Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 10(11)-2. 10(11) класс — 2. Гравитационный диполь

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Хорошо известна и изучена такая система зарядов как электрический диполь. Мы будем рассматривать систему, состоящую из двух небольших шариков, массы m и имеющих постоянные электрические заряды – равные по величине и противоположные по знаку: + q и − q , находящиеся на концах жесткого невесомого и непроводящего стержня длиной $l$ .

Полный электрический диполь: m,−q,+q,l и стержень.

Гравитационным «диполем» будем называть аналогичную систему, но не несущую электрических зарядов.

Полный гравитационный диполь: обе массыm,l и стержень.

При рассмотрении электрических взаимодействий гравитационными силами можно пренебречь.

Соблюдайте «закон сохранения порядка малости»!

3.1Э Электрический диполь находится на фиксированном расстоянии R ( R ≫ l ) от точечного заряда Q. Определите суммарную силу, действующую на электрический диполь со стороны заряженного тела. Ось диполя направлена на точечный заряд.

3.1Г Гравитационный диполь находится на фиксированном расстоянии R ( R ≫ l ) от центра массивного шара, массы M. Определите суммарную силу, действующую на электрический диполь со стороны шара. Ось диполя направлена на центр шара.

3.2Э Пусть теперь центр электрического диполя закреплен, но сам диполь может вращаться вокруг точки крепления O . Определите период малых крутильных колебаний диполя.

Полная схема3.2Э: Q,R,−q,+q,O,l и стрелки вращения.

3.2Г Теперь центр гравитационного диполя закреплен, но сам диполь может вращаться вокруг точки крепления O . Определите период малых крутильных колебаний диполя. Оцените численной значение этого периода, для гравитационного диполя, находящегося у поверхности Земли.

Полная схема3.2Г: m0,R,m,l,O и стрелки вращения.

3.3Э Электрический диполь движется вокруг неподвижного заряженного шара (электрический заряд Q ), так что центр диполя описывает окружность радиуса R ( R ≫ l ), а ось диполя все время направлена к центру шара. Рассчитайте период обращения диполя. Растянут или сжат диполь? Определите силу натяжения стержня диполя в процессе движения.

Полная орбитальная схема3.3Э с заряженным шаром, R,−q,+q,l и всеми стрелками.

3.3Г Гравитационный «диполь» движется вокруг неподвижного шара массы $m_0$ , так что центр диполя описывает окружность радиуса R ( R ≫ l ), а ось диполя все время направлена к центру шара. Рассчитайте период обращения диполя. Растянут или сжат диполь? Определите силу натяжения стержня диполя в процессе движения.

Полная орбитальная схема3.3Г с исходным шаром, m0,R,m,l и всеми стрелками.

Решение

Принципиальное различие между поведением электрического и гравитационного диполя заключается в том, что силы, действующие на шарики гравитационного диполя направлены в одну сторону, а для электрического - в противоположные. Во всех частях задачи «просматривается» малый безразмерный параметр $l/R$ , поэтому следует внимательно следить за правильным использованием приближенных формул.

3.1Э Модуль силы притяжения равен разности модулей сил, действующих на каждый из шариков. В свою очередь, эти силы определяются законом Кулона

Полная силовая схема3.1Э: +Q,R,F1,F2,−q,+q,l и все стрелки.

\begin{aligned}F=F_1-F_2&=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0(R-l/2)^2}-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0(R+l/2)^2}\\&=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(\frac1{(1-l/(2R))^2}-\frac1{(1+l/(2R))^2}\right)=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0R^2}\frac lR\frac2{(1-l^2/(4R^2))^2}.\end{aligned}

В данном выражении следует пренебречь слагаемыми второго порядка малости. Поэтому окончательная формула для силы притяжения диполя имеет вид

F=\frac{Qql}{2\pi\varepsilon_0R^3}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}\frac{2l}R.\qquad (1)

Примечание. Этот результат может быть получен из известной формулы для силы, действующей на диполь,

F_x=p\frac{dE_x}{dx},

где p = ql -дипольный момент диполя.

3.1Г Для гравитационного диполя модули сил необходимо просуммировать

Полная силовая схема3.1Г: m0,R,F1,F2,m,l и стрелки.

F=F_1+F_2=G\frac{mm_0}{(R-l/2)^2}+G\frac{mm_0}{(R+l/2)^2}=G\frac{mm_0}{R^2}\frac{2(1+l^2/(4R^2))}{(1-l^2/(4R^2))^2}.

В этом выражении также следует пренебречь малыми величинами, поэтому суммарная сила, действующая на «гравитационный диполь» равна

F=G\frac{2mm_0}{R^2}.\qquad (2)

Этот результат очевиден, так как при выполнении условия R ≫ l , «диполь» может рассматриваться как материальная точка.

3.2Э При повороте диполя на малый угол $\alpha$ возникает момент сил, равный

M=(F_1+F_2)\frac l2\sin\alpha.

Полная силовая схема3.2Э: Q,R,α,O,F1/F2,−q,+q и стрелки.

и возвращающий его в исходное состояние. Заметим, что в данном выражении фигурирует сумма модулей сил, поэтому их можно считать одинаковыми и равными

F=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}.

Так как колебания являются малыми, то можно считать, что sin $\alpha$ ≈ $\alpha$ . Для описания движения диполя можно использовать уравнение динамики вращательного движения (а можно использовать и другие подходы). Из этого уравнения следует уравнение гармонических колебаний

2m\left(\frac l2\right)^2\beta=-\frac{Qql}{4\pi\varepsilon_0R^2}\alpha\Rightarrow\beta=-\frac{Qq}{2\pi\varepsilon_0R^2ml}\alpha,\qquad (1)

из которого находим период колебаний

T=2\pi\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0R^2ml}{Qq}}.\qquad (2)

3.2Г В этом случае силы направлены в одну сторону, поэтому их моменты противоположны. Суммарный момент сил, возвращающий его в исходное состояние, определяется разностью модулей сил, поэтому является малой величиной

Полная силовая схема3.2Г: m0,R,α,O,m,F1/F2 и стрелки.

M=-(F_1-F_2)\frac l2\sin\alpha=-\frac{Gmm_0}{R^2}\left(\frac1{(1-l/(2R))^2}-\frac1{(1+l/(2R))^2}\right)\frac l2\sin\alpha\approx-\frac{Gmm_0}{R^2}\frac lR l\alpha.

Соответствующее уравнение динамики вращательного движения, также является уравнением гармонических колебаний

2m\left(\frac l2\right)^2\beta=-\frac{Gmm_0l^2}{R^3}\alpha\Rightarrow\beta=-\frac{2Gm_0}{R^3}\alpha.

Период малых колебаний в этом случае равен

T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{2Gm_0}}.\qquad (3)

Интересно и неожиданно – этот период не зависит от физических характеристик диполя! У поверхности Земли ускорение свободного падения равно

g=G\frac{m_0}{R^2}.

Следовательно, период рассматриваемых колебаний равен

T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{2Gm_0}}=2\pi\sqrt{\frac R{2g}}\approx2\pi\sqrt{\frac{6{,}35\cdot10^6}{2\cdot9{,}8}}=3{,}6\cdot10^3\text{ с}\approx1\text{ час}.

3.3Э Чтобы ось диполя была направлена все время на центр заряженного шара необходимо, чтобы оба шарика диполя вращались с одинаковыми угловыми скоростями. Почти очевидно, что стержень растянут, поэтому уравнения второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление, записываются в виде

Полная силовая схема3.3Э: исходный заряженный шар,F1/F2,N,ω и все стрелки.

\begin{cases}m\omega^2R(1-l/(2R))=\dfrac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}\dfrac1{(1-l/(2R))^2}-N,\\m\omega^2R(1+l/(2R))=-\dfrac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}\dfrac1{(1+l/(2R))^2}+N.\end{cases}\qquad (4)

Складывая эти уравнения, видим, что центростремительное ускорение является малой величиной первого порядка

2m\omega^2R=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(\frac1{(1-l/(2R))^2}-\frac1{(1-l/(2R))^2}\right)=\frac{2Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}\frac lR.

Период вращения легко выразить через угловую скорость

T=\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0R^4}{mQql}}.\qquad (5)

Сложим теперь уравнения системы (4) для расчета силы реакции стержня

2N=m\omega^2l+\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0(R+l/2)^2}+\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0(R-l/2)^2}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(\frac lR\right)^2+\frac{2Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}.

Видим, что сила натяжения стержня определяется кулоновскими силами (центробежные силы – малы)

N=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^2}.\qquad (6)

3.3Г В этом случае уравнения второго закона Ньютона должны быть записаны следующим образом

Полная силовая схема3.3Г: m0,R,F1/F2,N,m,l и все стрелки.

\begin{cases}m\omega^2R(1-l/(2R))=G\dfrac{mm_0}{R^2}\dfrac1{(1-l/(2R))^2}-N,\\m\omega^2R(1+l/(2R))=G\dfrac{mm_0}{R^2}\dfrac1{(1-l/(2R))^2}+N.\end{cases}\qquad (7)

Для определения центростремительного ускорения и периода обращения сложим эти уравнения

2m\omega^2R=G\frac{mm_0}{R^2}\left(\frac1{(1+l/(2R))^2}+\frac1{(1+l/(2R))^2}\right)=G\frac{mm_0}{R^2}\frac{2(1+l^2/(4R^2))}{(1-l^2/(4R^2))^2}.\qquad (8)

Пренебрегая малыми величинами, находим период обращения

m\omega^2R=G\frac{mm_0}{R^2}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{Gm_0}},\qquad (10)

который совпадает с периодом обращения материальной точки. Для расчета силы натяжения стержня запишем разность уравнений (8):

2N=m\omega^2l+G\frac{mm_0}{R^2}\left(\frac1{(1-l/(2R))^2}-\frac1{(1+l/(2R))^2}\right).

Из этого выражения следует, что и центробежные силы (с учетом (10)) и разность гравитационных сил имеют одинаковый первый порядок малости, поэтому должны быть учтены

\begin{aligned}N&=\frac12m\omega^2R\frac lR+\frac12G\frac{mm_0}{R^2}\left(\frac1{(1-l/(2R))^2}-\frac1{(1+l/(2R))^2}\right)\\&=\frac12G\frac{mm_0}{R^2}\frac lR+\frac12G\frac{mm_0}{R^2}\frac{2l}R=\frac32G\frac{mm_0}{R^2}\frac lR.\end{aligned}

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf