Съдържание

BelPhO 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1. 11 класс · Задание 1. Разминка.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

Республиканская физическая олимпиада 2007 года — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Исходные сведения

УТВЕРЖДЕНО
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь
_____________________ К.С. Фарино
«___» марта 2007 г.

Республиканская физическая олимпиада 2007 год. г. Минск. Теоретический тур.
9 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2007 года

приветствуют вас в городе Минске;
поздравляют с успешными выступлениями на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь в оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Во всех задачах ускорение свободного падения считать равным $g=9{,}81\,\frac{м}{с^2}$ .

Условие

11 класс. Задание 1. Разминка.

1.1 «Оптическая бистабильность»

Интерферометр Фабри-Перо (ИФП) представляет собой два тонких плоских зеркала с коэффициентом отражения по интенсивности $R=0{,}50$ каждое, расположенных параллельно на расстоянии $L=3{,}00\,см$ . На интерферометр направляют параллельный монохроматический пучок лазерного излучения с длиной волны $\lambda=500\,нм$ . В результате многократного отражения и интерференции света коэффициент пропускания (т.е. отношение интенсивности выходящего излучения $I_{вых}$ к интенсивности входящего $I_{вх}$ ) описывается формулой

T=\frac{1}{1+\frac{4R}{(1-R)^2}\sin^2\psi},

где $\psi$ – набег фазы световой волны при однократном прохождении от левого зеркала до правого.

Исходная схема интерферометра Фабри-Перо: двазеркала/L/полные лучи/входIвх/выходIвых/стрелки.

Пространство между зеркалами заполняют прозрачным диэлектриком, средний показатель преломления которого зависит от интенсивности света, выходящего⁴ из интерферометра

n=n_0+\gamma I_{вых},

где $n_0=2{,}30$ , $\gamma=1{,}80\cdot10^{-8}\,см^2/Вт$ .

Изобразите график зависимости выходной интенсивности света от входной интенсивности при плавном изменении $I_{вх}$ от 0 до $1\,кВт/см^2$ и обратно до 0. Поглощением света в диэлектрике пренебречь.

⁴ Логичней, конечно задавать зависимость показателя преломления диэлектрика от интенсивности света в нем, но мы решили упростить вам жизнь.

1.2 «Грязный космос»

Ракета массой $m$ , летящая в космическом пространстве с выключенными двигателями со скоростью $\upsilon_0$ , попадает в облако пыли (Рис.2) со средней плотностью $\rho$ , имеющее протяженность $L$ в направлении движения ракеты. Пылинки неподвижны и прилипают к ракете при столкновениях с ней. Площадь поперечного сечения ракеты $S$ . Какую скорость $\upsilon$ будет иметь ракета при вылете из облака пыли? Сколько времени $t$ займет пролет ракеты через облако?

Рис. 2

Решение

1.1 «Оптическая бистабильность»

В интерферометре Фабри-Перо коэффициент пропускания зависит от набега фазы

\psi=\frac{2\pi}{\lambda}nL\qquad (1)

при однократном прохождении световой волной пространства между зеркалами. В сильных световых полях (на практике для этого годится излучение лазера) вещества начинают проявлять нелинейные свойства, например, показатель преломления начинает зависеть от интенсивности света. Поскольку величина показателя преломления определяет набег фазы $\psi$ , это означает, что коэффициент пропускания интерферометра, заполненного нелинейным веществом, зависит от интенсивности падающего на него излучения. Ясно, что показатель преломления зависит от интенсивности (точнее, от квадрата модуля электрической напряженности) световой волны внутри интерферометра, но теоретический расчет показывает, что она пропорциональна интенсивности выходящего излучения, поэтому в условии сказано $n=n_0+\gamma I_{\text{ВЫХ}}$ .

Итого, получается

I_{\text{ВЫХ}}=\frac{I_{\text{ВХ}}}{1+\frac{4R}{(1-R)^2}\sin^2\left(\frac{2\pi}{\lambda}L(n_0+\gamma I_{\text{ВЫХ}})\right)},\qquad (2)

I_{\text{ВЫХ}}\left[1+\frac{4R}{(1-R)^2}\sin^2\left(\frac{2\pi}{\lambda}L(n_0+\gamma I_{\text{ВЫХ}})\right)\right]=I_{\text{ВХ}}.\qquad (3)

Решать уравнение (3) относительно $I_{\text{ВЫХ}}$ достаточно непросто, но этого и не требуется — необходимо построить график зависимости $I_{\text{ВЫХ}}$ от $I_{\text{ВХ}}$ . Для этого можно просчитать обратную зависимость $I_{\text{ВХ}}$ от $I_{\text{ВЫХ}}$ (что гораздо проще), а потом построить необходимый график.

Как видно по графику, зависимость $I_{\text{ВЫХ}}$ от $I_{\text{ВХ}}$ не является функцией, поскольку на участке между $200\ \text{кВт/см}^2$ и $600\ \text{кВт/см}^2$ одному значению абсциссы соответствует несколько ординат точек графика. Какие же из них будут реализовываться на практике? Для ответа на этот вопрос построим зависимость коэффициента пропускания интерферометра от выходной интенсивности.

Исходный рисунок — k11-1-bistability-main

Исходный рисунок — k11-1-transmission-output

Рассмотрим точку X на участке BC, соответствующую $I_{\text{ВХ}}=400\ \text{кВт/см}^2$ . Предположим, что случайно $I_{\text{ВХ}}$ увеличилось. Это приведёт к уменьшению $I_{\text{ВЫХ}}$ и, следственно, к уменьшению коэффициента пропускания, а это приведет к дальнейшему уменьшению $I_{\text{ВЫХ}}$ , что означает, что участок BC- неустойчивый и на практике он реализовываться не будет. Аналогично можно показать, что участки AB и CD — устойчивые. А это означает, что при увеличении $I_{\text{ВХ}}$ от нуля до $200\ \text{кВт/см}^2$ изменение $I_{\text{ВЫХ}}$ будет соответствовать графику OABDE, а при обратном уменьшении до нуля — EDCAO.

В данной системе возникает бистабильность — когда одной входной интенсивности соответствует два устойчивых значения выходной интенсивности, причем то, какое из них будет реализовано, зависит от направления изменения $I_{\text{ВХ}}$ .

Если же далее увеличивать входную интенсивность, возникает ещё несколько устойчивых состояний интерферометра — это называется мультистабильностью.

1.2 «Грязный космос»

Пусть ракета прошла расстояние $x$ внутри облака пыли (рис. 2). Тогда «заметенный» ракетой объем содержит массу пыли $\Delta m=\rho V=\rho Sx$ .

Согласно условию, пыль массой $\Delta m$ прилипла к ракете, следовательно ее масса возросла, а скорость, соответственно, уменьшилась.

Согласно закону сохранения импульса (система замкнута) найдем скорость ракеты в этот момент

m\upsilon_0=(m+\Delta m)\upsilon\quad\Rightarrow\quad\upsilon(x)=\frac{m\upsilon_0}{m+\rho Sx}.\qquad (1)

Скорость ракеты при вылете из облака найдем, подставив в (1) значение $x=L$

\upsilon(x=L)=\frac{m\upsilon_0}{m+\rho SL}.

Для нахождения времени $t$ движения ракеты в облаке перепишем (1) в виде

\frac1{\upsilon(x)}=\frac1{\upsilon_0}+\frac{\rho S}{m\upsilon_0}\cdot x.\qquad (2)

Тогда

t=\int dt=\int_0^L\frac{dx}{\upsilon(x)}=\{(2)\}=\int_0^L\left(\frac1{\upsilon_0}+\frac{\rho S}{m\upsilon_0}\cdot x\right)dx=\left.\frac1{\upsilon_0}\cdot x\right|_0^L+\left.\frac{\rho S}{m\upsilon_0}\cdot\frac{x^2}{2}\right|_0^l=\frac{L}{\upsilon_0}\left(1+\frac{\rho SL}{2m}\right).\qquad (3)

Заметим, что задачу вполне можно решить и без интегрирования. Для этого следует подобрать «удобные» координаты, в которых площадь под графиком имеет размерность времени.

Рассмотрим зависимость «обратной скорости» $1/\upsilon$ от пройденного расстояния $x$ . Малое расстояние $\Delta x$ ракета пролетает за время $\Delta t=\Delta x/\upsilon=(1/\upsilon)\cdot\Delta x$ , что соответствует площади выделенного элементарного столбика на рис. 3.

Исходный рисунок — k11-1-inverse-speed-area

Таким образом, суммарная площадь под приведенным графиком на участке от нуля до $x=L$ равна времени $t$ движения ракеты внутри облака.

В данном случае суммирование элементарных времен $\Delta t$ сводится к нахождению площади трапеции

t=\frac12\left(\frac1{\upsilon_0}+\frac1\upsilon\right)\cdot L=\frac{L}{\upsilon_0}\left(1+\frac{\rho SL}{2m}\right).\qquad (4)

Заметим, что плотность межзвездного вещества (пыли, газа, плазмы) мала ( $\rho\to0$ ), но конечна. Как следует из (4), эффект торможения ракеты межзвездной пылью может оказаться существенным при протяженных ( $L\to\infty$ ) космических путешествиях.

Примечание к оригиналу

В оригинале сохранены девять отдельно напечатанных теоретических задач 9,10 и11 классов.39 пронумерованных запросов и два раздела с вопросами без отдельной нумерации; предварительное каталожное число40 не заменяет исходную структуру. Ключ кинематической диаграммы содержит пункты1–6 при пяти основных пунктах условия. Условие погоды пропускает номер2.2.3. Полные14 страницы условий и26 страницы доступного официального ключа переданы с исходными графиками и таблицами. В исходном ключе пять математических символов в формулах на страницах4,5 и19 изображены нечитаемыми прямоугольниками; они обозначены □ и сопровождаются исходными фрагментами без догадки об их значении. Сохранены печатные расхождения: повтор u₁ в последней формуле кинематической диаграммы; знак разности концентраций в условии и ключе; ε₀ и множители в нервной модели; Вт/см² и кВт/см² в описании бистабильности; степень T₀² в формуле(23) погоды; A₃ на схемах и A₁ в формулах; повторные номера/ссылки формул; N≈3000 и3·10⁻⁴с в ключе лазерного охлаждения. Научные значения и исходные ошибки не исправлены скрыто. Отдельная численная шкала оценивания, список авторов и внешние приложения в этом комплекте не напечатаны.

Оригинал в Архива: 2007problems.pdf · официални решения: 2007solutions.pdf