Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 10(11)-3. 10(11) класс — 3. Разрядка конденсатора

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

1 Оцените время $\tau$ разрядки конденсатора емкостью С в цепи, изображенной на рисунке, после замыкания ключа K . Сопротивление резистора R. Начальный заряд конденсатора q0 . Какое количество теплоты Q выделится при этом на резисторе? Нарисуйте схематический график зависимости заряда на конденсаторе от времени.

Полная исходная RCцепь: C,q0,K,R и все провода.

Вы убедились, что разрядка конденсатора проходит не по линейному закону. Такие зависимости сложнее поддаются анализу, поэтому настоящий физик-теоретик решил облегчить себе жизнь и разработать устройства, в которых ток разрядки остается постоянным (правда, при этом он не подумал об экспериментаторах, которым, возможно, предстоит реализовывать его идеи). Далее вам предстоит проанализировать эти «экзотические способы разрядки.

2 Для оптимизации процесса разрядки заряженный конденсатор емкостью С замыкают на реостат, сопротивление которого изменяют от максимального значения $R_0$ до нуля. По какому закону R (t ) необходимо менять со временем сопротивление реостата, чтобы сила тока через него оставалась постоянной за время разрядки конденсатора? За какое время $\tau$ конденсатор полностью разрядится? Какое количество теплоты Q выделится при этом на резисторе? Начальный заряд конденсатора $q_0$ .

Полная исходная цепь реостата: C,q0,R0,R(t),полярность и стрелка.

3 Рассмотрим дисковый конденсатор переменной емкости, изображенный на фотографии-заставке к данной задаче. Если поворачивать один диск относительно другого, то при этом уменьшается площадь S перекрытия пластин (дисков). Будем считать, что электроемкость конденсатора пропорциональна этой площади перекрытия дисков S . Каким образом необходимо поворачивать пластину конденсатора для того, чтобы ток в цепи оставался постоянным? За какое время $\tau$ конденсатор полностью разрядится? Какое количество теплоты Q выделится при этом на резисторе? Начальный заряд конденсатора q0 , начальная электроемкость С0 . Сопротивление резистора $R$ .

Полная связанная исходная цепь/геометрия полудисков: C0,q0,R,ω,α,S и все провода/стрелки.

4 Будем сдвигать одну пластину конденсатора «горизонтально», не нарушая параллельности пластин и не изменяя площади их перекрытия, но увеличивая расстояние x между ними. Каким образом необходимо менять расстояние x(t ) между пластинами со временем, чтобы ток в цепи оставался постоянным? За какое время $\tau$ конденсатор полностью разрядится? Какое количество теплоты Q выделится при этом на резисторе? Начальный заряд конденсатора $q_0$ , его начальная электроемкость $C_0$ . Сопротивление резистора $R$ .

Полная исходная цепь раздвигания пластин: C0,q0,R и стрелка.

Решение

Поскольку начальное напряжение на конденсаторе $U_0=q_0/C$ , то согласно закону Ома сразу после замыкания ключа К в цепи возникнет ток силой $I_0=U_0/R=q_0/(RC)$ .

Полная исходная RCцепь ключа: C,q0,K,R и все провода.

По мере разрядки конденсатора напряжение на нем, а следовательно и сила тока в цепи, будут монотонно убывать с течением времени. Строгое математическое решение данной задачи приводит к неожиданному результату — полная разрядка конденсатора происходит «бесконечно долго», поскольку график временной зависимости заряда конденсатора $q(t)$ асимптотически стремится к нулю (см.рис).

Полный график RCразрядки: q,q0,t,τ,q(t)=q0exp(−t/RC),касательная,кривая и оси.

Для оценки времени разрядки конденсатора используем традиционный прием: будем считать, что сила тока в цепи «сохраняет» свое максимальное значение $I_0=q_0/(RC)$ в течение всего времени разрядки конденсатора. В таком случае для полной разрядки конденсатора потребуется время

\tau=\frac{q_0}{I_0}=RC.\qquad (1)

Графически данная оценка соответствует точке пересечения касательной к графику q (t ) , проведенной в начальной точке, с осью абсцисс.

Если сила тока в цепи остается постоянной и равной I , то заряд конденсатора линейно убывает со временем по закону

q(t)=q_0-I\cdot t.

Напряжение на конденсаторе, пропорциональное его мгновенному заряду q (t ) , должно быть равно падению напряжения на резисторе, сопротивление которого меняется со временем (см. рис). Следовательно, в данном случае справедливо равенство

\frac{q(t)}C=\frac{q_0-I\cdot t}C=I\cdot R(t)\Rightarrow R(t)=\frac{q_0-I\cdot t}{IC}.\qquad (2)

Согласно (2) для того, чтобы сила тока в цепи при разрядке конденсатора оставалась постоянной, сопротивление реостата нужно уменьшать со временем по линейному закону (см. рис). Поскольку в начальный момент времени $I=q_0/(R_0C)$ , то искомую зависимость R (t ) можно представить в виде

Полный график линейного реостата: R,R0,t,τ,формулаR(t),линия и оси.

R(t)=R_0\left(1-\frac t\tau\right),

где $\tau$ = R0C . Как ни странно, но время $\tau$ полной разрядки конденсатора при постоянной силе тока ( $\tau=q_0/I$ ) также равно

\tau=R_0C.

Количество теплоты, выделившееся на резисторе за все время разрядки, согласно закону сохранения энергии равно начальной энергии конденсатора

Q=\frac{q_0^2}{2C}.

Заметим, что этот же результат можно получить и иным способом – просуммировать и усреднить мощность тепловыделения Джоуля-Ленца.

При повороте одной из пластин на угол $\alpha$ относительно другой пластины площадь перекрытия пластин уменьшилась на величину площади сектора угловой величиной $\alpha$ (см. рис)

Полная связанная цепь/геометрия полудисков ключа: C0,q0,R,ω,α,S и все стрелки.

S=S_0-\frac{\alpha r^2}2=S_0\left(1-\frac\alpha\pi\right).

Соответственно, электроемкость нового плоского конденсатора стала равной

C=\frac{\varepsilon_0S}d=C_0\left(1-\frac\alpha\pi\right).\qquad (3)

Опять же, если сила тока в цепи остается постоянной и равной I , то заряд конденсатора линейно убывает со временем по закону

q(t)=q_0-I\cdot t.

В силу равенства мгновенных напряжений на резисторе и конденсаторе в любой момент времени можем записать

\frac{q(t)}{C(t)}=\frac{q_0-I\cdot t}{C(t)}=I\cdot R\Rightarrow C(t)=\frac{q_0-I\cdot t}{IR}.\qquad (4)

Согласно (4) для того, чтобы сила тока в данной цепи при повороте пластины оставалась постоянной, электроемкость конденсатора нужно уменьшать со временем по линейному

закону (см. график предыдущего пункта). Это значит, что вращать один из дисков нужно с постоянной угловой скоростью $\omega=\alpha/t=\pi/\tau=\pi/(RC_0)$ . Поскольку в начальный момент времени $I=q_0/(C_0R)$ , то равенство(3) можно переписать в виде

C(t)=C_0\left(1-\frac t\tau\right),\qquad (5)

где $\tau=RC_0$ . При этом время разрядки конденсатора $\tau=q_0/I$ по-прежнему (уже можно сказать «традиционно») равно

\tau=RC_0.

Поскольку сила тока в цепи остается постоянной, то в данном случае выделится количество теплоты

Q=I^2R\tau=\left(\frac{q_0}{C_0R}\right)^2R(RC_0)=\frac{q_0^2}{C_0}.\qquad (6)

Как следует из (6) количество выделенной на резисторе теплоты в два раза превышает количество энергии, запасенной в конденсаторе. Это «противоречие» объясняется тем, что при повороте пластины внешние силы совершили над системой положительную работу $A_{\text{вн}}=q_0^2/(2C_0)$ , что и привело к увеличению энергии системы в конечном состоянии.

При увеличении расстояния x между пластинами (см. рис) электроемкость конденсатора уменьшается по закону

Полная цепь раздвигания пластин ключа: C0,q0,R,стрелка и провода.

C=\frac{\varepsilon_0S}x=\frac{\varepsilon_0S}{x_0}\frac{x_0}x=C_0\frac{x_0}x.

Записывая условие равенства напряжений на резисторе и конденсаторе, получим

\frac{q(t)}{C(t)}=\frac{q_0-I\cdot t}{C_0x_0}x(t)=I\cdot R\Rightarrow x(t)=\frac{x_0}{1-t/\tau}.\qquad (7)

При записи(7) опять же учтено, что $I=q_0/(C_0R)$ , $\tau=RC_0$ . Как следует из полученного равенства, в данном случае движение обкладки будет неравномерным, поскольку при t → $\tau$ функция (7) неограниченно возрастает (см.рис).

Полный график раздвиганияx(t): x,x0,0,t,τ,формула,кривая/асимптота и стрелки.

В данном случае конденсатор полностью разрядится при x → ∞ , что произойдет через конечное время, «неизменно» равное

t=\tau=RC_0.

Расчет выделившегося количества теплоты Q при раздвигании пластин полностью аналогичен предыдущему пункту

Q=\frac{q_0^2}{C_0}.

Внешние силы при этом опять же совершат работу против сил кулоновского притяжения пластин, что позволит выделиться на резисторе количеству теплоты, в два раза превышающему начальную энергию конденсатора.

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf