Съдържание

Условие Часть 1. Теоретическая.Часть 2. Закон вытекания.Часть 3. Другие отверстия.Отговори Решение

BelPhO 2008, Областен етап, 10–11 клас — Задача 3. 10 класс. Задание 1. «Формула Торричелли»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

Республиканская физическая олимпиада 2008 год (III Этап). Экспериментальный тур

10* класс (двенадцатилетняя школа).

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с обеими задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте подписать каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

10 класс (11-летняя школа).

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с обеими задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте подписать каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

11 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с обеими задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте подписать каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

Оборудование: бутылка пластиковая 0,5 л без дна, три пробки с дырками известных диаметров, полоска миллиметровой бумаги, скотч, секундомер, сосуд для воды (1 л), штатив с лапкой.

Для скорости вытекания воды из сосуда через небольшое отверстие Э. Торричелли установил формулу

V = \sqrt{2gh}, \qquad (1)

где $h$ - высота уровня жидкости над отверстием, $g = 9{,}8\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ - ускорение свободного падения.
Вам предстоит проверить справедливость этой формулы для скорости вытекания воды из бутылки через отверстие в пробке. Соберите установку, как показано на рисунке. Прикрепите к боковой поверхности бутылки полоску миллиметровой бумаги.

Фотография установки: пластиковая бутылка без дна вверх дном закреплена в лапке штатива над колбой с водой; рядом секундомер и три пробки.

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Считая формулу Торричелли справедливой покажите, для высота уровня жидкости в вертикальном цилиндрическом сосуде при вытекании воды через отверстие в дне зависит от времени по закону

h = h_0(1 - bt)^2, \qquad (2)

где $h$ - высота уровня жидкости над уровнем отверстия, $h_0$ - начальная высота уровня жидкости, $b$ - постоянный коэффициент, зависящий от размеров сосуда и отверстия.

1.2 Выразите коэффициент $b$ в формуле (2) через параметры вашей установки и начальную высоту уровня жидкости в сосуде.

Часть 2. Закон вытекания.

2.1 Измерьте зависимость высоты уровня жидкости в сосуде от времени, при вытекании воды через отверстие минимального диаметра, постройте график полученной зависимости.

2.2 Проверьте выполнимость закона движения (2).

2.3 Определите при каком значении коэффициента $b$ формула (2) наиболее точно описывает экспериментальные данные.

2.4 Сравните экспериментально определенное и рассчитанное значения этого коэффициента. Объясните причины возможных отклонений.

Часть 3. Другие отверстия.

3.1 Измерьте зависимость времени полного вытекания воды из бутылки (при постоянном начальном уровне) от диаметра отверстия.

3.2 Объясните полученные в п. 3.1 результаты, сравнив их с вашими расчетными значениями.

Отговори

Решение

1.1 Пусть начальная высота жидкости в сосуде $h_0$ , внутренний диаметр сосуда $D$ , диаметр отверстия $d$ (рис.1). В момент, когда высота жидкости в сосуде равна $h$ , скорость вытекания жидкости из сосуда, согласно формуле Торричелли $\upsilon(h) = \sqrt{2gh}$ .

Схема цилиндрического сосуда с водой и сужающимся дном с отверстием диаметра d; обозначены внутренний диаметр D, начальная высота h₀ (пунктирный уровень), текущая высота h и вектор g. — Рис. 1

Соответственно, за малый промежуток времени $\Delta t$ из отверстия вытечет вода объемом (считаем, что в течение этого малого промежутка времени скорость вытекания остается постоянной величиной)

\Delta V = \frac{\pi d^2}{4}\upsilon(h)\Delta t = \frac{\pi d^2}{4}\sqrt{2hg}\,\Delta t.

Это вызовет понижение уровня воды в сосуде на величину

\Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{d^2}{D^2}\sqrt{2hg}\,\Delta t. \qquad (1)

Используя выражение, приведенное в условии, вычислим приращение $\Delta h$ как разность $h(t + \Delta t) - h(t)$ при условии $\Delta t \to 0$

\Delta h = h_0(((1 - b(t + \Delta t))^2 - (1 + bt)^2) = 2h_0(1 - bt)b\Delta t. \qquad (2)

Из формулы, приведенной в условии, найдем, что $(1 - bt) = \sqrt{\dfrac{h}{h_0}}$ ), с учетом чего (2) преобразуется к виду

\frac{\Delta h}{\Delta t} = 2h_0(1 - bt)b = 2h_0 b\sqrt{\frac{h}{h_0}} = b\sqrt{\frac{2h_0}{g}}\sqrt{2gh} = \{(1)\} = \frac{d^2}{D^2}\sqrt{2hg}. \qquad (3)

1.2 Из (3) следует выражение для коэффициента $b$ через параметры установки

\boxed{b = \frac{d^2}{D^2}\sqrt{\frac{g}{2h_0}}}. \qquad (4)

Из (4) следует важный вывод: для соблюдения постоянства коэффициента $b$ следует проводить измерения только в цилиндрической части бутылки, т.е. до тех пор, пока вода не опустилась до сужающейся (нижней) части бутылки.

Часть 2. Закон вытекания.

2.1 Аккуратно заливаем воду в бутылку и измеряем зависимость высоты уровня воды в сосуде $H$ от времени $t$ .

В таблице приведены экспериментальные данные для пластиковой бутылки объемом 1 литр при диаметре пробки 1,6 мм.

Построим график приведенной зависимости.

Как видим из графика, полученная зависимость явно нелинейна, поскольку в конце процесса выливания скорость жидкости явно уменьшается.

График «Зависимость высоты от времени»: высота, см (0–25) от времени, с (0–400); точки убывают от 23 см при t = 0 до 7 см при t ≈ 336 с.

H, см	t, с
23	0
22	16
21	32
20	49
19	67
18	84
17	102
16	122
15	143
14	164
13	186
12	205
11	227
10	251
9	279
8	308
7	336

2.2 Как следует из пункта 2.1, для проверки выполнимости закона (2) необходимо линеаризовать систему, т.е. преобразовать выражение (2) таким образом, чтобы полученная зависимость представляла бы собой прямую линию.

В нашем случае это удобно сделать следующим образом

\sqrt{\frac{h(t)}{h_0}} = 1 - bt,

где значение коэффициента $b$ найдено в пункте 1.2. Соответственно, построим зависимость величины $\sqrt{\dfrac{h(t)}{h_0}}$ от времени.

График «Проверка зависимости (2) от времени»: величина √(h/h₀) (0–1,2) от времени, с (0–400); точки на прямой, подпись «y = -0,0013x + 0,998».

Как видим из полученной диаграммы, в данном случае экспериментальные точки достаточно хорошо ложатся на прямую, что подтверждает справедливость зависимости (2).

2.3 Для определения оптимального значения коэффициента можно применить метод МНК для линейной зависимости. Так, для экспериментальных данных, приведенных в таблице, это значение составляет $b = 0{,}0013\,c^{-1}$ .

2.4. В качестве причин возможных отклонений следует назвать наличие у жидкости вязкости (внутреннего трения), возможное неламинарное течение (завихрений) при приближении уровня воды к отверстию, поверхностное натяжение жидкости.

Часть 3. Другие отверстия.

3.1 Как следует из полученных зависимостей, время $\tau$ вытекания обратно пропорционально значению коэффициента $\boxed{b = \dfrac{d^2}{D^2}\sqrt{\dfrac{g}{2h_0}}}$ , который при прочих равных условиях прямо пропорционален квадрату диаметра отверстия. Отсюда следует, что

\tau \infty \frac{1}{d^2}.

Таки образом, отношение времен вытекания воды из бутылки при разных диаметрах отверстий определяется отношением обратных квадратов их радиусов

\tau_1 : \tau_2 : \tau_3 = \frac{1}{d_1^2} : \frac{1}{d_2^2} : \frac{1}{d_3^2}.

Соответственно, в нашем случае

\tau_1 : \tau_2 : \tau_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{4} : \frac{1}{9} = 36 : 9 : 4.

С учетом погрешности эксперимент дает близкие значения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2008_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2008_experimental_solutions.pdf

H, см	t, с
23	0
22	16
21	32
20	49
19	67
18	84
17	102
16	122
15	143
14	164
13	186
12	205
11	227
10	251
9	279
8	308
7	336

H, см	t, с
23	0
22	16
21	32
20	49
19	67
18	84
17	102
16	122
15	143
14	164
13	186
12	205
11	227
10	251
9	279
8	308
7	336

H, см	t, с
23	0
22	16
21	32
20	49
19	67
18	84
17	102
16	122
15	143
14	164
13	186
12	205
11	227
10	251
9	279
8	308
7	336