Съдържание

Условие Часть 1. Стационарная атмосфера.Часть 2. Восходящие потоки.Часть 3. Конденсация.Решение

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 11(11)-3. 11(11) класс — 3. Образование облаков

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Погожий летний день начинается с безоблачного утра. Часам к одиннадцати на небе появляются легкие белоснежные облака, к обеду почти все небо оказывается покрытым большими кучевыми облаками, которые затем не редко превращаются в грозовые. В данной задаче вам предстоит рассмотреть простую модель образования облаков, оценить параметры атмосферы, при которых начинается образование облаков, оценить высоту, на которой появляются облака. Солнечные лучи практически без поглощения проходят через атмосферный воздух и практически полностью поглощаются поверхностью земли. Поэтому воздух у поверхности оказывается теплее, его температура уменьшается с высотой z .

Часть 1. Стационарная атмосфера.

Сначала рассмотрим стационарную атмосферу, то есть распределение температуры, давления и плотности воздуха по высоте не изменяются с течением времени. Будем считать, что температура воздуха линейно убывает с высотой:

T(z)=T_0(1-az),\qquad (1)

где T0 - температура у поверхности земли, a - постоянный положительный параметр.

1.1 Используя формулу (1) определите, на какой высоте температура убывает на 1° .

1.2 Покажите, что при заданном распределении температуры (1) давление воздуха убывает с высотой по закону

P(z)=P_0(1-az)^\alpha.\qquad (2)

Найдите значение параметра $\alpha$ .

1.3 Покажите, что в рассматриваемой модели плотность воздуха изменяется с высотой по закону

\rho(z)=\rho_0(1-az)^\beta.\qquad (3)

Найдите значение параметра $\beta$ .

1.4 Постройте на одном графике схематические зависимости величин $T(z)/T_0$ , $P(z)/P_0$ , $\rho(z)/\rho_0$ от величины $az$ .

Часть 2. Восходящие потоки.

При некоторых условиях (которые вам и предстоит определить), теплый воздух, нагретый у поверхности земли (и имеющий температуру T0 ), начинает подниматься вверх. Рассмотрим небольшую порцию воздуха, начавшую подниматься с поверхности земли. Понятно, что этот воздух начнет расширяться. Так как теплопроводность воздуха очень мала, то можно считать, процесс расширения является адиабатным, то есть происходит без теплообмена с окружающим воздухом. С другой стороны сжимаемость воздуха высока, поэтому выравнивание давлений рассматриваемой поднимающейся порции воздуха и окружающего его воздуха происходит очень быстро.

Полная научная схема облаков: z,восходящий теплый воздух,облако,солнце,земля и стрелки.

Подсказка. Уравнение адиабатного процесса имеет вид

PV^\gamma=\mathrm{const},\qquad (4)

где $\gamma$ - показатель адиабаты, для воздуха $\gamma$ ≈ 1,4 .

2.1 Покажите, что при найденном распределении давления по высоте (2), температура поднимающегося воздуха изменяется с высотой по закону

T_1(z)=T_0(1-az)^\delta.\qquad (5)

Определите значение параметра $\delta$ .

2.2 Покажите, что плотность поднимающегося воздуха, изменяется с высотой по закону

\rho_1(z)=\rho_0(1-az)^\varepsilon.\qquad (6)

Определите значение параметра $\varepsilon$ .

2.3 Определите при каком значении параметра a , начавший подниматься воздух будет подниматься все выше и выше. Рассчитайте его численное значение. Рассчитайте также, при какой разности высот $\Delta z$ в этом случае температура атмосферы будет понижаться на 1° .

Часть 3. Конденсация.

Пусть относительная влажность воздуха у поверхности земли равна $\varphi$ .

3.1 На какой высоте над поверхностью земли начнется конденсация водяного пара в поднимающемся воздухе, то есть на какой высоте образуются облака?

Подсказка. Давление насыщенного пара Pнас. (T ) связано с температурой соотношением

\ln\frac{P_{\text{нас.}}(T)}{P_{\text{нас.}}(T_0)}=-\frac{qM_1}{R}\left(\frac1T-\frac1{T_0}\right),\qquad (7)

где Pнас. (T0 ) - давление насыщенного пара при температуре T0 , q - удельная теплота испарения воды, М 1 - молярная масса воды, R - универсальная газовая постоянная.

При решении задачи используйте следующие численные значения:

$T_0=300\text{ К}$ — температура у поверхности земли;
$\varphi=70\%$ — влажность воздуха у поверхности земли;
$M=29\cdot10^{-3}\text{ кг}/\text{моль}$ — средняя молярная масса воздуха;
$M_1=18\cdot10^{-3}\text{ кг}/\text{моль}$ — молярная масса воды;
$q=2{,}2\cdot10^6\text{ Дж}/\text{кг}$ — удельная теплота испарения воды;
$R=8{,}3\text{ Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$ — универсальная газовая постоянная;
$g=9{,}8\text{ м}/\text{с}^2$ — ускорение свободного падения. Воздух считать идеальным газом.

Решение

Часть 1. Стационарная атмосфера.

1.1 Из формулы (1) следует, что

\Delta T=T_0a\Delta z.\qquad (1)

Следовательно,

\Delta z=\frac{\Delta T}{T_0a}.\qquad (2)

1.2 При подъеме на малую высоту $\Delta z$ , давление уменьшается на величину

\Delta P=-\rho g\Delta z,\qquad (3)

где $\rho$ - плотность воздуха, зависящая от его давления и температуры. Эта зависимость выражается из уравнения состояния идеального газа

PV=\frac mMRT\Rightarrow\rho=\frac mV=\frac{PM}{RT}.\qquad (4)

Из уравнений (3)-(4) следует, что производная давления по высоте равна

\frac{\Delta P}{\Delta z}=-\rho g=-\frac{PM}{RT}g=-\frac{PMg}{RT_0(1-az)}.\qquad (5)

С другой стороны, из формулы $P=P_0(1-az)^\alpha$ следует, что

P'=-\alpha aP_0(1-az)^{\alpha-1}.

Подставляя эти выражения в уравнение (5) получим

-\alpha aP_0(1-az)^{\alpha-1}=-\frac{P_0(1-az)^\alpha Mg}{RT_0(1-az)}=-\frac{P_0Mg}{RT_0}(1-az)^{\alpha-1}.\qquad (6)

Из этого выражения следует, что формула (2), приведенная в условии, удовлетворяет уравнению (5), при

\alpha=\frac{Mg}{aRT_0}.\qquad (7)

1.3 Формула, описывающая зависимость плотности от высоты следует из выражения (4) и найденной барометрической формулы

\rho(z)=\frac{PM}{RT}=\frac{MP_0(1-az)^\alpha}{RT_0(1-az)}=\frac{MP_0}{RT_0}(1-az)^{\alpha-1}.\qquad (8)

Таким образом, показатель

\beta=\alpha-1=\frac{Mg}{aRT_0}-1.\qquad (9)

1.4 Схематические графики зависимостей температуры, давления и плотности от высоты показаны на рисунке. Важно отметить, что температура падает по линейному закону, давление убывает быстрее всего, а плотность занимает промежуточное значение.

Полный исходный график стационарной атмосферы: T/T0,ρ/ρ0,P/P0,az,все кривые/оси/метки.

Часть 2. Восходящие потоки.

2.1 Так как давление в поднимающейся порции воздуха следует считать равным давлению окружающего воздуха на любой высоте, то для определения зависимости ее температуры следует записать уравнение адиабатного процесса в «координатах» (T , P ) . Из уравнения состояния

\frac{PV}T=\mathrm{const},

выразим

V=\mathrm{const}\cdot\frac TP,

и подставим в уравнение адиабатного процесса:

P\frac{T^\gamma}{P^\gamma}=P^{1-\gamma}T^\gamma=\mathrm{const}\Rightarrow TP^{(1-\gamma)/\gamma}=\mathrm{const}.

Константу в этом уравнении можно выразить из условий на поверхности земли

TP^{(1-\gamma)/\gamma}=T_0P_0^{(1-\gamma)/\gamma}.\qquad (10)

Подставляя найденную зависимость давления от высоты, найдем зависимость температуры поднимающегося воздуха от высоты:

T_1(z)=T_0\left(\frac{P_0}{P_0(1-az)^\alpha}\right)^{(1-\gamma)/\gamma}=T_0(1-az)^{\frac{\gamma-1}\gamma\alpha}.\qquad (11)

Таким образом, в этой формуле показатель степени равен

\delta=\frac{\gamma-1}\gamma\alpha=\frac{\gamma-1}\gamma\frac{Mg}{aRT_0}.\qquad (12)

2.2 Плотность воздуха выражается из уравнения состояния

\rho_1(z)=\frac{PM}{RT_1}=\frac{MP_0(1-az)^\alpha}{RT_0(1-az)^\delta}=\frac{MP_0}{RT_0}(1-az)^{\alpha-\delta}.\qquad (13)

Показатель степени в этой формуле равен

\varepsilon=\alpha-\delta=\frac{Mg}{aRT_0}-\frac{\gamma-1}\gamma\frac{Mg}{aRT_0}=\frac1\gamma\frac{Mg}{aRT_0}.\qquad (14)

2.3 Подъем воздуха будет продолжаться, если на любой высоте его плотность меньше, чем плотность окружающего воздуха

\rho_1(z)<\rho(z).\qquad (15)

Это условие будет выполняться, если показатель степени в формуле (13) будет больше, чем в формуле (8), то есть при $\alpha$ − $\delta$ > $\alpha$ − 1 , или при $\delta$ < 1 . Используя найденное значение этого параметра (12), найдем требуемое значение параметра a :

\frac{\gamma-1}\gamma\frac{Mg}{aRT_0}<1\Rightarrow a>\frac{\gamma-1}\gamma\frac{Mg}{RT_0}\approx3{,}3\cdot10^{-5}\text{ м}^{-1}.\qquad (16)

При этом значении параметра температура должна понижаться на один градус на высотах меньших, чем

\Delta z=\frac{\Delta T}{T_0a}=\frac1{300\cdot3{,}3\cdot10^{-5}}\approx100\text{ м}.\qquad (17)

Часть 3. Конденсация.

Для начала конденсации необходимо, чтобы температура поднимающегося воздуха стала равной температуре точки росы. Итак, пусть при температуре T0 давление насыщенного пара равно Pнас. (T0 ) , тогда парциальное давление водяных паров равно ϕPнас. (T0 ) . Это давление есть давление насыщенных паров при температуре точки росы Tx :

\varphi P_{\text{нас.}}(T_0)=P_{\text{нас.}}(T_x).\qquad (18)

Используя уравнение зависимости давления насыщенных паров от температуры, найдем температуру точки росы:

\ln\frac{P_{\text{нас.}}(T_x)}{P_{\text{нас.}}(T_0)}=\ln\frac{\varphi P_{\text{нас.}}(T_0)}{P_{\text{нас.}}(T_0)}=\ln\varphi=-\frac{qM_1}R\left(\frac1{T_x}-\frac1{T_0}\right)=-\frac{qM_1}{RT_0}\left(\frac{T_0}{T_x}-1\right)\Rightarrow T_x=\frac{T_0}{1-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi}.

Теперь подставим выражение для зависимости температуры поднимающегося воздуха от высоты T1 ( z )

T_0(1-az)^\delta=\frac{T_0}{1-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi}.\qquad (19)

Для решения этого уравнения оценим численно

-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi=-\frac{8{,}3\cdot300\cdot\ln0{,}7}{2{,}2\cdot10^6\cdot18\cdot10^{-3}}\approx0{,}0224,

Эта величина является малой (по сравнению с 1), поэтому малой является и величина az , поэтому уравнение (19) можно упростить:

T_0(1-az)^\delta=\frac{T_0}{1-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi}\Rightarrow1-\delta az=1+\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi.

Наконец, используя выражение для показателя степени $\delta$ , получим выражение для высоты образования облаков

\begin{aligned}\delta az&=-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi\Rightarrow\frac{\gamma-1}\gamma\frac{Mg}{aRT_0}az=-\frac{RT_0}{qM_1}\ln\varphi\\ z&=-\frac\gamma{\gamma-1}\frac{(RT_0)^2}{qM_1Mg}\ln\varphi=-\frac{1{,}4}{0{,}4}\frac{(8{,}3\cdot300)^2\ln0{,}7}{2{,}2\cdot10^6\cdot29\cdot10^{-3}\cdot18\cdot10^{-3}\cdot9{,}8}\approx0{,}69\cdot10^3\text{ м}.\end{aligned}

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf