Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап — Задача 3. «Скольжение диска»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

10 класс (12) · 10 класс (11) · 11 класс

Условие

10 класс (11)

Приборы и оборудование: штатив с лапкой или кольцом, нитки, миллиметровая бумага, линейка с миллиметровыми делениями, скотч, компакт-диск (CD) с гладкой поверхностью, груз цилиндрический массой $M = 100\,\text{г}$ из стандартного набора.

В данной задаче Вам предстоит исследовать силу сопротивления, действующую на компакт-диск при его движении по миллиметровой бумаге.

При движении со скоростью $v$ между CD массой $m$ и бумагой действует как сила трения скольжения $F_{\text{скольж}} = \mu mg$ , так и сила вязкого трения в воздушной прослойке между диском и бумагой $F_{\text{вязк}} = \beta v$ . Если диску сообщить начальную скорость $v_0$ , то путь, пройденный до остановки описывается формулой

s = \frac{mv_0}{\beta}[1 - \frac{\mu mg}{\beta v_0}\ln(1 + \frac{\beta v_0}{\mu mg})],

которая упрощается при $\frac{\beta v_0}{\mu mg} < 0{,}75$ :

s = \frac{v_0^2}{2\mu g} - \frac{1}{3}\frac{\beta v_0^3}{m\mu^2 g^2}.

1. Используя доступное оборудование, определите массу компакт-диска $m$ .

2. Тело массой $M$ , движущееся со скоростью $V$ врезается в неподвижное тело массой $m$ . Удар центральный и абсолютно упругий. Покажите, что скорость, с которой начнет двигаться тело $m$ , пропорциональна $V$ : $v_0 = \alpha V$ . Определите коэффициент пропорциональности $\alpha$ для груза, врезающегося в компакт-диск.

3. Закрепите груз на нити максимально возможной длины, прикрепленной к лапке, так, чтобы положение равновесия груза находилось прямо у края стола. Прикрепите лист миллиметровой бумаги к столу. Закрепите деревянную линейку с нижней стороны парты при помощи скотча. Положите компакт-диск надписью «Республиканская олимпиада-2008» вверх и сместите его на $10\,\text{мм}$ от края стола. Отклоняя груз на разные расстояния из положения равновесия по линейке, заставляйте его врезаться в компакт-диск, сообщая тем самым диску начальную скорость. Следите за тем, чтобы удар был центральным.

Схема опыта: груз на нити подвешен к вертикальной стойке штатива у края стола; на столе лежит компакт-диск CD; груз отклонен на расстояние X, отмеряемое по линейке под краем стола (подпись «линейка»).

Измерьте зависимость пути $s$ , проходимого диском по бумаге, от начального отклонения груза $X$ . Постройте график этой зависимости.

Измерения начинайте с таких значений отклонения груза, при которых компакт-диск проходит по бумаге не менее 10 мм. Постройте график зависимости пути, проходимого диском по бумаге от его начальной скорости.

Определите коэффициент трения скольжения $\mu$ и коэффициент вязкого трения $\beta$ .

Погрешности величин $\mu$ и $\beta$ оценивать не требуется.

Отговори

Решение

10 класс (11-летняя школа).

Теоретическое введение

Если на тело действуют силы трения скольжения и вязкого трения, то по второму закону Ньютона оно приобретает ускорение

ma = -\mu mg - \beta v, \qquad (1)

v' = -\frac{\beta}{m}(v + \frac{\mu mg}{\beta}), \qquad (2)

Решением такого уравнения будет экспоненциальная функция

v + \frac{\mu mg}{\beta} = Ce^{-\frac{\beta}{m}t}, \qquad (3)

где постоянная $C$ определяется из начальных условий $v(0) = v_0$ , откуда $C = v_0 + \frac{\mu mg}{\beta}$ .

