Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 10(11)-1.1. 10(11) класс — 1.1. Разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

1.1 На дно сферы радиуса R насыпали горсть песка. Определите, где будут находиться песчинки, если сферу привести во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$ ? Трение песчинок о сферу и между собой считать очень малым. Ускорение свободного падения $g$ .

Полная вращающаяся сфера: R,ω,g,песок и все стрелки.

Решение

1.1 Будем считать, что при движении песчинки не мешают друг другу. Рассмотрим одну песчинку, находящуюся внутри вращающейся сферы. Поскольку трение в системе слабое, то примем, что движение песчинки происходит только под действием силы тяжести $m\vec g$ и силы реакции опоры $\vec N$ (см.рис).

Полная силовая схема песчинки: mg,N,a,R,r,α,осиx/y и все стрелки.

В этом случае основной закон динамики примет вид

m\vec a=m\vec g+\vec N,\qquad (1)

Пусть в установившемся положении песчинки вектор силы реакции $\vec N$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью. Песчинка, вращаясь вместе со сферой, описывает окружность, радиус которой r найдем из рисунка

r=R\sin\alpha.

При движении по окружности ее центростремительное ускорение может быть найдено, как

a=a_{\text{ц.с.}}=\omega^2r=\omega^2R\sin\alpha.\qquad (2)

Проецируя (1) на оси Ox и Oy получаем систему уравнений

\begin{cases}ma=N\sin\alpha,\\mg=N\cos\alpha.\end{cases}

Из первого уравнения полученной системы с учетом (2) найдем

m\omega^2R\sin\alpha=N\sin\alpha,

откуда, сокращая на sin $\alpha$ ( sin $\alpha$ ≠ 0 ), получим

N=m\omega^2R.\qquad (3)

Подставляя (3) во второе уравнение системы, найдем

\cos\alpha=\frac g{\omega^2R}.\qquad (4)

Как следует из (4) установившееся положение песчинки однозначно определяется угловой скоростью $\omega$ вращения сферы, следовательно, песчинки при вращении сферы распределятся примерно равномерно и образуют кольцо, видимое из ее центра сферы под углом $\alpha$ (см.рис).

Полная исходная устойчивая песчаная окружность во вращающейся сфере: α,R,ω и стрелки.

Это положение песчинок является устойчивым при больших угловых скоростях вращения, поскольку при любых малых смещениях песчинка стремится восстановить начальное значение угла $\alpha$ . Так при $\omega\to\infty$ , $\cos\alpha\to0$ , т.е. $\alpha\to\pi/2$ , и все песчинки соберутся «на экваторе» сферы. При этом радиус песчаного кольца станет равным радиусу сферы R . При уменьшении угловой скорости вращения сферы до значения $\omega^*=\sqrt{g/R}$ косинус угла принимает свое максимальное значение, равное 1. Соответственно, при $\omega$ < $\omega$ ∗ все песчинки соберутся на дне сферы ( $\alpha=0$ ), образуя небольшую кучку (см.рис).

Полная исходная нижняя кучка песка: R,ω,сфера и стрелки.

Это также будет устойчивое положение равновесия песчинок на дне сферы при малых угловых скоростях ее вращения.

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf