Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 11(11)-2. 11(11) класс — 2. Гальваномагнитные явления

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

В предложенной задаче вам предстоит разобраться с двумя явлениями, связанными с действием магнитного поля на электрические свойства проводников: эффект Холла и магнетосопротивление. Эффект Холла - возникновение в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, электрического поля в направлении, перпендикулярном и вектору плотности тока и вектору индукции магнитного поля. Магнетосопротивление - изменение удельной проводимости проводника во внешнем магнитном поле. Как известно, в металлах носителями тока являются свободные электроны (заряд e , масса m ). В отсутствие каких либо направленных сил, действующих на электроны, все направления движения последних равновероятны. Т.е. электроны находятся в беспорядочном движении подобно молекулам газа. Соответственно для свободных электронов можно ввести понятие средней длины свободного пробега, средней скорости хаотического движения и среднего времени свободного пробега $\tau$ . Под действием направленной силы на беспорядочное движение электронов накладывается систематическое (дрейфовое) движение. В классическом рассмотрении предполагается, что при наличии внешней силы электрон ускоряется в направлении действия силы в течение времени $\tau$ , а затем, испытав соударение (рассеяние), совершенно «забывает» о своей направленной скорости. Это приводит к тому, что электрон медленно двигается в направлении действующей силы с некоторой средней скоростью дрейфа v . Примечание. Для упрощения рассуждений будем считать, что электрон обладает положительным зарядом.

1 Пусть внутри проводника создано постоянное электрическое поле $E_X$ . Определите среднюю скорость дрейфа электронов $v_X$ . При рассмотрении электрических токов в проводниках удобно пользоваться понятием подвижности. Под действием силы F электрон начинает двигаться со скоростью $v=\mu\cdot F/e$ . Коэффициент $\mu$ называется подвижностью.

2 Выразите $\mu$ через заряд, массу электрона ( e и m ) и время свободного пробега $\tau$ .

3 Считая, что концентрация электронов в металле равна n , определите связь между удельной проводимостью $\sigma_0$ и подвижностью электронов $\mu$ . Перейдём к непосредственному изучению гальваномагнитных явлений. Пусть в проводнике создано поле $E_X$ . При помещении его в магнитное поле $B_Z$ электроны уже не будут двигаться строго в направлении оси OX. Мы рассмотрим лишь случай слабого поля, когда это отклонение невелико. Движение зарядов в направлении оси OY приведёт к тому, что на границе проводника будут собираться электроны, что в свою очередь вызовет появление поля $E_Y$ (эффект Холла) (см. рис.1. Электроны считаются положительными). Т.к.

Полный родной рисунок1гальваномагнитной геометрии: X,Y,Z,Bz,Ex,Ey,стрелки и подписьРис.1.

магнитное поле слабое, то и напряжённость поля $E_Y$ также будет небольшой по сравнению с полем $E_X$ .

4 Пусть $v_X$ и $v_Y$ - проекции дрейфовой скорости электрона на оси OX и OY. Выразите эти проекции через подвижность $\mu$ и составляющие полей $E_X$ , $E_Y$ и $B_Z$ . Предположим, что каким-либо образом удаётся избежать накопления зарядов на границах образца (например, образец бесконечен вдоль оси OY, либо вдоль этой оси

приложено внешнее поле, полностью компенсирующее поле $E_Y$ ). В этом случае удельная проводимость образца уменьшится. Это и есть магнетосопротивление, которое принято характеризовать относительным изменением удельной проводимости $(\sigma_0-\sigma)/\sigma_0=\Delta\sigma/\sigma_0$ .

5 В нашей модели проводника магнетосопротивление приводит к относительному уменьшению удельной проводимости $\Delta\sigma/\sigma_0\approx(\mu B_Z)^\gamma$ . Определите $\gamma$ . Примечание. В дальнейшем следует пренебрегать величиной (µBZ ) в степени большей чем $\gamma$ .

6 Под каким углом $\alpha$ к оси OX будет направлена дрейфовая скорость электронов? Если позволить зарядам накапливаться на границах образца, то очень быстро установится равновесное значение поля $E_Y$ , при котором прекратится ток вдоль оси OY. Будем, для простоты, характеризовать эффект Холла безразмерной постоянной H , которая определяется из соотношения: $E_Y$ = HµBZ $E_X$ .

7 Определите постоянную H в данной модели проводника.

8 Покажите, что возникающее в результате эффекта Холла поле $E_Y$ полностью «уничтожает» магнетосопротивление. Таким образом, при анализе простейшей модели проводника магнетосопротивление наблюдается только при определённых (искусственных) условиях. Если не компенсировать поле $E_Y$ , то эффект Холла приводит к исчезновению магнетосопротивления. Однако в реальных проводниках, помещённых в магнитное поле, эти два эффекта существуют одновременно. Для более точного расчета необходимо учитывать распределение электронов по скоростям. Скорость беспорядочного движения не одинакова у всех электронов, т.е. не одинаково время свободного пробега, а значит и различна подвижность. Подробное описание этих явлений крайне проблематично осуществить ученику 11 класса. Однако в самом простейшем случае различие в подвижностях можно учесть следующим образом. Пусть в проводнике существует два типа электронов. Их концентрация одинакова ( $n_1$ = $n_2$ = n ), а подвижность одних в два раза больше подвижности других ( $\mu_1$ = $\mu$ , $\mu_2$ = 2µ1 = 2µ ).

9 Определите удельную проводимость $\sigma_0$ в такой модели в отсутствие магнитного поля. В проводнике создается поле $E_X$ . Проводник помещается в магнитное поле $B_Z$ .

10 Определите возникающую в результате эффекта Холла напряженность $E_Y$ . Определите также постоянную H .

11 Покажите, что в такой модели магнетосопротивление присутствует и $\Delta\sigma/\sigma_0\approx\delta\cdot(\mu B_Z)^\gamma$ , где $\gamma$ имеет значение, уже полученное вами в пункте5. Определите значение постоянной $\delta$ .

12 Качественно опишите, как будут двигаться электроны каждого сорта в проводнике. Под какими углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ к оси OX будут направлены их дрейфовые скорости?

Решение

Считаем электрон положительно заряженной частицей.

Электрон двигается с ускорением

a_X=\frac{eE_X}m,\qquad (1)

в течение времени $\tau$ . За это время электрон набирает направленную скорость

v=a_X\tau=\frac{eE_X}m\tau.\qquad (2)

Средняя скорость дрейфа

v_X=\frac{e\tau}{2m}E_X.\qquad (3)

Коэффициент $1/2$ не имеет принципиального значения.

Подставляя значение $F/e=E_X$ в формулу(3), получим:

\mu=\frac{e\tau}{2m}.\qquad (4)

Если электроны двигаются вдоль поля с дрейфовой скоростью $v_X$ = µE X , то создаваемая этим направленным движением плотность тока:

j_X=nev_X=ne\mu E_X=\sigma_0E_X,\qquad (5)

откуда

\sigma_0=ne\mu.\qquad (6)

Движение электрона вдоль оси OX приведет к появлению силы Лоренца, действующей в отрицательном направлении оси OY. В свою очередь движение вдоль оси OY приведёт к появлению силы Лоренца, действующей в положительном направлении оси OX. (Заряд электрона положительный.) Следовательно:

\begin{cases}F_X=eE_X+ev_YB_Z,\\F_Y=eE_Y-ev_XB_Z.\end{cases}\qquad (7)

Результирующая сила приведет к появлению дрейфовой скорости, составляющие которой связаны аналогичными соотношениями:

\begin{cases}v_X=\mu(E_X+v_YB_Z),\\v_Y=\mu(E_Y-v_XB_Z).\end{cases}\qquad (8)

Из системы (8) выразим $v_X$ и $v_Y$ .

\begin{cases}v_X=\dfrac{\mu(E_X+\mu E_YB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\\v_Y=\dfrac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2}.\end{cases}\qquad (9)

Если поле $E_Y$ = 0 , то исходя из (9):

\begin{cases}v_X=\dfrac{\mu E_X}{1+\mu^2B_Z^2},\\v_Y=\dfrac{-\mu^2B_ZE_X}{1+\mu^2B_Z^2}.\end{cases}\qquad (10)

Если в отсутствие магнитного поля плотность тока:

j_X=nev_X=ne\mu E_X=\sigma_0E_X.\qquad (11)

То теперь:

j_X=nev_X=\frac{ne\mu E_X}{1+\mu^2B_Z^2}\approx ne\mu E_X(1-\mu^2B_Z^2)=\sigma E_X.\qquad (12)

Следовательно, относительное изменение удельной проводимости:

\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}=\frac{ne\mu-ne\mu(1-\mu^2B_Z^2)}{ne\mu}=(\mu B_Z)^2.\qquad (13)

\gamma=2.\tag{13\text{а}}

Т.к. угол $\alpha$ ≪ 1 (поле слабое), то:

\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha=\frac{v_Y}{v_X}=\mu B_Z.\qquad (14)

Заряды перестанут накапливаться на границах, если $v_Y$ = 0 . При этом, как следует из (9):

E_Y=\mu B_ZE_X.\qquad (15)

H=1.\qquad (16)

Подставив (15) в выражение для скорости $v_X$ (9), получим:

v_X=\frac{\mu(E_X+\mu^2B_Z^2E_X)}{1+\mu^2B_Z^2}=\mu E_X,\qquad (17)

т.е. получается такое же значение, как и в отсутствие поля $B_Z$ . Магнетосопротивления нет.

