорения легко получить, разделив изменение скорости спутника на величину промежутка времени, за который это изменение произошло, т.е. на продолжительность одного «витка».

a_T=\frac{\Delta v}{2\pi R_0/v_0}=\frac{C\rho_0Sv_0^2}{m}=\frac{F_C}{m}.\qquad (11)

Такой вот получается парадокс. Вроде как сила сопротивления, а приводит к ускорению спутника.

5 Скорость снижения спутника находится аналогично:

v_{n0}=\frac{\Delta R}{2\pi R_0/v_0}=\frac{2R_0C\rho_0Sv_0}{m}.\qquad (12)

Используя выражение (2), получим:

v_{n0}=\frac{2C\rho_0S\sqrt{GM}}{m}\cdot\sqrt{R_0}.\qquad (13)

Если плотность будет убывать обратно пропорционально корню квадратному от расстояния до центра Земли, то скорость $v_{n0}$ не будет изменяться. Поэтому

\alpha=-\frac12.\qquad (14)

6 Рассмотрим подробнее выражение (11). Выражая плотность, получим:

\rho=\frac{m}{CS}\frac1{v^2}a_T=\frac{m}{CS}\frac1{v^2}\frac{\Delta v}{\Delta t}.\qquad (15)

Таким образом, чтобы найти плотность, надо знать скорость и ускорение спутника. Кроме того, понадобится также определять высоту, на которой находится спутник в данный момент времени:

h=R-R_0=\frac{GM}{v^2}-R_0.\qquad (16)

Подставим известные численные значения постоянных и получим:

\rho=100\frac1{v^2}\frac{\Delta v}{\Delta t}\qquad (17)

h=\frac{4{,}00\cdot10^{14}}{v^2}-6{,}4\cdot10^6.\qquad (18)

Для вычисления $\rho(h)$ необходимо на приведённом графике взять несколько точек, по значению скорости вычислить высоту полёта спутника, а проведя касательные в этих точках, вычислить ускорения, что позволит определить плотность атмосферы. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1.

$v$ , м/с	$h$ , км	$\Delta v/\Delta t$ , м/с²	$\rho$ , кг/м³	$\ln(\rho)$
7780	208	$6{,}6\cdot10^{-6}$	$1{,}1\cdot10^{-11}$	-25
7790	192	$5{,}6\cdot10^{-5}$	$9{,}5\cdot10^{-11}$	-23
7800	175	$4{,}3\cdot10^{-4}$	$7{,}0\cdot10^{-10}$	-21
7810	158	$4\cdot10^{-3}$	$7\cdot10^{-9}$	-19

Точно провести касательную — сложная задача, поэтому ускорение приведено с двумя (а в последнем случае — с одной) значащими цифрами.

Видим, что в пятидесятикилометровом интервале высоты плотность изменяется почти на три порядка. В таблице также вычислен натуральный логарифм от плотности, что необходимо для определения $\beta$ . На рисунке 1 приведён график $\ln(\rho)=f(h)$ . Можно с достаточной долей уверенности сказать, что плотность действительно будет убывать по экспоненциальному закону.

Исходный рисунок — k10-2-density-logarithm — Рис. 1

Из этого графика можно получить величину постоянной $\beta$ :

\beta=(1{,}3\pm0{,}2)\cdot10^{-1}\ \text{км}^{-1}=(1{,}3\pm0{,}2)\cdot10^{-4}\ \text{м}^{-1}.\qquad (19)

Примечание к оригиналу

В оригинале сохранены девять отдельно напечатанных теоретических задач 9,10 и11 классов.39 пронумерованных запросов и два раздела с вопросами без отдельной нумерации; предварительное каталожное число40 не заменяет исходную структуру. Ключ кинематической диаграммы содержит пункты1–6 при пяти основных пунктах условия. Условие погоды пропускает номер2.2.3. Полные14 страницы условий и26 страницы доступного официального ключа переданы с исходными графиками и таблицами. В исходном ключе пять математических символов в формулах на страницах4,5 и19 изображены нечитаемыми прямоугольниками; они обозначены □ и сопровождаются исходными фрагментами без догадки об их значении. Сохранены печатные расхождения: повтор u₁ в последней формуле кинематической диаграммы; знак разности концентраций в условии и ключе; ε₀ и множители в нервной модели; Вт/см² и кВт/см² в описании бистабильности; степень T₀² в формуле(23) погоды; A₃ на схемах и A₁ в формулах; повторные номера/ссылки формул; N≈3000 и3·10⁻⁴с в ключе лазерного охлаждения. Научные значения и исходные ошибки не исправлены скрыто. Отдельная численная шкала оценивания, список авторов и внешние приложения в этом комплекте не напечатаны.

Оригинал в Архива: 2007problems.pdf · официални решения: 2007solutions.pdf