Съдържание

BelPhO 2008, Областен етап, 10,11 — Задача 5. 10 класс 11-летней школы — 2. «Муфта»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

III этап — теоретический тур, 10 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: три для 10 класса 12-летней школы, три для 10 класса 11-летней школы и три для 11 класса. Эти два разных раздела 10 класса сохранены под исходными названиями. Переданы все 49 основных номерных/буквенных групп, включая внутренние запросы а/б в пунктах 2 и 3 «Баскетбола». Каталог указывает 52 части; дополнительные задания по этому числу не придуманы. Время выполнения, баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения пропадают или заменяются посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригиналов; видимый знак ℏ сохранен. Научные ошибки источника не исправлены.

Баскетбол: в печатном условии дискриминант обозначен D=√(b²−4ac). Выданный листок миллиметровой бумаги в полученных PDF отсутствует; новая форма не изготовлена.

Плавкий предохранитель: последний множитель времени в (1) напечатан с дополнительным l в знаменателе; исходная формула сохранена.

Сейсморазведка: в (2), (4), (13) ключа напечатаны отрицательные квадратичные поправки, тогда как последующие формулы времени и графики используют положительные. В начальной сумме (14) нет множителя 2; последняя скобка (14) печатает h₁/v₂. В (20) первая сумма не содержит третьего слоя, а последний угол обозначен звездочкой. Результат v₂≈3,0 км/с и v₃≈5,4 км/с сопровождается заключением «глина» и «железная руда», хотя в таблице условия глина — 3,5, гранит — 5,4, железная руда — 5,7 км/с. Исходная оговорка о погрешности и все результаты сохранены.

Ошибочная разминка: в знаменателе второго выражения (19) ключ печатает R_A+R(1∓ΔR/(R+R_A)); исходная запись сохранена.

Муфта: ключ сначала задает x₀=L(cosα₁−cosα₀), но затем использует FL/2 в подстановке энергии. Последняя формула и результат 2,8 м/с сохранены.

Электростатический генератор: исходный ключ дает Pmax/Pquarter=ε² и ссылается на (21) при подстановке заряда. Эти исходные результат и ссылка сохранены, без замены расчетной модели.

Системы единиц: в (8) ключ печатает 6,25·10⁸ эВ, хотя в предыдущем равенстве (7) стоит 6,25·10¹⁸ эВ. Напечатанный показатель сохранен.

Копёр: расчет при подаче топлива продолжает использовать ε₁ из упругого случая. Номер (21) использован дважды; формула третьего удара (23) начинается с Δx₂. Оценка после десяти ударов прямо названа завышенной; все исходные обозначения и слова сохранены.

Интерференция: условие печатает «Точеный источник». В ключе минимум задан разностью фаз π(m+1/2), а радиус кольца — √(λL(m+1/2)), при ранее напечатанной интенсивности cos²((φ₁−φ₂)/2). В приближении Юнга отбрасывается постоянный член −d²/(2L). Формулы сохранены как текст источника.

10 класс 12-летней школы. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2007 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 12-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс 11-летней школы. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 11-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

На горизонтальный стержень насажена муфта массы $m_0=1{,}0\,\text{кг}$ , которая может скользить по стержню без трения. К муфте прикреплена легкая прочная нерастяжимая нить длины $L=2{,}0\,\text{м}$ . Второй конец нити закреплен на конце стержня. К середине нити привязан груз массы $m_1=2{,}0\,\text{кг}$ .

Вся схема муфты: стержень/две опоры, нить, обе массы m0/m1, уголα0 и силаF.

А Какую горизонтальную силу $F$ следует приложить к муфте, чтобы удержать груз $m_1$ в равновесии, при котором нить образует угол $\alpha_0=45^\circ$ со стержнем?

Б Систему удерживают в равновесии, так, что нить образует угол $\alpha_0=45^\circ$ со стержнем. Силу, действующую на муфту, увеличили до $F=50\,\text{Н}$ . С каким ускорением начнет двигаться муфта?

В Систему удерживают в равновесии, так, что нить образует угол $\alpha_0=45^\circ$ со стержнем. Силу, действующую на муфту, увеличили до $F=50\,\text{Н}$ . Чему будет равна скорость муфты момент, когда нить образует угол $\alpha_1=30^\circ$ со стержнем?

Решение

А) В положении равновесия выполняются уравнения

m_1g=2T\sin\alpha_0,\qquad F=T\cos\alpha_0,

из которых следует $F=m_1g\cos\alpha_0/(2\sin\alpha_0)\approx10\,\text{Н}$ .