Итого, зависимость скорости от времени

v(t) = (v_0 + \frac{\mu mg}{\beta})e^{-\frac{\beta}{m}t} - \frac{\mu mg}{\beta}. \qquad (4)

Движение будет происходить до времени $t^*$ , пока скорость не станет раной нулю:

(v_0 + \frac{\mu mg}{\beta})e^{-\frac{\beta}{m}t^*} - \frac{\mu mg}{\beta} = 0, \qquad (5)

t^* = \frac{m}{\beta}\ln(1 + \frac{\beta v_0}{\mu mg}). \qquad (6)

За это время тело пройдет путь

s = \int_0^{t^*} v(t)dt = \int_0^{t^*} (v_0 + \frac{\mu mg}{\beta})e^{-\frac{\beta}{m}t} - \frac{\mu mg}{\beta}dt = \frac{m}{\beta}(v_0 + \frac{\mu mg}{\beta})\left(1 - e^{-\frac{\beta}{m}t^*}\right) - \frac{\mu mg}{\beta}t^* =

= \frac{m}{\beta}v_0\left(1 - \frac{\mu mg}{\beta v_0}\ln(1 + \frac{\beta v_0}{\mu mg})\right). \qquad (7)

При малых значениях параметра $\xi$ справедлива приближенная формула

\ln(1 + \xi) \approx \xi - \frac{\xi^2}{2} + \frac{\xi^3}{3}. \qquad (8)

Соответственно, при малых значениях $\frac{\beta v_0}{\mu mg}$ формула (7) превращается в

s \approx \frac{m}{\beta}v_0\left(1 - \frac{\mu mg}{\beta v_0}\left(\frac{\beta v_0}{\mu mg} - \frac{1}{2}\left(\frac{\beta v_0}{\mu mg}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{\beta v_0}{\mu mg}\right)^3\right)\right) = \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{\mu g} - \frac{1}{3}\frac{\beta {v_0}^3}{\mu^2 mg^2} \qquad (9)

Относительная погрешность использования формулы (8) на превышает 5% при $\xi < 0{,}7$ .

Для определения массы компакт диска воспользуемся линейкой, лежащей на лапке, закрепленной в штативе, как рычажными весами. С одной стороны подвесим компакт-диск на нити, а с другой – груз известной массы. Уравновесим систему.

В состоянии равновесия отношение плеч грузов будет равно обратному отношению масс

Рычажные весы: линейка на опоре; слева на плече l подвешен компакт-диск m, справа на плече L — груз M.

\frac{m}{M} = \frac{L}{l}. \qquad (10)

Отсюда

m = M\frac{L}{l}. \qquad (11)

Масса груза известна и равна 100 г. Для измерения длины плеч можно пользоваться самой линейкой. При этом для увеличения точности измерений диск необходимо располагать как можно ближе к краю линейки. Чтобы не учитывать массу линейки, ее ось вращения должна располагаться под центром масс, т.е. необходимо уравновесить саму линейку до взвешивания грузов.
В результате измерений получены следующие величины
$M = 100 \pm 0{,}5\,\text{г}$ ; $L = 23 \pm 1\,\text{мм}$ ; $l = 150 \pm 1\,\text{мм}$ .
Масса компакт-диска равна $m = 15{,}3\,\text{г}$ , относительная погрешность измерений $\varepsilon_m = \sqrt{\varepsilon_M^2 + \varepsilon_L^2 + \varepsilon_l^2} = 0{,}04$ , абсолютная погрешность $\Delta m = m\varepsilon_m = 0{,}7\,\text{г}$ .
Масса CD равна $m = (15{,}3 \pm 0{,}7)\,\text{г}$

Геометрия маятника: нить длины R в вертикальном положении и отклоненная; горизонтальное смещение X, подъем груза H.

Рассмотрим соударение тел. Пусть скорости тел $M$ и $m$ после соударения равны $V^*$ и $v$ соответственно. Поскольку соударение абсолютно упругое, выполняются законы сохранения импульса и энергии

Соударение: груз M движется со скоростью V (стрелка влево) к лежащему диску m.

MV = MV^* + mv, \qquad (12)

MV^2 = MV^{*2} + mv^2. \qquad (13)

отсюда нетрудно получить для скорости тела $m$

v = \frac{2M}{M+m}V. \qquad (14)

Для используемого компакт-диска и груза коэффициент $\alpha = \frac{2M}{M+m} = 1{,}73.$ Относительная погрешность $\varepsilon_\alpha = \sqrt{\varepsilon_{2M}^2 + \varepsilon_{M+m}^2} \approx 0{,}01$ . Абсолютная погрешность равна $\Delta\alpha = \alpha\varepsilon_a \approx 0{,}02$ .
Коэффициент передачи скорости равен $\alpha = 1{,}73 \pm 0{,}02.$

Расстояние $X$ измеряется линейкой, прикрепленной к нижней стороне парты скотчем. Для увеличения точности измерений $X$ груз необходимо отпускать, когда он находится в вертикальном положении.

Измерения смещения компакт-диска по миллиметровой бумаге производятся при помощи самой миллиметровой бумаги.
Результаты измерений пройденного пути от начального отклонения груза $X$ приведены в Таблице 1. По результатам измерений построен график $s(X)$ .
При смещении груза из положения равновесия на расстояние $X$ по горизонтали, он поднимается на высоту

H = R - \sqrt{R^2 - X^2}, \qquad (15)

где $R -$ расстояние от точки подвеса до центра масс груза.
При подходе к диску его скорость можно найти из закона сохранения энергии

V = \sqrt{2gH} = \sqrt{2g(R - \sqrt{R^2 - X^2})}. \qquad (16)

Начальная скорость движения компакт-диска

v_0 = \alpha V = \alpha\sqrt{2g(R - \sqrt{R^2 - X^2})}. \qquad (17)

Расстояние от точки крепления нити к лапке штатива до центра масс грузика было равно $R = 710\,\text{мм}$ .
По измеренным данным и формуле (17) необходимо определить начальную скорость диска $v_0$ .

График зависимости пути s, мм (0–60) от отклонения X, мм (0–220): точки на S-образной кривой.

Таблица 1

$X$ , мм	$v_0$ , м/с	$s$ , мм	$s/v_0^2$ , мм·с $^2$ /м $^2$
20	0.074	6	1055
30	0.111	8	643
40	0.149	10	437
50	0.186	12	313
60	0.223	13	254
70	0.261	15	221
80	0.298	21	233
90	0.335	24	217
100	0.373	32	230
110	0.410	37	217
120	0.448	40	198
130	0.485	46	197
140	0.523	47	173
150	0.561	50	158
160	0.599	53	149
170	0.637	54	133
190	0.713	56	110
200	0.751	58	102
210	0.789	60	96.8
220	0.828	62	89.9
230	0.867	64	84.7

Зависимость пройденного пути от начальной скорости диска описывается формулой (9).
Для определения коэффициента трения скольжения $\mu$ и вязкого трения $\beta$ необходимо эту зависимость линеаризовать и построить график зависимости $\frac{s}{v_0^2}$ от $v_0$ (табл. 1).
Данная зависимость – убывающая линейная

\frac{s}{v_0^2} = A - Bv_0, \qquad (18)

где $A = \frac{1}{2\mu g}$ , $B = \frac{1}{3}\frac{\beta}{\mu^2 mg^2}$ .

График зависимости s/v0², мм с²/м² (0–120) от v, м/с (0–1.6): точки вокруг убывающей прямой, пересекающей вертикальную ось около 110.

Коэффициент $A$ определяется по точке пересечения графика с вертикальной осью, а коэффициент $B$ - по тангенсу угла наклона графика к горизонтальной оси.
Альтернативный способ определения $A$ и $B$ - по МНК.
Поскольку и расстояние $s$ , и $X$ , и, соответственно, $v_0$ , определены с погрешностями, то при делении малых «погрешных» значений друг на друга, результат может получиться абсолютно неверным. Именно поэтому при построении графика зависимости $\frac{s}{v_0^2}$ от $v_0$ и определении коэффициентов $A$ и $B$ необходимо брать лишь точки, соответствующие смещению диска больше 10 мм.
Коэффициент $A = 0{,}11$ с $^2$ /м, а $B = 0{,}057$ с $^3$ /м $^2$ . Отсюда

\mu = \frac{1}{2gA} = 0{,}46, \qquad (19)

\beta = 3\mu^2 mg^2 B = 0{,}053\ \text{кг/с}. \qquad (20)

Формула (9) применима только для малых значений $\frac{\beta v_0}{\mu mg} < 0{,}7$ , поэтому необходимо проверить малость этого выражения. Максимальное значение начальной скорости диска, для которой погрешность формулы не превышает 5%, равно $v_{\max} = 0{,}7\mu mg/\beta = 0{,}91\,\text{м/с}$ .
Как видно из таблицы 1, в эксперименте скорость диска не превышает этого значения. Иначе точки, соответствующие скоростям, большим максимально допустимой, необходимо было бы отбросить при определении коэффициентов $A$ и $B$ .

График зависимости пути s, мм (0–70) от скорости v, м/с (0–1.4): точки на S-образной кривой.

Оригинал в Архива: 2008_experimental_problems.pdf · официални решения: 2008_experimental_solutions.pdf