Съдържание

BelPhO 2008, Областен етап, 10,11 — Задача 9. 11 класс — 3. Интерференция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

III этап — теоретический тур, 10 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: три для 10 класса 12-летней школы, три для 10 класса 11-летней школы и три для 11 класса. Эти два разных раздела 10 класса сохранены под исходными названиями. Переданы все 49 основных номерных/буквенных групп, включая внутренние запросы а/б в пунктах 2 и 3 «Баскетбола». Каталог указывает 52 части; дополнительные задания по этому числу не придуманы. Время выполнения, баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения пропадают или заменяются посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригиналов; видимый знак ℏ сохранен. Научные ошибки источника не исправлены.

Баскетбол: в печатном условии дискриминант обозначен D=√(b²−4ac). Выданный листок миллиметровой бумаги в полученных PDF отсутствует; новая форма не изготовлена.

Плавкий предохранитель: последний множитель времени в (1) напечатан с дополнительным l в знаменателе; исходная формула сохранена.

Сейсморазведка: в (2), (4), (13) ключа напечатаны отрицательные квадратичные поправки, тогда как последующие формулы времени и графики используют положительные. В начальной сумме (14) нет множителя 2; последняя скобка (14) печатает h₁/v₂. В (20) первая сумма не содержит третьего слоя, а последний угол обозначен звездочкой. Результат v₂≈3,0 км/с и v₃≈5,4 км/с сопровождается заключением «глина» и «железная руда», хотя в таблице условия глина — 3,5, гранит — 5,4, железная руда — 5,7 км/с. Исходная оговорка о погрешности и все результаты сохранены.

Ошибочная разминка: в знаменателе второго выражения (19) ключ печатает R_A+R(1∓ΔR/(R+R_A)); исходная запись сохранена.

Муфта: ключ сначала задает x₀=L(cosα₁−cosα₀), но затем использует FL/2 в подстановке энергии. Последняя формула и результат 2,8 м/с сохранены.

Электростатический генератор: исходный ключ дает Pmax/Pquarter=ε² и ссылается на (21) при подстановке заряда. Эти исходные результат и ссылка сохранены, без замены расчетной модели.

Системы единиц: в (8) ключ печатает 6,25·10⁸ эВ, хотя в предыдущем равенстве (7) стоит 6,25·10¹⁸ эВ. Напечатанный показатель сохранен.

Копёр: расчет при подаче топлива продолжает использовать ε₁ из упругого случая. Номер (21) использован дважды; формула третьего удара (23) начинается с Δx₂. Оценка после десяти ударов прямо названа завышенной; все исходные обозначения и слова сохранены.

Интерференция: условие печатает «Точеный источник». В ключе минимум задан разностью фаз π(m+1/2), а радиус кольца — √(λL(m+1/2)), при ранее напечатанной интенсивности cos²((φ₁−φ₂)/2). В приближении Юнга отбрасывается постоянный член −d²/(2L). Формулы сохранены как текст источника.

10 класс 12-летней школы. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» декабря 2007 года.

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 12-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

10 класс 11-летней школы. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 10 класс 11-летней школы.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
С вопросами по условиям задач (не по решениям!) обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Уважаемые коллеги! Вам предлагается написать основные тезисы параграфа учебника¹ по теме «Интерференция света», излагая ее в обобщенной форме, с единой точки зрения.

¹ Конечно, не для повышенного, а гораздо более низкого углубленного уровня.

Свет представляет собой электромагнитную волну — колебание, распространяющееся в пространстве с течением времени. Напряженность электрического поля электромагнитной волны, испущенной точечным источником $S$ , в произвольной точке $A$ описывается функцией

E=E_0\cos(\omega t-kr),\qquad (1)

где $r$ — расстояние от источника до рассматриваемой точки, $k=2\pi/\lambda$ — волновое число ( $\lambda$ — длина волны). Можно также ввести волновой вектор $\vec k$ , модуль которого совпадает с волновым числом, а направление указывает направление распространения волны. Будем считать, что в рассматриваемых областях амплитуда волны постоянна.

Вся схема точечного источника S,точкиA,r,k,волновых фронтов и распространения волны.

Интерференция света — есть сложение колебаний в каждой точке, где происходит наложение двух и более волн. Напоминаем, что интенсивность света пропорциональна среднему квадрату напряженности электрического поля.

I=\langle E^2\rangle=\langle E_0^2\cos^2(\omega t+\varphi)\rangle=\frac12E_0^2.\qquad (2)

1 Пусть в некоторую точку экрана приходят две волны одинаковой частоты и одинаковых амплитуд. Создаваемые ими в этой точке колебания описываются функциями

E_1=E_0\cos(\omega t-\varphi_1),\qquad E_2=E_0\cos(\omega t-\varphi_2).\qquad (3)

Определите, чему равна результирующая амплитуда колебаний электрического поля и интенсивность света в этой точке.

Таким образом, вы показали, что при интерференции двух волн интенсивность света определяется разностью фаз колебаний этих волн. Так как разность фаз зависит от положения рассматриваемой точки, то интерференция световых волн приводит к перераспределению энергии света.

2 Плоская монохроматическая световая волна (длина волны $\lambda$ ) падает на плоскую поверхность под углом $\alpha$ к ее нормали. Запишите зависимость фазы колебаний от координат точек на экране. Систему координат на плоскости задайте самостоятельно.

Вся схема плоской волны: фронты,луч,уголα,нормаль и экран.

3 Точеный источник монохроматического света с длиной волны $\lambda$ находится на расстоянии $L$ от плоского экрана. Запишите зависимость фазы колебаний от координат точек на экране. Систему координат на плоскости задайте самостоятельно.

Вся схема сферической волны: S,все фронты,расстояниеL и экран.

4 Две плоских монохроматических световых волны (с одинаковыми длинами волн $\lambda$ и одинаковыми амплитудами) падают на плоскую поверхность под углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ к ее нормали, причем волновые векторы волн и нормаль к поверхности лежат в одной плоскости. Определите зависимость интенсивности света от координат точки на экране. Определите ширину интерференционных полос (расстояние между максимумами интенсивности), считая углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ малыми.

Вся схема двух плоских волн: векторыk1/k2,оба углаα1/α2,нормаль и экран.

5 На плоский экран падают две монохроматические волны (с одинаковыми длинами волн $\lambda$ и одинаковыми амплитудами) — одна от точечного источника, находящегося на расстоянии $L$ от экрана, вторая плоская, падающая на экран нормально. Опишите интерференционную картину на экране (то есть запишите зависимость интенсивности света от координат). Считая, что расстояние $L$ значительно больше длины волны и в точке $A$ колебания волн происходят в одной фазе, определите радиусы темных интерференционных колец на экране.

Вся схема сферической/плоской волн: S,все фронты,L,k,A и экран.

6 На плоский экран падают две монохроматические волны (с одинаковыми длинами волн $\lambda$ и одинаковыми амплитудами) — от двух точечных источников, находящихся на расстоянии $L$ от экрана и на расстоянии $d$ друг от друга. Опишите интерференционную картину на экране (то есть запишите зависимость интенсивности света от координат). Считая, что расстояние $L$ значительно больше длины волны и расстояния между источниками, определите ширину интерференционных полос на экране в этом случае.

Полная исходная схема двух точечных источников, оба S/все фронты/обаL/расстояниеd/экран. До физического низа native страницы: весь экран сохранен.

Решение

1. Складывая колебания, получим

\begin{aligned}E&=E_1+E_2=E_0\cos(\omega t-\varphi_1)+E_0\cos(\omega t-\varphi_2)\\&=2E_0\cos\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}2\right)\cos\left(\omega t-\frac{\varphi_1+\varphi_2}2\right).\end{aligned}

Таким образом, результирующая амплитуда равна

E_{0,\text{рез.}}=2E_0\cos\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}2\right),\qquad (1)

соответственно, интенсивность равна

\begin{aligned}I&=\left\langle\left(2E_0\cos\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}2\right)\cos\left(\omega t-\frac{\varphi_1+\varphi_2}2\right)\right)^2\right\rangle\\&=2E_0^2\cos^2\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}2\right)=4I_0\cos^2\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}2\right),\end{aligned}\qquad (2)

где $I_0$ — интенсивность света, создаваемая одной волной.

2. Выберем за начало отсчета точку $O$ , фазу колебаний в которой примем за нуль. Тогда в точке $B$ с координатой $x$ фаза колебаний будет равна (набег на участке $AB$ , $OA$ — фронт волны)

\varphi(x)=\frac{2\pi}\lambda x\sin\alpha.\qquad (3)

От второй координаты фаза не зависит.

Полная схема фазы плоской волны: O,A,B,x,α,фронт и перпендикуляр.

3. В точке $A$ , находящейся на расстоянии $r$ от начала отсчета $O$ , фаза колебания равна

\varphi(x,y)=\frac{2\pi}\lambda\sqrt{L^2+r^2}=\frac{2\pi}\lambda\sqrt{L^2+x^2+y^2}.\qquad (4)

Полная схема фазы сферической волны: S,O,A,r,полный луч и экран.

4. Используя полученные выражения (2) и (3), запишем выражение для интенсивности света

I=4I_0\cos^2\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}2\right)=4I_0\cos^2\left(\frac\pi\lambda x(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2)\right).\qquad (5)

Таким образом, интерференционная картина представляет собой систему равноотстоящих прямых полос. Максимумы интенсивности будет в тех точках, где разность фаз равна $2\pi m$ , ( $m=0,\pm1,\pm2,\ldots$ ), или

\frac\pi\lambda x_m(\sin\alpha_1-\sin\alpha_2)=\pi m\quad\Rightarrow\quad x_m=\frac{m\lambda}{\sin\alpha_1-\sin\alpha_2}.\qquad (6)

В случае малых углов ширина интерференционной полосы равна

\Delta x=\frac\lambda{|\alpha_1-\alpha_2|}.\qquad (7)

5. Считая фазу колебаний плоской волны равной $\varphi_0$ и используя выражения (2) и (4), получим распределение интенсивности на экране

I=4I_0\cos^2\left(\frac{\varphi_1-\varphi_0}2\right)=4I_0\cos^2\left(\frac\pi\lambda\sqrt{L^2+x^2+y^2}-\frac{\varphi_0}2\right).\qquad (8)

Интерференционная картина — система не равноотстоящих колец.

При оговоренных условиях, разность фаз колебаний может быть представлена в виде

\begin{aligned}\varphi_1-\varphi_0&=\frac{2\pi}\lambda\sqrt{L^2+x^2+y^2}-\varphi_0=\frac{2\pi}\lambda L\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{L^2}}-\varphi_0\\&\approx\frac{2\pi}\lambda L\left(1+\frac{x^2+y^2}{2L^2}\right)-\varphi_0=\frac\pi\lambda\frac{x^2+y^2}L.\end{aligned}

Минимумы интенсивности будут находиться в тех точках, где $\varphi_1-\varphi_0=\pi(m+1/2)$ , или

\varphi_1-\varphi_0=\frac\pi\lambda\frac{x^2+y^2}L=\frac\pi\lambda\frac{r_m^2}L=\pi\left(m+\frac12\right)\quad\Rightarrow\quad r_m=\sqrt{\lambda L\left(m+\frac12\right)}.\qquad (9)

Получаем систему колец Ньютона.

6. Очередной раз используем соотношения (2) и (4) — с учетом сдвига вдоль оси $OX$ , получаем

I=4I_0\cos^2\left(\frac{\varphi_1-\varphi_0}2\right)=4I_0\cos^2\left(\frac\pi\lambda\left(\sqrt{L^2+x^2+y^2}-\sqrt{L^2+(x-d)^2+y^2}\right)\right).

В указанном приближении

\begin{aligned}&\sqrt{L^2+x^2+y^2}-\sqrt{L^2+(x-d)^2+y^2}\\&=L\left(\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{L^2}}-\sqrt{1+\frac{(x-d)^2+y^2}{L^2}}\right)\\&\approx\frac{x^2+y^2}{2L}-\frac{(x-d)^2+y^2}{2L}\approx\frac{xd}L.\end{aligned}

Соответственно, распределение интенсивности

I=4I_0\cos^2\left(\frac{\varphi_1-\varphi_0}2\right)=4I_0\cos^2\left(\frac\pi\lambda\frac{xd}L\right)\qquad (10)

есть ряд равностоящих полос (схема Юнга) с максимумами в точках с координатами:

\frac\pi\lambda\frac{x_md}L=m\pi\quad\Rightarrow\quad x_m=m\frac{\lambda L}d.\qquad (11)

Ширина полос

\Delta x=\frac{\lambda L}d.\qquad (12)

Решения задач теоретического тура

Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2008 год. Решения задач теоретического тура.

Оригинал в Архива: 3_etap_2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2008_theoretical_solutions.pdf