BelPhO 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-3. 10 класс · Задание 3. «Нервное возбуждение»

Республиканская физическая олимпиада 2007 года — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Условие

10 класс. Задание 3. «Нервное возбуждение»

А. Ходжкин. и Э. Хаксли получили Нобелевскую премию по физиологии и медицине 1963 г. «за открытия, касающиеся ионных механизмов, участвующих в возбуждении и торможении в периферическом и центральном участках мембраны нервной клетки».

Основой жизнедеятельности живых организмов, во многом, являются процессы, протекающие в мембранах клеток. В данной задаче вам необходимо рассмотреть некоторые подходы к описанию процесса возбуждения нервных клеток в рамках примитивной модели.

Основная идея теории возбуждения клетки заключается описании процессов переноса ионов через мембрану. Проницаемость мембраны различна для различных ионов, кроме того в мембрану встроены большие белковые молекулы, играющие роль насосов, способных переносить ионы определенного типа с одной стороны мембраны на другую (затрачивая на это энергию). Благодаря наличию этих насосов – каналов, концентрации ионов различны с разных сторон от мембраны, и как следствие появляется разность электрических потенциалов между противоположными стенками мембраны.

Еще более упростим модель. Будем считать, что мембрана является плоскопараллельной пластинкой толщиной $a$. Снаружи клетки находится слой жидкости (воды) толщиной $h_0$, а внутриклеточное пространство моделируется слоем жидкости толщиной $h_1$. Диэлектрические проницаемости всех сред будем считать равными единице. Концентрации частиц вне клетки будем обозначать $C_0$, а внутри - $C_1$ (при необходимости будем добавлять индексы, указывающие тип частиц).

1 Диффузия.

Рассмотрим движение незаряженных молекул через мембрану без «насосов» (считаем, что электрических зарядов в природе не существует). Плотность диффузионного потока частиц $q$ (число частиц пересекающих единицу площади мембраны в единицу времени) пропорциональна разности концентраций этих частиц с противоположных сторон мембраны

где $g$ - коэффициент пропорциональности, который назовем проницаемостью мембраны для данных частиц.

Пусть в начальный момент времени концентрации рассматриваемых частиц с разных сторон мембраны различны. Оцените время, в течение которого концентрации частиц выровняются.

2 Вынужденный перенос и диффузия.

Рассмотрим теперь мембраны в которую встроены каналы-насосы принудительно переносящие рассматриваемые молекулы внутрь клетки. Пусть эти каналы равномерно распределены по поверхности мембраны, причем на единицу площади приходится $n$ каналов, каждый из которых переносит в единицу времени $m$ молекул из внеклеточного пространства внутрь клетки.

Определите установившуюся разность концентраций $\overline{\Delta C}=C_0-C_1$ между разными сторонами мембраны.

3 Электрическое поле.

Далее будем считать, что рассматриваемые частицы являются ионами калия $K^+$. Пусть концентрация ионов вне клетки равна $C_0$, а внутри нее $C_1$. Найдите разность потенциалов³ между стенками мембраны $\Delta\varphi$, пренебрегая наличием ионов внутри мембраны.

³ В реальности внутри и вне клетки присутствуют ионы и других типов, которые также вносят свой вклад в создание поля. Однако их концентрации практически не изменяются поэтому основную роль играют потенциалы изменяющихся полей, создаваемых теми ионами, концентрации которых изменяются. Поэтому здесь и в дальнейшем принимаем во внимание только их и поля создаваемые ими.

4 Перенос ионов.

При наличии электрического поля помимо потока ионов через мембрану, обусловленного разностью концентрации, появляется поток ионов, обусловленный наличием электрического поля. В этом случае суммарная плотность потока ионов через мембрану определяется формулой

где $\Delta\varphi$ - разность потенциалом между стенками мембраны, $C_i$ - концентрация ионов с той стороны мембраны, от которой начинается движение ионов через мембрану под действием электрического поля (для положительных ионов со стороны большего потенциала).

Найдите установившуюся разность потенциалов между стенками мембраны.

Используйте все характеристики мембраны, введенные в предыдущих пунктах. При равенстве концентраций с разных сторон от мембраны, эти концентрации равны $C_e$.

5 Эквивалентная схема.

Процессы протекания тока через мембрану могут быть описаны с помощью эквивалентной электрической схемы. Свяжите параметры этой схемы ЭДС источника и сопротивление цепи с параметрами реальной мембраны и характеристиками ионных потоков.

6 Как показали А. Ходжкин. и Э. Хаксли для объяснения возникновения нервных импульсов необходимо принимать во внимание, как минимум два типа ионов. Вторым основным типов ионов являются ионы натрия $Na^+$. В мембране также присутствуют натриевые каналы – насосы, принудительно переносящие ионы натрия из клетки наружу. Будем считать, что для обоих типов ионов известны параметры эквивалентных схем $R_K,\varepsilon_K$ и $R_{Na},\varepsilon_{Na}$ ($\varepsilon_{Na}>\varepsilon_K$). Пусть изначально все натриевые каналы закрыты, а затем в некоторый момент времени открываются на небольшой промежуток времени $\tau$. Опишите, как будет изменяться разность потенциалов между стенками мембраны с течением времени. Постройте примерный график этой зависимости.

Если вы все решили правильно, то полученный график и будет моделировать временной ход нервного импульса!

Решение

Покажи официалното решение

Оригинал в Архива: 2007problems.pdf · официални решения: 2007solutions.pdf