Полная схема равновесия муфты: F,всеT,α0,стержень/груз.

Б) В начале движения распределение сил будет таким, как показано на рисунке. Заметим, что груз начнет смещаться как по горизонтали, так и по вертикали. Уравнения второго закона Ньютона для муфты и груза будут иметь вид

\begin{aligned}m_0a_0&=F-T_1\cos\alpha_0,\\m_1a_{1x}&=(T_1-T_2)\cos\alpha_0,\\m_1a_{1y}&=(T_1+T_2)\sin\alpha_0-m_1g.\end{aligned}\qquad (1)

Полная динамическая схема муфты: F,T1/T2,a0,a1x/a1y,m1g,α0 и все стрелки.

Легко заметить, что горизонтальная составляющая ускорения груза в два раза меньше ускорения муфты $a_{1x}=a_0/2$ . Для поиска связи между ускорением муфты и вертикальной составляющей ускорения груза рассмотрим малые смещения из положения равновесия муфты $\Delta x_0=a_0\tau^2/2$ и груза $\Delta y=a_{1y}\tau^2/2$ за малый промежуток времени $\tau$ . Учитывая неизменность длины нити, запишем на основании теоремы Пифагора

\left(\frac{2l\cos\alpha_0+a_0\tau^2/2}2\right)^2+\left(l\sin\alpha_0-\frac{a_{1y}\tau^2}2\right)^2=l^2,

где обозначено $l$ — длина половинки нити. Возводя в квадрат и пренебрегая малыми слагаемыми, пропорциональными $\tau^4$ , получим искомое соотношение между ускорениями (с учетом $\alpha_0=45^\circ$ ) $a_{1y}=a_0\cos\alpha_0/(2\sin\alpha_0)=a_0/2$ .

Полная исходная геометрическая схема смещений: оба положения нити/груза,α0,Δx0,Δy и все стрелки.

Для упрощения расчетов сразу подставим $\cos\alpha_0=\sin\alpha_0=\sqrt2/2$ в уравнения (1)

m_0a_0=F-T_1\frac{\sqrt2}2,\qquad m_1\frac{a_0}2=(T_1-T_2)\frac{\sqrt2}2,\qquad m_1\frac{a_0}2=(T_1+T_2)\frac{\sqrt2}2-m_1g.

Для решения этой системы уравнений проще всего удвоить первое уравнение и сложить его со вторым и третьим, в результате чего получим

(2m_0+m_1)a_0=2F-m_1g\quad\Rightarrow\quad a_0=\frac{2F-m_1g}{2m_0+m_1}=20\,\text{м}/\text{с}^2.

В) Для определения скорости муфты воспользуемся законом сохранения энергии

Fx_0=\frac{m_0V_0^2}2+\frac{m_1V_{1x}^2}2+\frac{m_1V_{1y}^2}2+m_1gy_1,\qquad (2)

где $x_0=L\cos\alpha_1-L\cos\alpha_0$ — смещение муфты, $y_1=(L/2)(\sin\alpha_0-\sin\alpha_1)$ — высота подъема груза. Горизонтальная составляющая скорости груза в два раза меньше скорости муфты $V_{1x}=V_0/2$ . Связь между скоростью муфты и вертикальной составляющей скорости груза можно установить способом, аналогичным поиску соотношения между ускорениями,

\left(\frac{2l\cos\alpha_1+V_0\tau}2\right)^2+(l\sin\alpha_1-V_{1y}\tau)^2=l^2.

Из этого уравнения следует $V_{1y}=V_0\cos\alpha_1/(2\sin\alpha_1)$ .

Подставляя полученные соотношения в уравнение (2) получим

F\frac L2(\cos\alpha_1-\cos\alpha_0)=\frac{m_0V_0^2}2+\frac{m_1V_0^2}8+\frac{m_1V_0^2}8\left(\frac{\cos\alpha_1}{\sin\alpha_1}\right)^2+m_1g\frac L2(\sin\alpha_0-\sin\alpha_1).

Из этого уравнения можно найти скорость муфты

V_0=\sqrt{\frac{FL(\cos\alpha_1-\cos\alpha_0)-m_1gL(\sin\alpha_0-\sin\alpha_1)}{m_0+m_1/(4\sin^2\alpha_1)}}\approx2{,}8\,\text{м}/\text{с}.

Решения задач теоретического тура

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Решения задач теоретического тура.

Оригинал в Архива: 3_etap_2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2008_theoretical_solutions.pdf