Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 10(11)-1.3. 10(11) класс — 1.3. Разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

1.3 По тонкому закрепленному кольцу радиуса R , плоскость которого горизонтальна, протекает ток силой I . Вдоль оси кольца расположена гладкая вертикальная немагнитная спица, по которой из бесконечности вниз скользит небольшое тонкое проводящее колечко массы m и радиуса r , сопротивление которого $R_0$ . Покажите, что на больших расстояниях $z$ ( $z\gg R$ ) от центра кольца с током модуль вектора магнитной индукции на его оси задается выражением $B(z)=a/z^3$ , где $a$ — некоторый размерный коэффициент. Найдите значение этого коэффициента. Определите зависимость скорости падения колечка $\upsilon(z)$ на больших расстояниях от кольца. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считайте, что движение колечка происходит с ускорением значительно меньшим ускорения свободного падения $g$ . Индуктивностью колечка пренебречь.

Полная схема кольца/спицы с R,r,I,z,g,скоростьюv(z) и всеми стрелками.

Решение

1.3 Для вычисления модуля вектора индукции магнитного поля на оси кольца с током используем закон Био-Савара-Лапласа, согласно которому малый элемент тока $(I\Delta\vec l)_k$ создает на оси кольца индукцию

Полная геометрия магнитного поля: A,z,g,rk,R,φ,ΔBk,(IΔl)k,O и все стрелки.

\Delta B_k=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(I\Delta l)_k}{r_k^2}.

Вектор $\Delta\vec B_k$ нормален вектору $\vec r_k$ , проведенному от элемента тока в точку рассмотрения A (см.рис). Поскольку все элементы тока $I\Delta\vec l_k$ находятся на одинаковом расстоянии $r_k=\sqrt{R^2+z^2}$ от центра кольца и составляют с вертикалью одинаковый угол $\varphi$ , то суммирование выполниться несложно

B=\sum_k\Delta B_{zk}=\sum_k\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(I\Delta l)_k}{r^2}\cos\varphi=\frac{\mu_0I\cos\varphi}{4\pi r^2}\sum_k\Delta l_k=\frac{\mu_0I\cos\varphi}{4\pi r^2}2\pi R=\frac{\mu_0IR}{2r^2}\cos\varphi.

Из рисунка следует, что $\cos\varphi=R/r$ , с учетом выражения для расстояния $r$ , получим окончательное выражение для модуля вектора индукции магнитного поля на расстоянии z от центра кольца.

B(z)=\frac{\mu_0IR}{2r^2}\cos\varphi=\frac{\mu_0IR^2}{2r^3}=\frac{\mu_0I}2\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}.\qquad (1)

На больших расстояниях z ( z ≫ R ) от кольца слагаемым $R^2$ в знаменателе (1) можно пренебречь по сравнению со слагаемым $z^2$ . В результате получим

B(z)=\frac{\mu_0I}2\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}=\{z\to\infty\}\approx\frac{\mu_0I}2\frac{R^2}{(z^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}2\frac{R^2}{z^3}=\frac a{z^3}.\qquad (2)

Соответственно, выражение для искомого коэффициента a принимает вид

a=\frac{\mu_0IR^2}2.\qquad (3)

Как следует из (2) при падении колечка и приближении его к кольцу модуль магнитной индукции поля возрастает, т.е. магнитный поток через колечко увеличивается. Приращение магнитного потока через колечко при смещении его на величину $\Delta z$

\Delta\Phi=-\pi r^2B'(z)\Delta z.

Дифференцируя (2) по z , получим

B'(z)=-\frac{3a}{z^4}.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в колечке возникнет ЭДС индукции

\varepsilon_i=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{3\pi r^2a}{z^4}\frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{3\pi r^2a}{z^4}\upsilon(z).\qquad (4)

Соответственно, сила индукционного (наведенного) тока в колечке оказывается пропорциональной его скорости движения

I_i=\frac{\varepsilon_i}{R_0}=\frac{3\pi r^2a}{R_0z^4}\upsilon(z).\qquad (5)

Поскольку в колечке появился индукционный ток, то на него со стороны магнитного поля кольца будут действовать силы Ампера. Здесь следует заметить, что вертикальная (осевая) составляющая магнитного поля $\vec B(z)$ создает элементарные силы Ампера $\vec F_{Ai}$ , которые

Полная осевая полевая схема колечка: B(z),g,FAi,кольцо и все стрелки.

лишь деформируют (сжимают или растягивают) колечко, но не могут замедлить или ускорить его движения, поскольку не имеют вертикальной проекции. А вот радиальные составляющие $\vec B_{ri}$ индукции магнитного поля, возникающие вследствие рассеяния линий магнитной индукции от оси Oz , в силу правила Ленца притормаживают колечко, поскольку имеют вертикальные проекции (см.рис).

Полная радиальная полевая схема колечка: Bri,FAi,g,кольцо и все стрелки.

Для нахождения модуля Br вблизи оси Oz применим теорему Гаусса для магнитного поля, которая утверждает, что поток вектора магнитной индукции по произвольной замкнутой поверхности равен нулю. Рассмотрим цилиндр высотой $\Delta z$ , радиус которого совпадает с радиусом колечка (см. рис). Будем считать, что в силу малости радиуса r колечка осевая составляющая B (z ) магнитного поля в его пределах меняется незначительно. Тогда разность магнитных потоков через нижнее и верхнее основания цилиндра

\Delta\Phi=\pi r^2B'(z)\Delta z,\qquad (6)

в силу теоремы Гаусса должна быть равна потоку вектора индукции магнитного поля через боковую поверхность цилиндра

Полный цилиндр теоремыГаусса: B(z),B,Br,r,Δz,g,силовые линии/поверхности и все стрелки.

\Phi_{\text{бок}}=B_r2\pi r\Delta z.\qquad (7)

Равенства (6)-(7) имеют наглядный геометрический смысл: неразрывные линии магнитной индукции, вошедшие в цилиндр через нижнее основание, могут выйти из него или через верхнее основание, или через его боковую поверхность. Приравнивая (5) и (6) получим

B_r=-\frac{B'(z)}2r=\frac32\frac{ar}{z^4}.\qquad (8)

Соответственно, для суммарной компоненты силы Ампера, тормозящей падение кольца, получим выражение

F_A=I_iB_r2\pi r=\{(5),(8)\}=\frac{9\pi r^3a^2}{2R_0z^8}\upsilon(z).\qquad (9)

Поскольку, согласно условию, ускорение кольца мало (гораздо меньше ускорения свободного падения), то можно считать, что кольцо в любой момент времени движется равномерно. Подобные процессы называются квазистационарными. Для подобных процессов характерное время установления равновесного состояния системы (время релаксации) должно быть достаточно мало. В рамках данной модели можем записать

mg=F_A=\frac{9\pi r^3a^2}{2R_0z^8}\upsilon(z).

Из полученного уравнения найдем искомую зависимость скорости установившегося падения кольца на высоте z

\upsilon(z)=\frac{2mgR_0z^8}{9\pi r^3a^2}=\frac{8mgR_0}{9\pi r^3\mu_0^2I^2R^4}z^8.\qquad (10)

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf