Съдържание

BelPhO 2008, Областен етап, 10,11 — Задача 4. 10 класс 11-летней школы — 1. «Ошибочная разминка»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

III этап — теоретический тур, 10 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: три для 10 класса 12-летней школы, три для 10 класса 11-летней школы и три для 11 класса. Эти два разных раздела 10 класса сохранены под исходными названиями. Переданы все 49 основных номерных/буквенных групп, включая внутренние запросы а/б в пунктах 2 и 3 «Баскетбола». Каталог указывает 52 части; дополнительные задания по этому числу не придуманы. Время выполнения, баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения пропадают или заменяются посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригиналов; видимый знак ℏ сохранен. Научные ошибки источника не исправлены.

Баскетбол: в печатном условии дискриминант обозначен D=√(b²−4ac). Выданный листок миллиметровой бумаги в полученных PDF отсутствует; новая форма не изготовлена.

Плавкий предохранитель: последний множитель времени в (1) напечатан с дополнительным l в знаменателе; исходная формула сохранена.

Сейсморазведка: в (2), (4), (13) ключа напечатаны отрицательные квадратичные поправки, тогда как последующие формулы времени и графики используют положительные. В начальной сумме (14) нет множителя 2; последняя скобка (14) печатает h₁/v₂. В (20) первая сумма не содержит третьего слоя, а последний угол обозначен звездочкой. Результат v₂≈3,0 км/с и v₃≈5,4 км/с сопровождается заключением «глина» и «железная руда», хотя в таблице условия глина — 3,5, гранит — 5,4, железная руда — 5,7 км/с. Исходная оговорка о погрешности и все результаты сохранены.

Ошибочная разминка: в знаменателе второго выражения (19) ключ печатает R_A+R(1∓ΔR/(R+R_A)); исходная запись сохранена.

Муфта: ключ сначала задает x₀=L(cosα₁−cosα₀), но затем использует FL/2 в подстановке энергии. Последняя формула и результат 2,8 м/с сохранены.

Электростатический генератор: исходный ключ дает Pmax/Pquarter=ε² и ссылается на (21) при подстановке заряда. Эти исходные результат и ссылка сохранены, без замены расчетной модели.

Системы единиц: в (8) ключ печатает 6,25·10⁸ эВ, хотя в предыдущем равенстве (7) стоит 6,25·10¹⁸ эВ. Напечатанный показатель сохранен.

Копёр: расчет при подаче топлива продолжает использовать ε₁ из упругого случая. Номер (21) использован дважды; формула третьего удара (23) начинается с Δx₂. Оценка после десяти ударов прямо названа завышенной; все исходные обозначения и слова сохранены.

Интерференция: условие печатает «Точеный источник». В ключе минимум задан разностью фаз π(m+1/2), а радиус кольца — √(λL(m+1/2)), при ранее напечатанной интенсивности cos²((φ₁−φ₂)/2). В приближении Юнга отбрасывается постоянный член −d²/(2L). Формулы сохранены как текст источника.

10 класс 12-летней школы. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2007 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 12-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс 11-летней школы. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 11-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

В результате действия случайных или неслучайных факторов при проведении измерений величины $X$ , результат получается неточным, с погрешностью $\Delta X$ . Случайные изменения относительно среднего значения называют флуктуациями. Диапазон значений, которые может принимать случайная величина, записывают в виде $X=X_0\pm\Delta X$ , а точность измерений при этом характеризуют относительной погрешностью $\delta=\Delta X/X_0$ .

1.1 «Из пушки по…» Как известно, максимальная дальность полета снарядов $s_0$ наблюдается при стрельбе под углом $\alpha_0=45^\circ$ (если местность, где происходит стрельба, плоская и можно пренебречь сопротивлением воздуха). Скорость вылета снаряда из пушки испытывает флуктуации (например, потому, что в них разное количество пороха), и поэтому при стрельбе под углом $\alpha_0=45^\circ$ снаряды летят на расстояние $s_0\pm\Delta s_0$ . Чему будет равна неточность $\Delta s$ попадания в цель при стрельбе под другими углами $\alpha$ ? Изобразите примерный график зависимости $\Delta s(\alpha)$ .

1.2 «Пружинные весы» Для изготовления пружинных весов взяли пружину некоторой жесткости и массы и отградуировали шкалу согласно закону Гука $F=-kx$ . При измерении веса тела массой $M_0$ показание пружинных весов оказалось завышенным и равным $P=M_0g+\Delta P_0$ . Чему будет равна относительная ошибка измерения веса $\delta$ при помощи таких весов? Постройте примерный график зависимости относительной ошибки от массы взвешиваемого тела.

1.3 «Гальванометр» В гальванометре стрелка отклоняется по шкале пропорционально силе тока, протекающего через него. Максимальное отклонение стрелки достигается при силе тока $I_{\max}$ . Гальванометр имеет собственное сопротивление, значение которого может находиться в диапазоне $R\pm\Delta R$ , причем. $\Delta R\ll R$ Из гальванометра можно сделать вольтметр, подключив к нему последовательно достаточно большое сопротивление $R_V$ , или амперметр, подключив к нему параллельно сопротивление $R_A$ . Чему равны максимальные погрешности $\Delta U$ и $\Delta I$ этих приборов? Изобразите примерные графики зависимости относительной погрешности напряжения, измеренного вольтметром, от сопротивления $R_V$ и относительной погрешности силы тока, измеренной амперметром, от сопротивления $R_A$ .

1.4 «Термометр» При помощи термометра, имеющего теплоемкость $C_0$ и находящегося при комнатной температуре $T_0$ , измеряют температуру горячей воды массой $m$ и удельной теплоемкостью $c$ , находящейся в калориметре при температуре $T$ . Чему будет равна относительная ошибка измерения температуры $\delta$ , вносимая термометром? Изобразите примерные графики зависимости относительной погрешности $\delta$ от измеряемой температуры воды $T$ и от массы воды в калориметре $m$ .

1.5 «Лазерный зайчик» Лазер расположен на большом расстоянии $L$ от длинной прямой стены. Тонкий лазерный луч направлен перпендикулярно стене ( $\varphi_0=0$ ). Из-за внешних вибраций направление лазерного луча испытывает малые флуктуации, и лазерный «зайчик» бегает по стене в пределах $\pm\Delta x_0$ . В каких пределах $\pm\Delta x$ будет смещаться пятно от лазера по стене, если луч направлен под углом $\varphi$ ? Изобразите примерный график зависимости $\Delta x(\varphi)$ .

Вся схема лазерного зайчика: стена, лучи, L,±Δx, лазер и все размерные стрелки.

Примечание. Для $\xi\ll1$ справедливы следующие формулы:

\frac1{1+\xi}\approx1-\xi,\qquad\tan(\alpha+\xi)\approx\tan\alpha+\frac\xi{\cos^2\alpha}.

Решение

1.1. «Из пушки по…» Уравнения движения тела, брошенного с начальной скоростью $v$ под углом к горизонту $\alpha$ :

x=v\cos\alpha\cdot t,\qquad (1)

y=v\sin\alpha\cdot t-\frac12gt^2.\qquad (2)

Дальность полета $s$ можно определить, как горизонтальное расстояние, которое пролетел снаряд до момента падения

t^*=\frac{2v\sin\alpha}g,\qquad (3)

s=\frac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}g=\frac{v^2}g\sin2\alpha.\qquad (4)

Если скорость вылета снаряда испытывает малые флуктуации $v=v_0\pm\Delta v_0$ , то и дальность полета будет испытывать малые флуктуации

s\pm\Delta s=\frac{(v_0\pm\Delta v_0)^2}g\sin2\alpha=\frac{v_0^2\pm2v_0\Delta v_0+\Delta v_0^2}g\sin2\alpha\approx\frac{v_0^2}g\sin2\alpha\pm\frac{2v_0\Delta v_0}g\sin2\alpha,\qquad (5)

откуда

\Delta s=\frac{2v_0\Delta v_0}g\sin2\alpha.\qquad (6)

При стрельбе под углом $\alpha_0=45^\circ$ неточность стрельбы максимальна и равна

\Delta s_0=\frac{2v_0\Delta v_0}g.\qquad (7)

Отсюда

\Delta s=\Delta s_0\sin2\alpha.\qquad (8)

Примерный график зависимости $\Delta s(\alpha)$ изображен на рисунке.

Полный график ошибки дальности: Δs/Δs0,все шкалы0–90°,осьα,пунктиры и кривая.

1.2. «Пружинные весы» Очевидно, что показания весов оказались завышенными из-за того, что сама пружина имеет массу, а градуировка по закону Гука производилась при горизонтальном положении пружины. Это значит, что даже без груза весы будет показывать вес $\Delta P_0$ — это и есть их абсолютная погрешность. Относительная погрешность пружинных весов равна

\delta=\frac{\Delta P_0}{M_0g}.\qquad (9)

Примерный график зависимости $\delta(M_0)$ — гипербола — представлен на рисунке.

Полный гиперболический график δ(M0): обе оси,все штрихи/подписи и кривая.

1.3. «Гальванометр» Показания вольтметра будут пропорциональны силе тока, протекающего по нему. При подключении к его клеммам напряжения $U$ сила тока в нем будет равна

I_0\pm\Delta I_0=\frac U{R_V+R\mp\Delta R}=\frac U{(R_V+R)(1\mp\Delta R/(R_V+R))}\approx\frac U{R_V+R}\left(1\pm\frac{\Delta R}{R_V+R}\right),\qquad (10)

I_0=\frac U{R_V+R},\qquad (11)

\Delta I_0=\frac{U\Delta R}{(R_v+R)^2}.\qquad (12)

Максимальное напряжение, которое можно измерить таким вольтметром, равно

U_{\max}=(R_V+R)I_{\max},\qquad (13)

поэтому максимальная погрешность прибора

\Delta U_{\max}=(R_V+R)\Delta I_0=\frac{U_{\max}\Delta R}{R_v+R}=I_{\max}\Delta R.\qquad (14)

Относительная погрешность вольтметра равна

\delta_U=\frac{\Delta U}{U_{\max}}=\frac{\Delta I_0}{I_0}=\frac{\Delta R}{R_V+R}.\qquad (15)

Примерный график зависимости относительной погрешности напряжения, измеренного вольтметром, от сопротивления $R_V$ изображен на рисунке.

Полный график δ(Rv): исходное значениеΔR/R,обе оси/кривая/все подписи.

Поскольку для создания из гальванометра амперметра резистор $R_A$ подключается к нему параллельно, сила тока $I_0$ , втекающая в прибор, будет перераспределяться между гальванометром $I_G$ и подключенным к нему резистором $I_R$ по правилам для параллельно соединенных проводников:

I_0=I_G+I_R,\qquad (16)

I_GR_G=I_RR_A.\qquad (17)

Сила тока, текущего через гальванометр из (16) и (17) равна

I_G=I_0\frac{R_A}{R_A+R_G}.\qquad (18)

Поскольку сопротивление гальванометра имеет погрешность $R_G=R\mp\Delta R$ , то и сила тока, измеряемая им, будет определена с погрешностью

I_G\pm\Delta I_G=I_0\frac{R_A}{R_A+R\mp\Delta R}=I_0\frac{R_A}{R_A+R(1\mp\Delta R/(R+R_A))}=I_0\frac{R_A}{R_A+R}\pm I_0\frac{R_A\Delta R}{(R_A+R)^2}.\qquad (19)

Погрешность измерения будет максимальна при пропускании через гальванометр максимального тока $I_{\max}=I_{0\max}R_A/(R_A+R)$ и равна

\Delta I_{G\max}=I_{0\max}\frac{R_A\Delta R}{(R_A+R)^2}=I_{\max}\frac{\Delta R}{R_A+R}.\qquad (20)

Относительная погрешность измерений будет равна

\delta_I=\frac{\Delta I_G}{I_G}=\frac{\Delta R}{R+R_A}.\qquad (21)

Примерный график зависимости относительной погрешности силы тока, измеренной амперметром, от сопротивления $R_A$ изображен на рисунке.

Полный график δ(RA): исходное значениеΔR/R,обе оси/кривая/все подписи.

1.4. «Термометр» Уравнение теплового баланса

mcT+C_0T_0=(mc+C_0)\Theta,\qquad (22)

где $\Theta$ — установившаяся в равновесии температура.

\Theta=\frac{mcT+C_0T_0}{mc+C_0}.\qquad (23)

Погрешность измерения будет характеризоваться разностью между температурой воды до измерения и установившейся в тепловом равновесии температуры

\Delta T=T-\Theta=T-\frac{mcT+C_0T_0}{mc+C_0}=\frac{C_0(T-T_0)}{mc+C_0}.\qquad (24)

Относительная погрешность

\delta=\frac{\Delta T}T=\frac{C_0}{C_0+mc}\left(1-\frac{T_0}T\right).\qquad (25)

Примерные графики зависимости относительной погрешности $\delta$ от измеряемой температуры воды $T$ и от массы воды в калориметре $m$ изображены на рисунках.

Оба исходных графика термометра целиком: δ(m) и δ(T),все подписи/шкалы/асимптоты/кривые/рамки.

1.5. «Лазерный зайчик» Координата лазерного зайчика равна

x=L\cdot\tan\varphi.\qquad (26)

Поскольку угол испытывает флуктуации $\varphi\pm\Delta\varphi$ , то зайчик смещается по стене. В случае, когда лазерный луч перпендикулярен стенке

\pm\Delta x_0=L\cdot\tan(0\pm\Delta\varphi)\approx\pm L\Delta\varphi,\qquad (27)

откуда можно определить флуктуации угла

\Delta\varphi=\frac{\Delta x_0}L.\qquad (28)

В случае, когда лазерный луч идет под углом $\varphi$ , координата равна

x\pm\Delta x=L\cdot\tan(\varphi\pm\Delta\varphi)\approx L\cdot\tan\varphi\pm L\frac{\Delta\varphi}{\cos^2\varphi},\qquad (29)

а флуктуации координаты зайчика

\Delta x=\frac{L\Delta\varphi}{\cos^2\varphi}=\frac{\Delta x_0}{\cos^2\varphi}.\qquad (30)

График зависимости $\Delta x(\varphi)$ изображен на рисунке.

Полный график Δx(φ): Δx0,все шкалы0–90°,пунктир асимптоты и обе оси/кривая.

Решения задач теоретического тура

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Решения задач теоретического тура.

Оригинал в Архива: 3_etap_2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2008_theoretical_solutions.pdf