Съдържание

BelPhO 2008, Областен етап, 10,11 — Задача 7. 11 класс — 1. «Системы единиц»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

III этап — теоретический тур, 10 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: три для 10 класса 12-летней школы, три для 10 класса 11-летней школы и три для 11 класса. Эти два разных раздела 10 класса сохранены под исходными названиями. Переданы все 49 основных номерных/буквенных групп, включая внутренние запросы а/б в пунктах 2 и 3 «Баскетбола». Каталог указывает 52 части; дополнительные задания по этому числу не придуманы. Время выполнения, баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения пропадают или заменяются посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригиналов; видимый знак ℏ сохранен. Научные ошибки источника не исправлены.

Баскетбол: в печатном условии дискриминант обозначен D=√(b²−4ac). Выданный листок миллиметровой бумаги в полученных PDF отсутствует; новая форма не изготовлена.

Плавкий предохранитель: последний множитель времени в (1) напечатан с дополнительным l в знаменателе; исходная формула сохранена.

Сейсморазведка: в (2), (4), (13) ключа напечатаны отрицательные квадратичные поправки, тогда как последующие формулы времени и графики используют положительные. В начальной сумме (14) нет множителя 2; последняя скобка (14) печатает h₁/v₂. В (20) первая сумма не содержит третьего слоя, а последний угол обозначен звездочкой. Результат v₂≈3,0 км/с и v₃≈5,4 км/с сопровождается заключением «глина» и «железная руда», хотя в таблице условия глина — 3,5, гранит — 5,4, железная руда — 5,7 км/с. Исходная оговорка о погрешности и все результаты сохранены.

Ошибочная разминка: в знаменателе второго выражения (19) ключ печатает R_A+R(1∓ΔR/(R+R_A)); исходная запись сохранена.

Муфта: ключ сначала задает x₀=L(cosα₁−cosα₀), но затем использует FL/2 в подстановке энергии. Последняя формула и результат 2,8 м/с сохранены.

Электростатический генератор: исходный ключ дает Pmax/Pquarter=ε² и ссылается на (21) при подстановке заряда. Эти исходные результат и ссылка сохранены, без замены расчетной модели.

Системы единиц: в (8) ключ печатает 6,25·10⁸ эВ, хотя в предыдущем равенстве (7) стоит 6,25·10¹⁸ эВ. Напечатанный показатель сохранен.

Копёр: расчет при подаче топлива продолжает использовать ε₁ из упругого случая. Номер (21) использован дважды; формула третьего удара (23) начинается с Δx₂. Оценка после десяти ударов прямо названа завышенной; все исходные обозначения и слова сохранены.

Интерференция: условие печатает «Точеный источник». В ключе минимум задан разностью фаз π(m+1/2), а радиус кольца — √(λL(m+1/2)), при ранее напечатанной интенсивности cos²((φ₁−φ₂)/2). В приближении Юнга отбрасывается постоянный член −d²/(2L). Формулы сохранены как текст источника.

10 класс 12-летней школы. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2007 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 12-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс 11-летней школы. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 11-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

1

В атомной и ядерной физике используется система единиц, в основу которой положены такие фундаментальные постоянные как постоянная Планка ( $\hbar=1{,}05\cdot10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}$ ) и скорость света ( $c=3{,}00\cdot10^8\,\text{м}/\text{с}$ ). В данной системе эти постоянные приравниваются к единице ( $\hbar=c=1$ ). Легко заметить, что в этом случае размерности времени и расстояния становятся одинаковыми, то же самое происходит с размерностью массы, импульса и энергии.

Предлагает Вам разобраться с этими хитростями.

Если в системе СИ для килограмма, метра и секунды существуют свои эталоны, то в указанной системе единиц двумя эталонами являются постоянная Планка и скорость света. В качестве третьего эталона можно выбрать, например, метр.

Если размерность времени и расстояния одинаковы, то можно время выражать в метрах ( $1\,\text{с}=3{,}00\cdot10^8\,\text{м}$ ).

1.1 Массу в такой системе можно измерять в обратных метрах ( $1\,\text{кг}=\beta\,\text{м}^{-1}$ ). Чему равен один килограмм?

1.2 Соответственно энергия также измеряется в обратных метрах ( $1\,\text{Дж}=\gamma\,\text{м}^{-1}$ ). Чему равен один Джоуль?

В данной системе единиц энергию удобно выражать через электрон-вольты ( $1\,\text{эВ}=1{,}60\cdot10^{-19}\,\text{Дж}$ ). Тогда представляется возможным выразить через электрон-вольты основные единицы СИ, т.е. килограмм, метр и секунду. Другими словами, выбрать в качестве третьего эталона электрон-вольт.

1.3 Сколько обратных электрон-вольт в одном метре?

1.4 Чему равна одна секунда в такой системе?

1.5 Сколько электрон-вольт в одном килограмме?

1.6 В модели атома водорода, электрон вращается вокруг протона по круговой орбите радиуса $a_0=2{,}68\cdot10^{-4}\,\text{эВ}^{-1}$ , под действием кулоновской силы $F=1{,}01\cdot10^5\,\text{эВ}^2$ . Определите кинетическую энергию электрона в атоме водорода.

2

Для удобства вычисления орбит искусственных спутников и проектирования межпланетных полётов, предлагаем ввести не менее удобную в этом случае систему единиц, в которой гравитационная постоянная ( $G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{м}^3/(\text{кг}\cdot\text{с}^2)$ ) и первая космическая скорость вблизи поверхности Земли ( $v_{1\text{К}}=7{,}91\cdot10^3\,\text{м}/\text{с}$ ) равны единице ( $G=v_{1\text{К}}=1$ ).

Расстояние будем измерять в земных радиусах (зр), ( $1\,\text{зр}=6{,}37\cdot10^6\,\text{м}$ ). Земной радиус, таким образом, будет третьим эталоном. При таком выборе килограмм, метр и секунда также могут быть выражены через земной радиус ( $1\,\text{м}=\alpha\,\text{зр}$ , $1\,\text{с}=\beta\,\text{зр}$ , $1\,\text{кг}=\gamma\,\text{зр}$ ).

2.1 Сколько земных радиусов в одном метре?

2.2 Сколько земных радиусов в одной секунде?

2.3 Чему равен один килограмм в такой системе?

2.4 Радиус Луны $R_{\text{Л}}=0{,}273\,\text{зр}$ , а масса Луны $M_{\text{Л}}=0{,}0123\,\text{зр}$ . Определите ускорение свободного падения $g_{\text{Л}}$ и первую космическую скорость $v_{\text{Л}}$ вблизи поверхности Луны.

Решение

Указанный в условии задачи факт ( $1\,\text{с}=3{,}00\cdot10^8\,\text{м}$ ) следует из равенства единицы скорости света:

3{,}00\cdot10^8\frac{\text{м}}{\text{с}}=1.\qquad (1)

Проводя аналогичные рассуждения с постоянной Планка, можно получить выражение для килограмма и, соответственно, для всех остальных производных единиц.

1.1 Выразим Джоуль через основные единицы СИ (килограмм, метр и секунду):

\text{Дж}=\frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}^2}.\qquad (2)

Тогда постоянная Планка равна:

\hbar=1{,}05\cdot10^{-34}\frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}}.\qquad (3)

Подставим значение одной секунды, выраженной через метры и приравняем $\hbar$ к единице.

1{,}05\cdot10^{-34}\frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{3{,}00\cdot10^8\,\text{м}}=1.\qquad (4)

Решая уравнение (4) относительно килограмма, получим:

1\,\text{кг}=2{,}86\cdot10^{42}\,\text{м}^{-1}.\qquad (5)

1.2 Подставляя выражения для секунды и килограмма в уравнение (2), получим:

1\,\text{Дж}=\frac{2{,}86\cdot10^{42}\,\text{м}^{-1}\cdot\text{м}^2}{(3{,}00\cdot10^8\,\text{м})^2}=3{,}17\cdot10^{25}\,\text{м}^{-1}.\qquad (6)

1.3 Теперь необходимо двигаться в обратном направлении. Знаем, что

1\,\text{Дж}=\frac1{1{,}60\cdot10^{-19}}\,\text{эВ}=6{,}25\cdot10^{18}\,\text{эВ}.\qquad (7)

Выражение для одного метра легко получается из выражений (6) и (7):

3{,}17\cdot10^{25}\,\text{м}^{-1}=6{,}25\cdot10^8\,\text{эВ}\quad\Rightarrow\quad1\,\text{м}=5{,}07\cdot10^6\,\text{эВ}^{-1}.\qquad (8)

1.4 Т.к. $1\,\text{с}=3{,}00\cdot10^8\,\text{м}$ , то, используя (8), получим:

1\,\text{с}=1{,}52\cdot10^{15}\,\text{эВ}^{-1}.\qquad (9)

1.5 Используя (5), получим:

1\,\text{кг}=5{,}64\cdot10^{35}\,\text{эВ}.\qquad (10)

1.6 Запишем второй закон Ньютона:

\frac{m_ev^2}{a_0}=F.\qquad (11)

Отсюда сразу же находим кинетическую энергию электрона:

E_K=\frac{m_ev^2}2=\frac{Fa_0}2=13{,}5\,\text{эВ}.\qquad (12)

2.1 Т.к. $1\,\text{зр}=6{,}37\cdot10^6\,\text{м}$ , то

1\,\text{м}=\frac1{6{,}37\cdot10^6}\,\text{зр}=1{,}57\cdot10^{-7}\,\text{зр}.\qquad (13)

2.2 Из равенства первой космической единице, найдём выражение секунды через метры, а затем и через земные радиусы:

1\,\text{с}=7{,}91\cdot10^3\,\text{м}=1{,}24\cdot10^{-3}\,\text{зр}.\qquad (14)

2.3 Из равенства единице гравитационной постоянной, получим:

1\,\text{кг}=6{,}67\cdot10^{-11}\frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{м}^3}{(7{,}91\cdot10^3\,\text{м})^2}=1{,}07\cdot10^{-18}\,\text{м}=1{,}67\cdot10^{-25}\,\text{зр}.\qquad (15)

Интересно заметить, что в такой системе масса Земли равна земному радиусу, что следует из выражения для первой космической скорости:

v_{1K}=\sqrt{G\frac MR}.\qquad (16)

2.4 Первая космическая скорость вблизи поверхности Луны в такой системе (в формуле (16) $G=1$ ):

v_{\text{Л}}=\sqrt{\frac{M_{\text{Л}}}{R_{\text{Л}}}}=0{,}212.\qquad (17)

Скорость в этой системе — величина безразмерная.

Ускорение свободного падения, вычисляется по формуле ( $G=1$ ):

g_{\text{Л}}=\frac{M_{\text{Л}}}{R_{\text{Л}}^2}=0{,}165\,\text{зр}^{-1}.\qquad (18)

В то время как на поверхности Земли ускорение свободного падения равно одному обратному земному радиусу, т.е. в 6 раз больше.

Решения задач теоретического тура

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Решения задач теоретического тура.

Оригинал в Архива: 3_etap_2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2008_theoretical_solutions.pdf