Полный ток в случае двух типов электронов:

j_X=j_{1X}+j_{2X}=nev_{1X}+nev_{2X}=ne\mu E_X+ne\cdot2\mu E_X=3ne\mu E_X.\qquad (18)

\sigma_0=3ne\mu.\qquad (19)

Для каждого сорта электронов можно записать систему уравнений (8). Для первого типа ( $\mu_1$ = $\mu$ ):

\begin{cases}v_{1X}=\mu(E_X+v_{1Y}B_Z),\\v_{1Y}=\mu(E_Y-v_{1X}B_Z).\end{cases}\qquad (20)

Для второго типа ( $\mu_2$ = 2µ ):

\begin{cases}v_{2X}=2\mu(E_X+v_{2Y}B_Z),\\v_{2Y}=2\mu(E_Y-v_{2X}B_Z).\end{cases}\qquad (21)

Решая эти системы относительно скоростей, получим:

\begin{cases}v_{1X}=\dfrac{\mu(E_X+\mu E_YB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\\v_{2Y}=\dfrac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2}.\end{cases}\qquad (22)

\begin{cases}v_{2X}=\dfrac{2\mu(E_X+2\mu E_YB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2},\\v_{2Y}=\dfrac{2\mu(E_Y-2\mu E_XB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\end{cases}\qquad (23)

Ток вдоль оси OY прекратиться, если (концентрации электронов каждого типа одинаковы):

v_{1Y}=-v_{2Y}.\qquad (24)

Т.е.:

\frac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2}=-\frac{2\mu(E_Y-2\mu E_XB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\qquad (25)

Решая уравнение (25) относительно $E_Y$ , получим:

E_Y=\frac53\mu B_ZE_X\frac{1+\frac85\mu^2B_Z^2}{1+2\mu^2B_Z^2}.\qquad (26)

Используя формулу приближённого вычисления $(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x$ преобразуем дробь в уравнении(26).

\frac{1+\frac83\mu^2B_Z^2}{1+2\mu^2B_Z^2}\approx\left(1+\frac85\mu^2B_Z^2\right)(1+2\mu^2B_Z^2)\approx1-\frac25\mu^2B_Z^2.\qquad (27)

Тогда:

E_Y=\frac53\mu B_ZE_X-\frac23\mu^3B_Z^3E_X\approx\frac53\mu B_ZE_X.\qquad (28)

Можно пренебречь, слагаемым порядка $\mu^3B_Z^3$ :

H=\frac53.\qquad (29)

Подставив (28) в выражения для $v_1$ X (22) и $v_2$ X (23), получим:

v_{1X}=\frac{\mu E_X(1+\frac53\mu^2B_Z^2)}{1+\mu^2B_Z^2},\qquad (30)

v_{2X}=\frac{2\mu E_X(1+\frac{10}3\mu^2B_Z^2)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\qquad (31)

Плотность тока:

j_X=ne(v_{1X}+v_{2X})=ne\mu E_X\left(\frac{1+\frac53\mu^2B_Z^2}{1+\mu^2B_Z^2}+\frac{2(1+\frac{10}3\mu^2B_Z^2)}{1+4\mu^2B_Z^2}\right).\qquad (32)

Используя формулу приближённого вычисления, упростим выражение, стоящее в скобках, сохраняя только величины порядка $\mu^2B_Z^2$ .

\begin{aligned}\frac{1+\frac53\mu^2B_Z^2}{1+\mu^2B_Z^2}+\frac{2(1+\frac{10}3\mu^2B_Z^2)}{1+4\mu^2B_Z^2}&=\left(1+\frac53\mu^2B_Z^2\right)(1-\mu^2B_Z^2)+2\left(1+\frac{10}3\mu^2B_Z^2\right)(1-4\mu^2B_Z^2)\\&=1+\frac23\mu^2B_Z^2+2\left(1-\frac23\mu^2B_Z^2\right)=3\left(1-\frac29\mu^2B_Z^2\right).\end{aligned}\qquad (33)

Тогда для плотности тока получим:

j_X=3ne\mu E_X\left(1-\frac29\mu^2B_Z^2\right).\qquad (34)

Относительное изменение удельной проводимости:

\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}=\frac29(\mu B_Z)^2.\qquad (35)

\delta=\frac29.\qquad (36)

Менее подвижные электроны будут увлекаться полем $E_Y$ вдоль положительного направления оси OY. На более подвижные электроны влияние силы Лоренца будет сильнее, поэтому вдоль оси OY они будут двигаться в отрицательном направлении. Для определения углов, подставим значение поля $E_Y$ (28) в (22) и (23). После некоторых преобразований получим:

\begin{cases}v_{1X}=\mu E_X(1+\frac23\mu^2B_Z^2),\\v_{2Y}=\frac23\mu^2B_ZE_X.\end{cases}\qquad (37)

\begin{cases}v_{2X}=2\mu E_X(1-\frac23\mu^2B_Z^2),\\v_{2Y}=-\frac23\mu^2B_ZE_X.\end{cases}\qquad (38)

Пренебрегая величинами порядка $(\mu B_Z)^3$ , получим:

\alpha_1\approx\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{v_{1Y}}{v_{1X}}\approx\frac23\mu B_Z.\qquad (39)

\alpha_2\approx\operatorname{tg}\alpha_2=\frac{v_{2Y}}{v_{2X}}\approx-\frac13\mu B_Z.\qquad (40)

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf