Съдържание

BelPhO 2008, Областен етап, 10,11 — Задача 3. 10 класс 12-летней школы — 3. «Сейсморазведка»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

III этап — теоретический тур, 10 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: три для 10 класса 12-летней школы, три для 10 класса 11-летней школы и три для 11 класса. Эти два разных раздела 10 класса сохранены под исходными названиями. Переданы все 49 основных номерных/буквенных групп, включая внутренние запросы а/б в пунктах 2 и 3 «Баскетбола». Каталог указывает 52 части; дополнительные задания по этому числу не придуманы. Время выполнения, баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения пропадают или заменяются посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригиналов; видимый знак ℏ сохранен. Научные ошибки источника не исправлены.

Баскетбол: в печатном условии дискриминант обозначен D=√(b²−4ac). Выданный листок миллиметровой бумаги в полученных PDF отсутствует; новая форма не изготовлена.

Плавкий предохранитель: последний множитель времени в (1) напечатан с дополнительным l в знаменателе; исходная формула сохранена.

Сейсморазведка: в (2), (4), (13) ключа напечатаны отрицательные квадратичные поправки, тогда как последующие формулы времени и графики используют положительные. В начальной сумме (14) нет множителя 2; последняя скобка (14) печатает h₁/v₂. В (20) первая сумма не содержит третьего слоя, а последний угол обозначен звездочкой. Результат v₂≈3,0 км/с и v₃≈5,4 км/с сопровождается заключением «глина» и «железная руда», хотя в таблице условия глина — 3,5, гранит — 5,4, железная руда — 5,7 км/с. Исходная оговорка о погрешности и все результаты сохранены.

Ошибочная разминка: в знаменателе второго выражения (19) ключ печатает R_A+R(1∓ΔR/(R+R_A)); исходная запись сохранена.

Муфта: ключ сначала задает x₀=L(cosα₁−cosα₀), но затем использует FL/2 в подстановке энергии. Последняя формула и результат 2,8 м/с сохранены.

Электростатический генератор: исходный ключ дает Pmax/Pquarter=ε² и ссылается на (21) при подстановке заряда. Эти исходные результат и ссылка сохранены, без замены расчетной модели.

Системы единиц: в (8) ключ печатает 6,25·10⁸ эВ, хотя в предыдущем равенстве (7) стоит 6,25·10¹⁸ эВ. Напечатанный показатель сохранен.

Копёр: расчет при подаче топлива продолжает использовать ε₁ из упругого случая. Номер (21) использован дважды; формула третьего удара (23) начинается с Δx₂. Оценка после десяти ударов прямо названа завышенной; все исходные обозначения и слова сохранены.

Интерференция: условие печатает «Точеный источник». В ключе минимум задан разностью фаз π(m+1/2), а радиус кольца — √(λL(m+1/2)), при ранее напечатанной интенсивности cos²((φ₁−φ₂)/2). В приближении Юнга отбрасывается постоянный член −d²/(2L). Формулы сохранены как текст источника.

10 класс 12-летней школы. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2007 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 12-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс 11-летней школы. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 11-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Для определения расположения полезных ископаемых в толще Земли используют метод сейсморазведки. Для этого в некотором месте на поверхности проводят взрыв — и от него во все стороны в толщу Земли распространяются звуковые волны. В каждой среде звуковые волны распространяются со своей скоростью $v$ . Установленные на поверхности Земли звуковые приемники-микрофоны П1, П2 и т.д. принимают эхо, отраженное от границ слоев — осуществляют эхолокацию.

Вся исходная сейсмическая схема: взрыв, приемники П1/П2, все слои и полные отраженные/преломленные лучи.

При попадании на границу раздела двух сред происходит отражение звуковой волны, причем закон отражения звуковых волн аналогичен закону отражения света: угол падения равен углу отражения

\varphi_{\text{пад}}=\varphi_{\text{отр}}.

При попадании на границу раздела двух сред, в первой из которых волна распространяется со скоростью $v_1$ , а во второй со скоростью $v_2$ , звуковая волна испытывает преломление, причем закон преломления звуковых волн аналогичен закону преломления света

\frac{\sin\varphi_{\text{пад}}}{v_1}=\frac{\sin\varphi_{\text{прел}}}{v_2}.

Для малых углов падения закон преломления упрощается

\frac{\varphi_{\text{пад}}}{v_1}=\frac{\varphi_{\text{прел}}}{v_2}.

1 При помощи сейсморазведки исследуют недра Земли, в которых породы расположены в три слоя толщинами $h_1,h_2,h_3$ со скоростями звука $v_1,v_2,v_3$ соответственно. Динамит заложен на расстоянии $2l$ от приемника. Через какое время от начала взрыва к приемнику придет эхо от первой границы слоев, от второй границы, от третьей? Изобразите примерный график зависимости громкости звука $I$ , регистрируемой микрофоном, от времени.

Полные соседние исходные схемы преломления и трехслойного исследования, объединены из-за тесного расположения. Все лучи, углы, v1/v2, взрыв, П,2l,h1/v1,h2/v2,h3/v3,стрелки и границы.

Считайте расстояние от места взрыва до акустического приемника много меньшим толщин слоев.

2 Для исследования недр Земли было установлено пять приемников П1, П2, П3, П4, П5 на расстояниях соответственно 40 м, 80 м, 120 м, 160 м, 200 м от места взрыва. Зарегистрированные ими сигналы приведены на графике. Определите состав и толщины слоев земных недр. Скорость звука в различных породах приведена в таблице.

Вещество	Скорость звука, км/с
глина	3,5
гранит	5,4
железная руда	5,7
медная руда	4,7
мрамор	3,9
оловянная руда	3,3
песок	4,2

Весь исходный составной график пяти приемников: общий обзор, все четыре развертки времени, кривые П1–П5, подписи, шкалы/оси, стрелки и границы.

Примечание.

Очень удобно измерять углы не в градусах, а в радианах. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его на $0{,}01745$ : $\varphi(\text{рад})=\varphi^\circ\cdot0{,}01745$ . Для малых углов $\varphi$ , измеренных в радианах, выполняются следующие соотношения

\sin\varphi\approx\tan\varphi\approx\varphi,\qquad\cos\varphi\approx1-\frac{\varphi^2}2.

Для малых величин $\xi\ll1$ справедливы следующие соотношения

\frac1{1+\xi}\approx1-\xi,\qquad\sqrt{1+\xi}\approx1+\frac\xi2,\qquad(1+\xi)^n\approx1+n\xi.

Решение

1. Поскольку по условию толщины слоев намного большие, чем расстояние от места взрыва до приемника, то углы падения звуковых волн на границу раздела слоев можно считать малыми. Рассмотрим возможные пути распространения звука от места взрыва до приемника (см. рисунок):

0) Без отражений (вблизи земной поверхности). Время, за которое звук дойдет до приемника, равно

t_0=\frac{2l}{v_1}.\qquad (1)

1) Отражение от первой границы. Угол падения на границу $\varphi_1$ равен углу отражения. Путь, пройденный звуком, равен

s_1=2\frac{h_1}{\cos\varphi_1}\approx2\frac{h_1}{1-\varphi_1^2/2}\approx2h_1\left(1-\frac{\varphi_1^2}2\right).\qquad (2)

при этом сам угол падения

\varphi_1\approx\tan\varphi_1=\frac l{h_1},\qquad (3)

откуда время распространения звукового сигнала от места взрыва до приемника равно

t_1=\frac{2h_1}{v_1}\left(1-\frac{\varphi_1^2}2\right)\approx\frac{2h_1}{v_1}\left(1-\frac{l^2}{h_1^2}\right)=\frac{2h_1}{v_1}-\frac1{h_1v_1}l^2.\qquad (4)

2) Отражение от второй границы. Угол падения $\varphi_1^*$ связан с углом преломления $\varphi_2^*$ законом преломления

\frac{\sin\varphi_1^*}{v_1}=\frac{\sin\varphi_2^*}{v_2},\qquad (5)

который ввиду малости углов можно записать, как

\frac{\varphi_1^*}{v_1}=\frac{\varphi_2^*}{v_2},\qquad (6)

откуда

\varphi_2^*=\frac{v_2}{v_1}\varphi_1^*.\qquad (7)

Кроме того, горизонтальное смещение звукового луча до точки отражения равно $l$

l=h_1\tan\varphi_1^*+h_2\tan\varphi_2^*\approx h_1\varphi_1^*+h_2\varphi_2^*.\qquad (8)

Из (7) и (8) находим значения углов

l=h_1\varphi_1^*+h_2\varphi_2^*=h_1\varphi_1^*+h_2\frac{v_2}{v_1}\varphi_1^*=\frac{h_1v_1+h_2v_2}{v_1}\varphi_1^*,\qquad (9)

\varphi_1^*=\frac{v_1}{h_1v_1+h_2v_2}l,\qquad (10)

\varphi_2^*=\frac{v_2}{h_1v_1+h_2v_2}l.\qquad (11)

Пусть луч прошел расстояние $s_1^*$ в первой среде и $s_2^*$ во второй. Эти расстояния можно выразить через толщины слоев $h_1,h_2$ и углы $\varphi_1^*,\varphi_2^*$ :

s_1^*=\frac{h_1}{\cos\varphi_1^*}\approx h_1\left(1+\frac{\varphi_1^{*2}}2\right),\qquad (12)

s_2^*=\frac{h_2}{\cos\varphi_2^*}\approx h_2\left(1-\frac{\varphi_2^{*2}}2\right).\qquad (13)

Время распространения звукового сигнала от места взрыва до приемника равно

\begin{aligned}t_2&=\frac{s_1^*}{v_1}+\frac{s_2^*}{v_2}=2\frac{h_1}{v_1}\left(1+\frac{\varphi_1^{*2}}2\right)+2\frac{h_2}{v_2}\left(1+\frac{\varphi_2^{*2}}2\right)\\&=2\left(\frac{h_1}{v_1}+\frac{h_2}{v_2}\right)+\frac{h_1}{v_1}\varphi_1^{*2}+\frac{h_2}{v_2}\varphi_2^{*2}\\&=2\left(\frac{h_1}{v_1}+\frac{h_2}{v_2}\right)+\frac{h_1}{v_1}\left(\frac{v_1}{h_1v_1+h_2v_2}\right)^2l^2+\frac{h_2}{v_2}\left(\frac{v_2}{h_1v_1+h_2v_2}\right)^2l^2\\&=2\left(\frac{h_1}{v_2}+\frac{h_2}{v_2}\right)+\frac1{h_1v_1+h_2v_2}l^2.\end{aligned}\qquad (14)

3) Отражение от третьей границы. Угол падения $\varphi_1^\dagger$ связан с углом преломления $\varphi_2^\dagger$ и углом преломления $\varphi_3^\dagger$ законом преломления

\frac{\sin\varphi_1^\dagger}{v_1}=\frac{\sin\varphi_2^\dagger}{v_2}=\frac{\sin\varphi_3^\dagger}{v_3},\qquad (15)

который ввиду малости углов можно записать, как

\frac{\varphi_1^\dagger}{v_1}=\frac{\varphi_2^\dagger}{v_2}=\frac{\varphi_3^\dagger}{v_3},\qquad (16)

откуда

\varphi_2^\dagger=\frac{v_2}{v_1}\varphi_1^\dagger,\qquad (17)

\varphi_3^\dagger=\frac{v_3}{v_1}\varphi_1^\dagger.\qquad (18)

Кроме того, горизонтальное смещение звукового луча до точки отражения равно $l$

l=h_1\tan\varphi_1^\dagger+h_2\tan\varphi_2^\dagger+h_3\tan\varphi_3^\dagger\approx h_1\varphi_1^\dagger+h_2\varphi_2^\dagger+h_3\varphi_3^\dagger.\qquad (19)

Из (16), (17) и (18) находим значения углов

l=h_1\varphi_1^\dagger+h_2\varphi_2^\dagger=h_1\varphi_1^\dagger+h_2\frac{v_2}{v_1}\varphi_1^\dagger+h_3\frac{v_3}{v_1}\varphi_1^\dagger=\frac{h_1v_1+h_2v_2+h_3v_3}{v_1}\varphi_1^*,\qquad (20)

\varphi_1^\dagger=\frac{v_1}{h_1v_1+h_2v_2+h_3v_3}l,\qquad (21)

\varphi_2^\dagger=\frac{v_2}{h_1v_1+h_2v_2+h_3v_3}l,\qquad (22)

\varphi_3^\dagger=\frac{v_3}{h_1v_1+h_2v_2+h_3v_3}l.\qquad (23)

Время распространения звукового сигнала от места взрыва до приемника равно

\begin{aligned}t_3&=\frac{s_1^\dagger}{v_1}+\frac{s_2^\dagger}{v_2}+\frac{s_3^\dagger}{v_3}\\&=2\frac{h_1}{v_1}\left(1+\frac{\varphi_1^{\dagger2}}2\right)+2\frac{h_2}{v_2}\left(1+\frac{\varphi_2^{\dagger2}}2\right)+2\frac{h_3}{v_3}\left(1+\frac{\varphi_3^{\dagger2}}2\right)\\&=2\left(\frac{h_1}{v_1}+\frac{h_2}{v_2}+\frac{h_3}{v_3}\right)+\frac1{h_1v_1+h_2v_2+h_3v_3}l^2.\end{aligned}\qquad (24)

В моменты времени $t_0,t_1,t_2,t_3$ к приемнику придут звуковые волны от взрыва и на графике зависимости регистрируемой приемником громкости звука от времени появятся максимумы. Поскольку, звуковая мощность при каждом отражении от границ слоев теряется, то амплитуда второго максимума будет меньше, чем первого и т.д. Примерный график зависимости громкости звука от времени представлен на рисунке.

Полный исходный график громкости: все четыре максимумаt0/t1/t2/t3,обе оси и подписи.

2. Согласно формуле (4) время прихода сигналов к приемникам линейно зависят от $l^2$ .

t_1=\frac{2h_1}{v_1}-\frac1{h_1v_1}l^2.

Таким образом, график зависимости времени прихода звуковых волн от $l^2$ будет представлять собой прямую, точка пересечения с вертикальной осью которой даст значение

\tau_1=2\frac{h_1}{v_1},\qquad (25)

а тангенс угла наклона

k_1=\frac1{h_1v_1},\qquad (26)

(те, кто знает метод наименьших квадратов, могут им воспользоваться).

Аналогично для зависимостей моментов времени $t_2,t_3$ от $l^2$ :

\tau_2=2\left(\frac{h_1}{v_1}+\frac{h_2}{v_2}\right),\qquad (27)

k_2=\frac1{h_1v_1+h_2v_2},\qquad (28)

\tau_3=2\left(\frac{h_1}{v_1}+\frac{h_2}{v_2}+\frac{h_3}{v_3}\right),\qquad (29)

k_3=\frac1{h_1v_1+h_2v_2+h_3v_3}.\qquad (30)

Значения времен прихода сигналов в зависимости от $l^2$ приведены в таблице и на графиках. Момент времени прихода сигнала находится по максимуму громкости.

$l$ , м	$l^2$ , м²	$t_1$ , мс	$t_2$ , мс	$t_3$ , мс
20	400	428,6	771,4	1052,1
40	1600	429,0	771,6	1052,2
60	3600	429,6	772,0	1052,5
80	6400	430,2	772,5	1052,8
100	10000	431,2	773,2	1053,1

Все три исходных графика t1/t2/t3 от l² целиком: каждая точка/линия/ось/шкала/единицы/напечатанные tau и k.

Значения параметров (31)

\tau_1=428{,}6\cdot10^{-3}\,\text{с},\quad\tau_2=771{,}3\cdot10^{-3}\,\text{с},\quad\tau_3=1052{,}1\cdot10^{-3}\,\text{с}.

k_1=2{,}65\cdot10^{-7}\,\text{с}/\text{м}^2,\quad k_2=1{,}88\cdot10^{-7}\,\text{с}/\text{м}^2,\quad k_3=1{,}07\cdot10^{-7}\,\text{с}/\text{м}^2.

Значения толщин слоев и скоростей звука находятся из системы уравнений (25)–(30):

\frac{h_1}{v_1}=\frac{\tau_1}2,\qquad (32)

\frac{h_2}{v_2}=\frac{\tau_2-\tau_1}2,\qquad (33)

\frac{h_3}{v_3}=\frac{\tau_3-\tau_2}2,\qquad (34)

h_1v_1=\frac1{k_1},\qquad (35)

h_2v_2=\frac1{k_2}-\frac1{k_1},\qquad (36)

h_3v_3=\frac1{k_3}-\frac1{k_2}.\qquad (37)

Из (32)–(37) получаем

h_1=\sqrt{\frac{\tau_1}{2k_1}}\approx0{,}90\,\text{км},\qquad (38)

v_1=\sqrt{\frac2{\tau_1k_1}}\approx4{,}2\,\text{км}/\text{с},\qquad (39)

h_2=\sqrt{\frac{\tau_2-\tau_1}2\left(\frac1{k_2}-\frac1{k_1}\right)}\approx0{,}51\,\text{км},\qquad (40)

v_2=\sqrt{\frac2{\tau_2-\tau_1}\left(\frac1{k_2}-\frac1{k_1}\right)}\approx3{,}0\,\text{км}/\text{с},\qquad (41)

h_3=\sqrt{\frac{\tau_3-\tau_2}2\left(\frac1{k_3}-\frac1{k_2}\right)}\approx0{,}75\,\text{км},\qquad (42)

v_3=\sqrt{\frac2{\tau_3-\tau_2}\left(\frac1{k_3}-\frac1{k_2}\right)}\approx5{,}4\,\text{км}/\text{с}.\qquad (43)

Толщины слоев и скорости звука в них определены неточно — случайные факторы вносят погрешность и на графиках громкости, регистрируемой приемником, присутствует шум. Вероятнее всего, земные породы расположены так: 1 — песок, 2 — глина, 3 — железная руда.

Решения задач теоретического тура

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Решения задач теоретического тура.

Оригинал в Архива: 3_etap_2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2008_theoretical_solutions.pdf