Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап — Задача 4. «Закон электромагнитной индукции»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

10 класс (12) · 10 класс (11) · 11 класс

Условие

Оборудование: головной телефон, мультиметр, секундомер, конденсатор, диод полупроводниковый, магнит кольцевой, грузик, соединительные провода, штатив, нитки, линейка.

Емкость конденсатора $C = (50 \pm 1)\,\text{мкФ}$ .

Бифилярный подвес: груз с магнитом висит на двух нитях, закрепленных на горизонтальной штанге; под магнитом показаны линии поля, обозначенные B.

Сопротивление катушки головного телефона $R = 1{,}2\,\text{кОм}$

Соберите установку, как показано на рисунке: железный груз подвесьте на двух нитях (бифилярный подвес), что бы колебания проходили в одной плоскости. К железному грузу прикрепите снизу магнит.

На подставке штатива закрепите с помощью кусочка пластилина головной телефон. Подвешенный груз с магнитом должен проходить точно над катушкой телефона. Длина маятника должна быть не менее 70 см.

Для измерения амплитуды колебаний прикрепите к основанию штатива линейку.

При раскачивании груза с магнитом в катушке телефона возникает ЭДС. Этот импульс не сложно увидеть на экране осциллографа, но очень сложно обеспечить всех участников олимпиады индивидуальными осциллографами.

Для экспериментального исследования явления вам предлагается использовать следующую электрическую схему. К катушке головного телефона К подсоедините последовательно диод D и конденсатор C, к последнему подключите мультиметр. Измерения следует проводить в диапазоне 2000 мВ.

Электрическая схема: катушка телефона K, последовательно диод D и конденсатор C; параллельно конденсатору подключен вольтметр V.

Теперь, ЭДС индукции, возникающая в катушке, заряжает конденсатор, напряжение на котором легко измерить.

Соберите установку. Убедитесь в ее работоспособности. Добейтесь, чтобы напряжение на конденсаторе достигало не менее 500 мВ.

Основная цель вашей работы – экспериментальное изучение закона электромагнитной индукции.

1. Измерьте период колебаний вашего маятника.

2. Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке только через мультиметр. Определите сопротивление мультиметра.

3. Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке через вольтметр, диод и телефон.

4. Измерьте зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний груза.

5. Теоретически опишите зависимость напряжения на конденсаторе от времени (можно и нужно сделать разумные допущения). Постройте примерный график этой зависимости. Получите приближенную формулу, описывающую зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний маятника.

6. Проверьте, выполняется ли в данном эксперименте закон электромагнитной индукции Фарадея. Оцените максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке головного телефона.

Примечания и подсказки.

ЭДС индукции, возникающая в катушке головного телефона, очень сильно зависит от расстояния между магнитом и телефоном. Не стремитесь добиться максимальной ЭДС (нам удалось зарядить конденсатор почти до 2 В) – проводите измерения (в п. 4) при расстояниях между магнитом и телефоном порядка 1 см – в этом случае показания будут более стабильными.
Проведите разумные оценки времен разряда конденсатора через мультиметр и телефон и сравните их со временем прохождения магнита над телефоном.
Конденсатор заряжается до максимального напряжения далеко не сразу – нужно подождать не менее 10 прохождений магнита над катушкой! Никто не запрещает вам время от времени подталкивать маятник!
Заряжать конденсатор (для проведения измерений в п. 2 и 3) следует с помощью магнита, в этом случае расстояние между магнитом и телефоном можно уменьшить.

Отговори

Решение

Измерение периода колебаний проводится обычным способом и дает значение $T = 1{,}74\,\text{с}$ .
Зарядив конденсатор, проводим измерения зависимости силы напряжения от времени. Результаты измерений представлены в таблице 1 и на графиках (второй в логарифмическом масштабе).

График «разряд через вольтметр»: U, мВ (0–2000) от t, с (0–120), точки на убывающей экспоненте.

Таблица 1.

t, c	U, мВ	ln U
0	1900	7,55
5	1630	7,40
10	1470	7,29
15	1340	7,20
20	1230	7,11
25	1100	7,00
30	1010	6,92
35	960	6,87
40	890	6,79
45	820	6,71
50	760	6,63
55	710	6,57
60	650	6,48
65	600	6,40
70	560	6,33
75	510	6,23
80	480	6,17
85	440	6,09
90	400	5,99
95	380	5,94
100	350	5,86
105	320	5,77
110	300	5,70
115	280	5,63
120	250	5,52

График «логарифмический масштаб»: lnU (5,00–8,00) от t, с (0–120), точки на убывающей прямой.

Определенное по методу наименьших квадратов значение времени разрядки равно

\tau = (62{,}4 \pm 1{,}5)\,\text{с}. \qquad (1)

Сопротивление мультиметра рассчитывается по формуле

R_V = \frac{\tau}{C} = (1{,}25 \pm 0{,}05)\,\text{МОм}. \qquad (2)

Примечание.

Время разрядки может быть определено и без использования логарифмического масштаба (все-таки 10 класс). Для этого можно построить зависимость скорости изменения напряжения $\frac{\Delta U}{\Delta t}$ от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость описывается приближенным уравнением

\frac{\Delta U}{\Delta t} = -\frac{1}{\tau}U \qquad (3)

График зависимости ΔU/Δt (0–30) от U, мВ (0–1600): точки вокруг возрастающей прямой.

и является линейной. Значение времени, определенное по этой зависимости оказывается равным $\tau \approx 55\,\text{с}$ с существенно большей погрешностью.

Измерения временной зависимости напряжения на конденсаторе при его разрядке через диод и катушку телефона проводятся аналогично, результаты этих измерений приведены в таблице 2 и на графике.

График «логарифмический масштаб» для разрядки через диод: lnU (4,50–8,00) от t, с (0–100), точки на выпуклой вниз убывающей кривой.

Таблица 2.

t, c	U, мВ	lnU	$\tau$ , c
0	1900	7,55
5	1660	7,41	37,0
10	1470	7,29	41,1
15	1330	7,19	50,0
20	1170	7,06	39,0
25	1030	6,94	39,2
30	915	6,82	42,2
35	800	6,68	37,2
40	700	6,55	37,4
45	600	6,40	32,4
50	505	6,22	29,0
55	430	6,06	31,1
60	360	5,89	28,1
65	295	5,69	25,1
70	230	5,44	20,1
75	170	5,14	16,5
80	120	4,79	14,4

Хорошо заметно, что сопротивление диода (следовательно, и время разряда) не является постоянным, а зависит от приложенного напряжения. Поэтому следует построить зависимость времени разрядки от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость может быть рассчитана на основании уравнения (3), из которого следует, что

График «Зависимость времени разряда через диод от напряжения»: τ, с (0–50) от U, мВ (0–1200), точки вокруг возрастающей прямой.

\tau = -U\frac{\Delta t}{\Delta U}.

График этой зависимости показан на рисунке. Отметим, что и в этом случае время разрядки (около 30 с) значительно превышает период колебаний.

Результаты измерений зависимости максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний приведены в таблице 3 и на графике.

Таблица 3.

А, см	40	35	30	25	20	15	10	5
$U_1$ , мВ	480	430	381	325	261	167	119	45
$U_2$ , мВ	485	427	380	326	252	164	123	49
$U_3$ , мВ	482	424	373	329	254	169	120	53
$U_{ср}$ , мВ	482,3	427,0	378,0	326,7	255,7	166,7	120,7	49,0

График «Зависимость напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний»: U, мВ (0–500) от A, см (0–40), точки вдоль возрастающей прямой.

Полученная зависимость близка к линейной.

При прохождении магнита над катушкой в ней индуцируется ЭДС, величина которой определяется законом М. Фарадея

|E| = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}. \qquad (4)

Эта ЭДС подзаряжает конденсатор, который разряжается в тот промежуток времени, когда магнит не проходит над катушкой.

Схематический пилообразный график U(t): быстрый рост за время t1 от U1 до Umax, затем линейный спад за время t2 до U1, повторение.

Схематическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени показана на рисунке. В течение промежутка времени $t_1$ (магнит проходит над катушкой) напряжение на конденсаторе возрастает от некоторого значения $U_1$ до максимального $U_{\max}$ . Процесс зарядки описывается уравнением

C\frac{\Delta U}{\Delta t} = \frac{E - U}{R} = \frac{1}{R}\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} - \frac{U}{R}. \qquad (5)

Учитывая малость времени $t_1$ по сравнению со временем разрядки, можно записать

U_{\max} = U_1 + \frac{\Phi_0}{R_0 C} - \frac{U_1}{R_0 C}t_1 \qquad (6)

Здесь в качестве сопротивления цепи следует брать сопротивление катушки, так как во время зарядки диод открыт, и его сопротивлением можно пренебречь. Величина

R_0 C = 1{,}2 \cdot 10^3\,\text{Ом} \cdot 50 \cdot 10^{-6}\,\text{Ф} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\,\text{с}, \qquad (7)

больше чем время прохождения магнита над катушкой (которое меньше, чем одна сотая периода колебаний).

За промежуток времени $t_2 \approx \frac{T}{2}$ примерно равный половине периода колебаний конденсатор разряжается через закрытый диод. Процесс разрядки описывается уравнением

C\frac{\Delta U}{\Delta t} = -\frac{U}{R}, \qquad (8)

из которого можно получить приближенное соотношение

U_1 = U_{\max}\left(1 - \frac{t_2}{RC}\right). \qquad (9)

Из формул (6)-(9) следует

U_{\max} = \frac{\Phi_0}{R_0 C}\left(\frac{t_1}{R_0 C} + \frac{t_2}{RC}\right)^{-1}. \qquad (10)

Определим время прохождения магнита над катушкой (точнее над половиной катушки) из закона движения маятника. Так как размер катушки и магнита значительно меньше амплитуды колебаний, то это время оценивается формулой

t_1 = \frac{\Delta l}{v_{\max}}, \qquad (11)

где $\Delta l$ сумма диаметра магнита радиуса катушки (в наших экспериментах $\Delta l \approx 3\,\text{см}$ ), а максимальная скорость может быть найдена из закона сохранения энергии

\frac{v_{\max}^2}{2} = \frac{\omega^2 A^2}{2}, \qquad (12)

где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ - круговая частота колебаний маятника. Таким образом, мы получаем,

t_1 = \frac{\Delta l}{v_{\max}} = \frac{T}{2\pi}\frac{\Delta l}{A}. \qquad (13)

Оценим численные значения слагаемых в формуле (10)

\frac{t_1}{R_0 C} \approx \frac{T}{2\pi}\frac{\Delta l}{A}\frac{1}{R_0 C} \approx 0{,}5,

\frac{t_2}{RC} = \frac{T}{2RC} \approx 0{,}03.

Второе слагаемое более чем на порядок меньше первого, поэтому в первом приближении им можно пренебречь. В итоге максимальное напряжение на конденсаторе примерно оказывается равным среднему значению ЭДС

U_{\max} \approx \frac{\Phi_0}{t_1} = \Phi_0\frac{2\pi}{T\Delta l}A \qquad (14)

и пропорциональным амплитуде колебаний, что неплохо подтверждается экспериментом.
Коэффициент пропорциональности в формуле (14) может быть определен из наклона графика зависимости напряжения от амплитуды колебаний и равен

K = \frac{\Delta U_{\max}}{\Delta A} = 12{,}5 \cdot 10^{-3}\,\frac{\text{В}}{\text{см}}.

Теперь с его помощью можно оценить максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке

\Phi_0 \approx K\frac{T\Delta l}{2\pi} \approx 1 \cdot 10^{-2}\,\text{Вб}.

Оригинал в Архива: 2008_experimental_problems.pdf · официални решения: 2008_experimental_solutions.pdf